专题01 有理数（期末复习讲义，必备知识+15大题型+过关检测）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学有理数期末复习讲义通过表格系统梳理15个核心考点的考情规律与复习目标，按“概念-性质-应用”逻辑分层呈现有理数分类、数轴、相反数、绝对值等知识，突出数轴与绝对值的内在关联及动点问题等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“考点-题型-方法”一体化设计，如“数轴上的动点”题型通过代数式表示位置培养抽象能力，“绝对值几何意义”结合数轴分析距离发展几何直观。每个题型配易错点拨和解题技巧，基础题与难点题兼顾分层需求，助力教师精准教学和学生自主高效复习。

专题1 有理数（期末复习讲义） 核心考点 考情规律 复习目标 正数与负数 1. 理解正数（大于0的数）、负数（小于0的数）的定义；2. 掌握用正数负数表示相反意义的量的方法；3. 明确0既不是正数也不是负数 基础必考题，题型以选择、填空为主，常结合实际场景考查（如温度、收支、海拔），核心是正数负数的意义辨析，难度极低 相反意义的量 1. 能准确识别生活中具有相反意义的量；2. 会用正数、负数分别表示一对相反意义的量；3. 能根据相反意义的量解决简单计算问题 基础题，选择、填空为主，常与正数负数结合命题，考查“相反意义的量”的识别与表示，偶尔涉及简单的相反意义量的计算（如温差） 数轴的定义 1. 牢记数轴三要素：原点（0点）、正方向（通常向右）、单位长度（统一且固定）；2. 能判断一个图形是否为合格数轴；3. 理解数轴的本质是“表示数的直线” 基础必考题，选择、填空为主，常考查数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）的识别，或判断给定图形是否为数轴，极少单独命题，多为后续知识点铺垫 用数轴上的点表示数 1. 能将任意有理数准确表示在数轴上；2. 能根据数轴上点的位置读出对应的数值；3. 会在数轴上标注给定数的大致位置（含简单无理数） 基础高频题，选择、填空、作图题为主，常考查有理数在数轴上的表示、根据数轴上的点读数值，偶尔涉及无理数（如√2）在数轴上的大致位置标注 根据点在数轴的位置判断式子的正负 1. 能根据数轴上点的位置判断对应数的正负和绝对值大小；2. 能结合有理数运算法则判断代数式的符号；3. 理解“数轴上右边的数大于左边的数”的核心规律 中档题，选择、填空为主，常给出数轴上点的位置（标注字母），判断含这些字母的代数式的正负（如a+b、a-b、ab等），核心考查数轴与有理数运算符号的关联 有理数的分类 1. 掌握有理数的两种核心分类标准：①按定义分（整数+分数）；②按符号分（正有理数+0+负有理数）；2. 明确整数、分数、正有理数、负有理数的范畴；3. 能准确完成有理数的分类 基础题，选择、填空为主，考查形式多为“从给定数中筛选有理数”“将有理数按要求分类”（如按整数/分数分、按正/负/0分），难度低但需注意分类完整性 相反数 1. 牢记相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0）；2. 掌握求一个数相反数的方法；3. 理解相反数的数轴特征（关于原点对称） 基础必考题，选择、填空为主，常考查相反数的定义辨析、求一个数的相反数，偶尔结合数轴考查（相反数在数轴上关于原点对称） 数轴上两点之间的距离 1. 掌握数轴上两点距离的计算公式：两点距离=两数差的绝对值；2. 能根据距离公式求未知点对应的数；3. 理解距离的非负性 中档题，选择、填空为主，常考查数轴上已知两点对应的数求距离，或已知距离求另一点对应的数，核心是距离与绝对值的关联 求绝对值 1. 牢记绝对值定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离，记为|a|；2. 掌握绝对值的计算规则：正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数；3. 能准确计算任意有理数的绝对值 基础必考题，选择、填空、计算题均涉及，常考查具体数的绝对值计算、含字母的绝对值初步判断，核心是绝对值的定义应用 绝对值的化简 1. 掌握绝对值化简的核心逻辑：先判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号（正→不变，负→变号）；2. 能结合数轴或已知条件判断式子正负；3. 能完成多绝对值符号的化简 中档难点题，选择、填空、解答题为主，；常结合数轴或字母的取值范围化简含绝对值的代数式（如化简|a-b|，已知a、b在数轴上的位置），核心是判断绝对值内式子的正负 绝对值的几何意义 1. 理解|x|的几何意义：数轴上x对应点到原点的距离；2. 理解|x-a|的几何意义：数轴上x对应点到a对应点的距离；3. 能利用几何意义解决简单的距离最值问题 中档题，选择、填空为主，常考查|x-a|的几何意义（数轴上x对应点到a对应点的距离），偶尔涉及简单的最值问题（如求|x-1|+|x+2|的最小值） 数轴上的动点 1. 能根据动点的起始位置、速度、运动方向，用含时间t的代数式表示动点的位置；2. 能结合距离公式列方程求解运动时间；3. 能分析动点运动过程中的不同情况（相遇、追击、距离最值） 高频难点题，解答题为主，常以“数轴上动点从某点出发，按一定速度和方向运动”为背景，考查距离、相遇、追击问题，核心是用代数式表示动点位置 绝对值的非负性 1. 牢记绝对值的非负性：|a|≥0（任意有理数a）；2. 掌握非负性的核心性质：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0；3. 能利用非负性求解字母参数的值 高频难点题，选择、填空、解答题均可能出现，常与算术平方根、偶次幂的非负性结合考查（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0），是期末必考点 绝对值方程 1. 掌握简单绝对值方程的求解方法；2. 理解绝对值方程的几何意义（对应数轴上的距离问题）；3. 能检验方程的解是否正确 中档题，选择、填空、解答题为主，常考查简单绝对值方程的求解（如|x-2|=3、|2x+1|=5），偶尔涉及含参数的绝对值方程（难度较高，期末较少考） 有理数的大小比较 1. 掌握有理数大小比较的三种核心方法：数轴法、法则法、绝对值法；2. 能熟练比较任意两个有理数的大小；3. 能将多个有理数按从小到大或从大到小排序 基础必考题，选择、填空为主，常考查两个或多个有理数的大小比较，方法涉及数轴法、法则法、绝对值法，偶尔结合分数、小数的比较 知识点01有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点： （1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点02数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点03相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点： （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点04绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 题型一 正数与负数 易｜错｜点｜拨 1. 误认为0是正数或负数； 2. 用负数表示相反意义的量时符号颠倒； 3. 忽略实际场景中数值的单位 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹，黑筹，以别正，负之数”，古人用红色，黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中是正数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了正数的定义，根据大于零的数是正数，小于零的数是负数求解即可． 【详解】解：，，是负数，1是正数． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各数是负数的是（　　） A．2 B． C． D．2.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的识别，小于0的数叫做负数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，四个数中只有是负数， 故选：C． 题型二 相反意义的量 解｜题｜技｜巧 1. 判断标准：两个量必须是“同一属性”且“方向相反”（如“身高”与“体重”不是相反意义的量）；2. 计算时先统一符号，再进行加减运算（如温差=最高温-最低温） 易｜错｜点｜拨 1. 混淆“相反意义的量”与“相反数”（前者是量，后者是数）； 2. 选择错误的基准量表示相反意义的量； 3. 计算温差等问题时符号错误 【典例1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）正常水位为，如果用正数表示水面高于正常水位的高度，那么水位高于正常水位，记作，水位低于正常水位记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，根据题意，高于正常水位记为正数，低于则记为负数，即可得出结果． 【详解】解：水位高于正常水位，记作，则水位低于正常水位记作； 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·广东汕头·月考）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑米记为“米”，那么向西跑米记为（        ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果向东跑米记为“米”，那么向西跑米记为米 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·河南平顶山·期中）随着智能手机的发展和普及，扫二维码等移动支付手段给人们带来了极大方便，成了许多人首选的支付方式.小明在妈妈微信零钱明细中看到收入元被记作元，则元表示（    ） A．支出60元 B．收入60元 C．支出180元 D．收入180元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此解答即可． 【详解】解：收入元被记作元，则元表示支出元， 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）如果“盈利”记为，那么“亏损”记为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反意义的量，根据正负数的意义，盈利记为正数，亏损记为负数，进行求解即可． 【详解】解：∵“盈利”记为， ∴“亏损”记为． 故选：B． 题型三 数轴的定义 解｜题｜技｜巧 1. 判断数轴：逐一核对三要素是否齐全、规范（如单位长度是否统一、是否有正方向标识）； 2. 依据三要素补充不完整的数轴（如补画原点、标注正方向 【典例1】（25-26七年级上·福建三明·月考）下列图形是四个同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的画法， 由数轴的定义可知，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，由此可解． 【详解】解：A、没表示正方向，不正确； B、单位长度不一致，不正确 C、原点、单位长度、正方向都正确； D、数轴上的点不是按照从小到大的顺序排列，不正确． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各图中，表示数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上． 根据数轴三要素判断即可． 【详解】解：A． 无原点，不是数轴； B． 无原点，不是数轴； C． 符合数轴三要素，是数轴； D． 无正方向，不是数轴； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘西·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴的三要素缺一不可． 【详解】A、没有原点，数轴错误，不符合题意； B、单位长度不统一，数轴错误，不符合题意； C、数字顺序混乱，数轴错误，不符合题意； D、符合数轴的概念，数轴正确，符合题意． 故选：D． 题型四 数轴上的点表示数 解｜题｜技｜巧 1. 表示正数：在原点右侧，根据数值大小确定距离原点的单位长度； 2. 表示负数：在原点左侧，距离原点的单位长度为其绝对值； 3. 标注大致位置：用夹逼法确定范围（如Π在3和4之间） 易｜错｜点｜拨 1. 表示负数时位置颠倒（绝对值大的反而离原点更远）； 2. 标注点时未对应正确的单位长度； 3. 混淆数轴上“左负右正”的规律 【典例1】（2019·河北邢台·一模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小．由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由数轴知：手掌覆盖的数位于和0之间， 而， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上有，两点，表示的数分别为，，则下列各数在数轴上对应的点，落在线段上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，有理数大小比较，根据表示的数知线段上的点表示的数在之间，即可判断结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴线段上的点表示的数范围在之间，只有合理， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴的概念即可求解； 根据题意先判断出数轴的单位长度是，得到原点对应的刻度，即可求得数轴上与刻度线对齐的点表示的数． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·月考）如图，已知数轴上每相邻两个点之间的距离为1个单位长度（例如点与点之间的距离为3个单位长度）．若数轴上点与点表示的数之和为0，则点表示的数是（   ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数， 先求出，再根据题意可得，进而求出，然后根据点P的位置得出答案． 【详解】解：设原点为O，根据题意可知， 所以． 因为点M与点N表示的数之和为0， 所以， 所以． 因为点P在原点的左侧， 所以点P表示的数是． 故选：B． 题型五 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解｜题｜技｜巧 1. 第一步：确定每个字母的符号（左负右正）和绝对值大小（离原点越远绝对值越大）； 2. 第二步：根据运算法则判断式子符号（如同号相加取相同符号、异号相乘得负）； 3. 特殊值法：给字母赋符合条件的具体数值，代入计算判断 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用数轴比较有理数的大小． 由图可知，，，，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由图可知， ，， ∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项C符合题意； ∵，， ∴， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）数轴上两数，的位置如图所示，将，，，用“<”连接，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的性质、相反数的几何意义、有理数的大小比较，确定、的符号与绝对值关系是解题关键． 根据，在数轴上的位置，对，进行赋值，进而判断大小关系． 【详解】解： ，，且， 令，， 则，， ， ． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·湖北·期末）已知a，b两个数在数轴上的对应点A，B如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴的知识点是解题的关键． 先根据数轴判断数的大小，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知，且， A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算不正确，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，先根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而判断式子的符号即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， 故正确的结论只有选项C； 故选：C． 题型六 有理数的分类 易｜错｜点｜拨 1. 分类标准混淆（如同时按定义和符号分类）； 2. 将小数误判为非分数（有限小数、无限循环小数都是分数）； 3. 遗漏0或错放0的分类位置 【典例1】（25-26七年级上·重庆万州·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】4，，0，；，，；，，；4，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数、正分数、负有理数，非负整数的定义是解题的关键． 根据整数、正分数、负有理数，非负整数的定义即可解答． 【详解】解：整数集合； 正分数集合； 负有理数集合； 非负整数集合． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）把下列各数填入相应的集合里：，，0，，，，，，，． (1)正有理数集合： ； (2)整数集合： ； (3)非负整数集合： ． 【答案】(1)，， (2)，，0， (3)0， 【分析】本题考查了有理数及其分类，非负整数，掌握它们是关键； （1）有理数中大于0的数为正有理数，由此即可判断； （2）根据正整数、0、负整数统称为整数判断即可； （3）根据正整数、0称为非负整数判断即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：，，； 故答案为：，，； （2）解：整数集合：，，0，； 故答案为：，，0，； （3）解：非负整数集合：0，； 故答案为：0，． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·月考）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2026，，，． （1）负有理数集合：{ ______…}； （2）正分数集合：{ ______…}； （3）非负整数集合：{ ______…}． 【答案】（1），，，；（2），；（3）0，2026， 【分析】本题主要考查了有理数、相反数、绝对值，熟知有理数的相关概念是解题的关键． （1）根据负数的定义进行判断即可； （2）根据正分数的定义进行判断即可； （3）根据非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：，，， （1）负有理数集合：{，，，…}； 故答案为：，，，； （2）正分数集合：{，，…}； 故答案为：，； （3）非负整数集合：{0，2026，…}； 故答案为：0，2026，． 【变式3】（25-26七年级上·云南保山·期中）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，． 正数集合{                       …} 负分数集合{                     …} 非负整数集合{                   …} 有理数集合{                     …} 【答案】 正数集合{15，0.81，，171，3.14，…} 负分数集合{，，，…} 非负整数集合{15，171，0，…} 有理数集合{15，，0.81，，，，，171，0，3.14，，…} 【分析】本题考查了正数、负分数、非负整数、有理数的定义，正数是指大于零的数；负分数是指负的分数，包括负的有限小数和负的无限循环小数；非负整数包括零和正整数；有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数）．根据定义对每个数进行分类即可． 【详解】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，…}； 负分数集合{，，，…}； 非负整数集合{15，171，0，…}； 有理数集合{15，，0.81，，，，，171，0，3.14，，…}． 题型七 相反数 易｜错｜点｜拨 1. 误认为“符号不同的两个数就是相反数”（忽略“只有”）； 2. 求含括号的数的相反数时符号出错（如-(a-b)的相反数误算为a-b）； 3. 忘记0的相反数是0 【典例1】（2025·福建漳州·模拟预测）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 【变式1】（2025·福建漳州·模拟预测）如果数a与互为相反数，那么a是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴a是． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·四川内江·月考）的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是改变其符号所得的数即可得出结论． 【详解】解：∵ 数的相反数是， ∴的相反数是， 故选：B． 题型八 数轴上两点之间的距离 易｜错｜点｜拨 1. 忘记用绝对值表示距离，导致结果为负； 2. 已知距离求点时，漏解其中一种情况； 3. 计算两数差时符号错误 【典例1】（25-26七年级上·海南海口·期中）已知数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为，则点B表示的数为（    ） A． B．7 C．或1 D．7或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，熟练掌握数轴上两点间的距离右边的数左边的数，是解题的关键．根据数轴上两点距离公式计算即可，注意分两种情况讨论． 【详解】解：数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为， 当点A在点B的左侧时，则点B表示的数为， 当点A在点B的右侧时，则点B表示的数为． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若数轴上点M表示的数为，点N与点M的距离为3，则点N表示的数为（    ） A．1或 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离的定义，根据数轴上两点距离的定义，点N可能在点M的左侧或右侧，距离均为3个单位，由此求解即可． 【详解】∵点M表示的数为，点N与点M的距离为3， ∴点N表示的数为或． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在数轴上点A表示，点B表示a，A、B两点之间相距12个单位长度，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式． 根据数轴上两点间的距离公式，分点在点的左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】解：当点在点的左侧时，； 当点在点的右侧时，； 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期中）在数轴上与2距离为5个单位的点所表示的数是 ． 【答案】和7 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据数轴上两点距离的定义，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意得，在数轴上与2距离为5个单位的点所表示的数是或， 故答案为：和7． 题型九 求绝对值 【典例1】（25-26七年级上·广东清远·月考）2026的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的基本概念，掌握 “正数的绝对值是它本身” 是解题的关键；2026是正数，因此其绝对值是它本身． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）有理数的绝对值是（ ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：． 故选B． 题型十 绝对值的化简 解｜题｜技｜巧 1. 化简步骤：①判断绝对值内式子的正负；②根据正负去掉绝对值符号（加括号，负号变号）；③去括号、合并同类项； 2. 关键：利用数轴或已知条件确定字母的大小关系和符号； 易｜错｜点｜拨 1. 未判断绝对值内式子正负就直接去掉符号； 2. 去掉绝对值符号时，负数对应的式子未变号； 3. 去括号时忽略符号法则，导致合并同类项错误 【典例1】（25-26七年级上·安徽·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据数轴化简绝对值，先根据数轴上各点的位置判断出a，b，c的符号及，和的大小，接着判定，，的符号，再化简绝对值即可求解． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，，， ∴， 故选A. 【变式1】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上有理数的比较大小，绝对值的化简，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置判断各式的正负； （2）根据绝对值的意义去掉绝对值符号并合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，，． 故答案为：； （2）解：      【变式2】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题， (1)当时，求______，当时，求______． (2)请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． （1）当时，点a在原点右边，由题意可知，当时，点b在原点左边，由题意可知，然后计算即可； （2）由图中点的位置得到，，，，然后去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 故答案是：，； （2）解：由数轴可得：，，，． ∴． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键． （1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且进而解答即可； （2）根据，且，进而解答即可； （3）根据绝对值，相反数的意义解答即可． 【详解】（1）解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ， 故答案为：． （2）解：，且， ． （3）解：，且， ， ． 题型十一 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 1. 转化思想：将绝对值表达式转化为“距离”问题； 2. 最值求解：|x-a|+|x-b|的最小值为|a-b|（当x在a、b之间时取得）； 3. 结合数轴画图分析，直观确定取值范围 【典例1】（25-26七年级上·安徽·月考）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和1为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和1为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·月考）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 【答案】(1)①4；②，1或 (2)或1 (3)①1；②5；③4 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）①数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 当，即， 所以或， 解得或， 故答案为：1或； （2）若代数式的最小值是3， 即， 所以或， 解得或， 故答案为：或1； （3）①当有最小值是， 故答案为：1； ②当时，有最小值，最小值为， 故答案为：5； ③当时，有最小值，最小值为， 故答案为：4． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 【变式3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）3 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）（ⅰ）根据绝对值的意义得到数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3，进行求解即可； （ⅱ）根据绝对值的意义，得到当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离； （2）（ⅰ）由题意，表示数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3， ∴或； （ⅱ）表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点之间的距离之和， ∴当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即． 题型十二 数轴上的动点 解｜题｜技｜巧 1. 表示动点位置：向右运动用“起始位置+速度×时间”，向左运动用“起始位置-速度×时间”； 2. 列方程关键：根据“距离关系”（如相遇时位置相同、追击时距离为0）建立等式； 3. 分类讨论：考虑动点运动方向、运动时间的不同情况，避免漏解 易｜错｜点｜拨 1. 表示动点位置时方向错误（向左运动误用加法）； 2. 列方程时忽略单位统一（如速度单位是“单位长度/秒”，时间单位需一致）； 3. 未分类讨论导致漏解； 4. 计算过程中符号错误 【典例1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）把笔尖放在数轴上表示的点上，先把笔尖向右移动3个单位，再把笔尖向左移动6个单位，此时笔尖落在数轴上的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查数轴上点移动的规律：左减右加，根据笔尖在数轴上移动，向右移动数值增加，向左移动数值减少， 从起点开始，逐步计算移动后的位置 【详解】∵ 起点为 ， 向右移动 个单位：， 再向左移动 个单位：， ∴ 笔尖落在 ， 故选：A 【变式1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·福建南平·期中）若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】8或2 【分析】本题考查数轴上点的平移规律． 根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可． 【详解】解：点A到原点的距离为3， 点表示的数为或， 此时点B表示的数是：或． 故答案为：8或2． 【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 题型十三 绝对值的非负性 易｜错｜点｜拨 1. 忽略绝对值非负性的前提，误用非负性性质； 2. 遗漏“非负数和为0”中的某个非负项； 3. 求解后未验证结果是否符合原表达式的隐含条件（如被开方数非负） 【典例1】（25-26七年级上·天津东丽·期中）如果，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值；根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算. 【详解】解：∵且 ≥ 0， ∴且 = 0， 即 且， 解得， ∴. 故答案为：5. 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知a为有理数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，，从而确定表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． 【变式2】 （25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知，，且则式子的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的化简与计算，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 由绝对值的非负性可知，，，且，因此，，解得，，由，得或，即或，又因为，且，所以，故，最后代入计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 又， 或， 解得或， ，且， ， ， ． 故答案为：． 题型十四 绝对值方程 易｜错｜点｜拨 1. 求解时未考虑B<0的情况（直接求解导致错误）； 2. 去绝对值符号时漏写其中一个方程； 3. 检验步骤遗漏，导致增根； 4. 计算一元一次方程时符号或系数化为1错误 【典例1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查解绝对值方程，根据绝对值的性质逐层去绝对值符号，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴或， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴或 ∴或（不合题意，舍去）， 或． 【变式1】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 【变式2】（25-26七年级上·云南昭通·月考）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【详解】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 题型十五 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1. 数轴法：数轴上右边的数大于左边的数； 2. 法则法：①正数>0>负数；②两个负数比较，绝对值大的反而小； 3. 分数/小数比较：统一化为分数（通分）或小数，再比较；4. 多个数排序：先分类（正、0、负），再分别排序 【典例1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）在有理数，中最小的是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是要掌握：正有理数大于零，负有理数小于零；两个负有理数，绝对值大的反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴是最小的数． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·山东滨州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及绝对值、负数的性质等，通过计算每个选项，在比较负数大小时，先比较绝对值，绝对值大的负数反而小，据此进行判断其正确性，即可作答． 【详解】解：A、，∵，∴，故该选项符合题意； B、，∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、，∴，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·月考）将，，按从小到大的顺序排列起来． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键。负数比较时，绝对值大的负数反而小。 【详解】解　，， ， ∴， 按从小到大的顺序排列起来为． 【变式3】（25-26七年级上·广东广州·期中）已知五个数分别为，，，，． (1)画出数轴，并在数轴上表示上列各数； (2)按从小到大的顺序用“”连接上列各数． 【答案】(1)数轴见解析 (2) 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握利用数轴进行有理数大小比较是解题的关键． （1）根据数轴的性质，在数轴上，标出各数即可； （2）在数轴上，越往左数越小，越往右数越大，据此进行排序即可． 【详解】（1）解： 在处， 在 处，0 在原点，在 1 和 2 中间，3 在 3 处， 在数轴上的位置如下： （2）解：由（1）中数轴上可知，． 【变式4】（25-26七年级上·河南郑州·月考）画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”把它们连接起来． 2.5，，0，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何把实数表示在数轴上．先把各数在数轴上表示出来，按照从左到右的顺序排列，并用“＞”连接起来即可． 【详解】解：，， 将下列各数在数轴上表示为： ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的知识，数轴上到原点的距离是5的点有2个，分别表示5和． 【详解】解：∵ 点M到原点的距离是5， ∴点M表示的数是5或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）的相反数是 （       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数），解题的关键是先化简符号，然后根据相反数进行解答即可． 【详解】解：∵，的相反数是， ∴的相反数是． 故选：A． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】6或4 【分析】本题考查相反数，绝对值，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到或，分别求出a的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 即或， 解得或． 故答案为：6或4． 4．（21-22七年级上·浙江台州·期末）规定向上移动2个单位长度记作，那么向下移动3个单位长度记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据向上移动2个单位长度记作，故向下移动3个单位长度记作，即可作答． 【详解】解：∵规定向上移动2个单位长度记作， ∴向下移动3个单位长度记作， 故答案为： 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， (1)若与互为相反数，则______； (2)若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 【答案】(1) (2)小于；与 【分析】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． （1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上每一小段的长度为，与互为相反数， 在数轴上表示，在数轴上表示， ， 故答案为：； （2） ， 小于， 、、、中，可能互为相反数的是与， 故答案为：小于；与． 6．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．    (1)填空：数轴上点表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． (3)将四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【详解】（1）解：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图，     ； （3）解：由数轴知：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）代数式，当时，可化简为 ；若代数式的最大值为与最小值为，则的值 ． 【答案】 3 -9 【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可． 【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0， ∴， 当时，， 当x＞1时， ∵当时，， ∴代数式的最大值为3，最小值为-3， ∴a=3，b=-3， ∴ab=-9， 故答案为：3，-9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式． 2．（17-18七年级下·浙江宁波·期末）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第 次移动到的点到原点的距离为2018． 【答案】1345 【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题． 【详解】第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3=﹣2； 第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6=4； 第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9=﹣5； 第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则点E表示的数为﹣5+12=7； 第5次从点E向左移动15个单位长度至点F，则F表示的数为7﹣15=﹣8； …； 由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣（3n+1），当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足： ． 故当移动次数为奇数时，﹣（3n+1）=﹣2018，解得：n=1345， 当移动次数为偶数时，，n=（不合题意）． 故答案为1345． 【点睛】本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键． 3．（19-20七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，点C到点A，点B的距离相等，一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t秒．    （1）求点C表示的数． （2）点P表示的数（用含有t的代数式表示）． （3）当t等于多少秒时，点P是线段BC的中点． （4）当t等于多少秒时，PB之间的距离为2个单位长度． 【答案】（1）-1；（2）-7+3t；（3）3；（4）秒或秒 【分析】（1）根据线段中点坐标公式可求点C表示的数； （2）根据两点之间的距离公式可求点P表示的数； （3）得到点P表示的数为2，再利用路程÷速度=时间求解； （4）分P在点B左边和点B右边两种情况讨论求解． 【详解】解：（1）（-7+5）÷2 =-2÷2 =-1． 故点C表示的数是-1； （2）由题意可得： 点P表示的数为：-7+3t； （3）若点P是线段BC的中点， 则点P表示的数为（-1+5）÷2=2， 则[2-（-7）]÷3=3秒， ∴当t为3秒时，点P是线段BC的中点； （4）∵PB之间的距离为2个单位长度， ∴点P运动到3或7， ∴[3-（-7）]÷3=秒， 或[7-（-7）]÷3=秒， 故当t等于秒或秒时，PB之间的距离为2个单位长度． 【点睛】此题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的应用． 4．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ （3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？ 【答案】（1）40；（2）-260；（3）24或32． 【分析】（1）与A、B两点距离相等的点是它们的中点，即（-20+100）÷2结果是M； （2）此题是追及问题，可先求出P追上Q所需的时间，然后可求出Q所走的路程，根据左减右加的原则，可求出点D所对应的数； （3）此题是相遇问题，先求出相距10单位时所需的时间，相距10单位，分相遇前和相遇后计算，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出-20向右运动到C地点所对应的数． 【详解】（1）根据题意可知，点M为A、B的中点， ∴（-20+100）÷2=40， 答：点M对应的数为40， 故答案为：40； （2）点P追到Q点的时间为 120÷（6-4）=60， 即此时Q点经过的路程为4×60=240， 即-20-240=-260， 答：点D对应的数是-260， 故答案为：-260； （3）分相遇前和相遇后两种情况讨论： 他们相遇前相距10单位时， （120-10）÷（6+4）=11， 及相同时间Q点运动路程为： 11×4=44， 即-20+44=24； 他们相遇后相距10单位时， （120+10）÷（6+4）=13， 及相同时间Q点运动路程为： 13×4=52， 即-20+52=32， 答：点C对应的数是24或32， 故答案为：24或32． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，相遇和追及问题，有理数的运算，掌握数轴上的动点问题是解题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是 故选A． 2．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（    ） 北京 济南 太原 郑州 A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ． 【答案】升 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，根据题意准确分析可得结果． 根据加油记作，则用去油记作即可得解． 【详解】汽车加油30升记作升， 用去油10升记作升； 故答案是：升． 4．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，掌握a，b在数轴上对应点的位置得出a距离原点的距离比b距离原点的距离小是关键． 根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离小，即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 有理数（期末复习讲义） 核心考点 考情规律 复习目标 正数与负数 1. 理解正数（大于0的数）、负数（小于0的数）的定义；2. 掌握用正数负数表示相反意义的量的方法；3. 明确0既不是正数也不是负数 基础必考题，题型以选择、填空为主，常结合实际场景考查（如温度、收支、海拔），核心是正数负数的意义辨析，难度极低 相反意义的量 1. 能准确识别生活中具有相反意义的量；2. 会用正数、负数分别表示一对相反意义的量；3. 能根据相反意义的量解决简单计算问题 基础题，选择、填空为主，常与正数负数结合命题，考查“相反意义的量”的识别与表示，偶尔涉及简单的相反意义量的计算（如温差） 数轴的定义 1. 牢记数轴三要素：原点（0点）、正方向（通常向右）、单位长度（统一且固定）；2. 能判断一个图形是否为合格数轴；3. 理解数轴的本质是“表示数的直线” 基础必考题，选择、填空为主，常考查数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）的识别，或判断给定图形是否为数轴，极少单独命题，多为后续知识点铺垫 用数轴上的点表示数 1. 能将任意有理数准确表示在数轴上；2. 能根据数轴上点的位置读出对应的数值；3. 会在数轴上标注给定数的大致位置（含简单无理数） 基础高频题，选择、填空、作图题为主，常考查有理数在数轴上的表示、根据数轴上的点读数值，偶尔涉及无理数（如√2）在数轴上的大致位置标注 根据点在数轴的位置判断式子的正负 1. 能根据数轴上点的位置判断对应数的正负和绝对值大小；2. 能结合有理数运算法则判断代数式的符号；3. 理解“数轴上右边的数大于左边的数”的核心规律 中档题，选择、填空为主，常给出数轴上点的位置（标注字母），判断含这些字母的代数式的正负（如a+b、a-b、ab等），核心考查数轴与有理数运算符号的关联 有理数的分类 1. 掌握有理数的两种核心分类标准：①按定义分（整数+分数）；②按符号分（正有理数+0+负有理数）；2. 明确整数、分数、正有理数、负有理数的范畴；3. 能准确完成有理数的分类 基础题，选择、填空为主，考查形式多为“从给定数中筛选有理数”“将有理数按要求分类”（如按整数/分数分、按正/负/0分），难度低但需注意分类完整性 相反数 1. 牢记相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0）；2. 掌握求一个数相反数的方法；3. 理解相反数的数轴特征（关于原点对称） 基础必考题，选择、填空为主，常考查相反数的定义辨析、求一个数的相反数，偶尔结合数轴考查（相反数在数轴上关于原点对称） 数轴上两点之间的距离 1. 掌握数轴上两点距离的计算公式：两点距离=两数差的绝对值；2. 能根据距离公式求未知点对应的数；3. 理解距离的非负性 中档题，选择、填空为主，常考查数轴上已知两点对应的数求距离，或已知距离求另一点对应的数，核心是距离与绝对值的关联 求绝对值 1. 牢记绝对值定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离，记为|a|；2. 掌握绝对值的计算规则：正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数；3. 能准确计算任意有理数的绝对值 基础必考题，选择、填空、计算题均涉及，常考查具体数的绝对值计算、含字母的绝对值初步判断，核心是绝对值的定义应用 绝对值的化简 1. 掌握绝对值化简的核心逻辑：先判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号（正→不变，负→变号）；2. 能结合数轴或已知条件判断式子正负；3. 能完成多绝对值符号的化简 中档难点题，选择、填空、解答题为主，；常结合数轴或字母的取值范围化简含绝对值的代数式（如化简|a-b|，已知a、b在数轴上的位置），核心是判断绝对值内式子的正负 绝对值的几何意义 1. 理解|x|的几何意义：数轴上x对应点到原点的距离；2. 理解|x-a|的几何意义：数轴上x对应点到a对应点的距离；3. 能利用几何意义解决简单的距离最值问题 中档题，选择、填空为主，常考查|x-a|的几何意义（数轴上x对应点到a对应点的距离），偶尔涉及简单的最值问题（如求|x-1|+|x+2|的最小值） 数轴上的动点 1. 能根据动点的起始位置、速度、运动方向，用含时间t的代数式表示动点的位置；2. 能结合距离公式列方程求解运动时间；3. 能分析动点运动过程中的不同情况（相遇、追击、距离最值） 高频难点题，解答题为主，常以“数轴上动点从某点出发，按一定速度和方向运动”为背景，考查距离、相遇、追击问题，核心是用代数式表示动点位置 绝对值的非负性 1. 牢记绝对值的非负性：|a|≥0（任意有理数a）；2. 掌握非负性的核心性质：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0；3. 能利用非负性求解字母参数的值 高频难点题，选择、填空、解答题均可能出现，常与算术平方根、偶次幂的非负性结合考查（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0），是期末必考点 绝对值方程 1. 掌握简单绝对值方程的求解方法；2. 理解绝对值方程的几何意义（对应数轴上的距离问题）；3. 能检验方程的解是否正确 中档题，选择、填空、解答题为主，常考查简单绝对值方程的求解（如|x-2|=3、|2x+1|=5），偶尔涉及含参数的绝对值方程（难度较高，期末较少考） 有理数的大小比较 1. 掌握有理数大小比较的三种核心方法：数轴法、法则法、绝对值法；2. 能熟练比较任意两个有理数的大小；3. 能将多个有理数按从小到大或从大到小排序 基础必考题，选择、填空为主，常考查两个或多个有理数的大小比较，方法涉及数轴法、法则法、绝对值法，偶尔结合分数、小数的比较 知识点01有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点： （1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点02数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点03相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点： （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点04绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 题型一 正数与负数 易｜错｜点｜拨 1. 误认为0是正数或负数； 2. 用负数表示相反意义的量时符号颠倒； 3. 忽略实际场景中数值的单位 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹，黑筹，以别正，负之数”，古人用红色，黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中是正数的是（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】（25-26七年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各数是负数的是（　　） A．2 B． C． D．2.5 题型二 相反意义的量 解｜题｜技｜巧 1. 判断标准：两个量必须是“同一属性”且“方向相反”（如“身高”与“体重”不是相反意义的量）；2. 计算时先统一符号，再进行加减运算（如温差=最高温-最低温） 易｜错｜点｜拨 1. 混淆“相反意义的量”与“相反数”（前者是量，后者是数）； 2. 选择错误的基准量表示相反意义的量； 3. 计算温差等问题时符号错误 【典例1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）正常水位为，如果用正数表示水面高于正常水位的高度，那么水位高于正常水位，记作，水位低于正常水位记作（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·广东汕头·月考）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑米记为“米”，那么向西跑米记为（        ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（24-25七年级上·河南平顶山·期中）随着智能手机的发展和普及，扫二维码等移动支付手段给人们带来了极大方便，成了许多人首选的支付方式.小明在妈妈微信零钱明细中看到收入元被记作元，则元表示（    ） A．支出60元 B．收入60元 C．支出180元 D．收入180元 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）如果“盈利”记为，那么“亏损”记为（    ） A． B． C． D． 题型三 数轴的定义 解｜题｜技｜巧 1. 判断数轴：逐一核对三要素是否齐全、规范（如单位长度是否统一、是否有正方向标识）； 2. 依据三要素补充不完整的数轴（如补画原点、标注正方向 【典例1】（25-26七年级上·福建三明·月考）下列图形是四个同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各图中，表示数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘西·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 数轴上的点表示数 解｜题｜技｜巧 1. 表示正数：在原点右侧，根据数值大小确定距离原点的单位长度； 2. 表示负数：在原点左侧，距离原点的单位长度为其绝对值； 3. 标注大致位置：用夹逼法确定范围（如Π在3和4之间） 易｜错｜点｜拨 1. 表示负数时位置颠倒（绝对值大的反而离原点更远）； 2. 标注点时未对应正确的单位长度； 3. 混淆数轴上“左负右正”的规律 【典例1】（2019·河北邢台·一模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上有，两点，表示的数分别为，，则下列各数在数轴上对应的点，落在线段上的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·月考）如图，已知数轴上每相邻两个点之间的距离为1个单位长度（例如点与点之间的距离为3个单位长度）．若数轴上点与点表示的数之和为0，则点表示的数是（   ） A．－1 B． C．0 D． 题型五 根据点在数轴的位置判断式子的正负 解｜题｜技｜巧 1. 第一步：确定每个字母的符号（左负右正）和绝对值大小（离原点越远绝对值越大）； 2. 第二步：根据运算法则判断式子符号（如同号相加取相同符号、异号相乘得负）； 3. 特殊值法：给字母赋符合条件的具体数值，代入计算判断 【典例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）数轴上两数，的位置如图所示，将，，，用“<”连接，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·湖北·期末）已知a，b两个数在数轴上的对应点A，B如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 题型六 有理数的分类 易｜错｜点｜拨 1. 分类标准混淆（如同时按定义和符号分类）； 2. 将小数误判为非分数（有限小数、无限循环小数都是分数）； 3. 遗漏0或错放0的分类位置 【典例1】（25-26七年级上·重庆万州·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）把下列各数填入相应的集合里：，，0，，，，，，，． (1)正有理数集合： ； (2)整数集合： ； (3)非负整数集合： ． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·月考）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2026，，，． （1）负有理数集合：{ ______…}； （2）正分数集合：{ ______…}； （3）非负整数集合：{ ______…}． 【变式3】（25-26七年级上·云南保山·期中）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，． 正数集合{                       …} 负分数集合{                     …} 非负整数集合{                   …} 有理数集合{                     …} 题型七 相反数 易｜错｜点｜拨 1. 误认为“符号不同的两个数就是相反数”（忽略“只有”）； 2. 求含括号的数的相反数时符号出错（如-(a-b)的相反数误算为a-b）； 3. 忘记0的相反数是0 【典例1】（2025·福建漳州·模拟预测）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·福建漳州·模拟预测）如果数a与互为相反数，那么a是（　　） A． B．0 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川内江·月考）的相反数是（   ） A． B．2025 C． D． 题型八 数轴上两点之间的距离 易｜错｜点｜拨 1. 忘记用绝对值表示距离，导致结果为负； 2. 已知距离求点时，漏解其中一种情况； 3. 计算两数差时符号错误 【典例1】（25-26七年级上·海南海口·期中）已知数轴上A、B两点间的距离为4，若点A表示的数为，则点B表示的数为（    ） A． B．7 C．或1 D．7或 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）若数轴上点M表示的数为，点N与点M的距离为3，则点N表示的数为（    ） A．1或 B． C．2 D．2或 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在数轴上点A表示，点B表示a，A、B两点之间相距12个单位长度，则 ． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期中）在数轴上与2距离为5个单位的点所表示的数是 ． 题型九 求绝对值 【典例1】（25-26七年级上·广东清远·月考）2026的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）有理数的绝对值是（ ） A． B．5 C． D． 题型十 绝对值的化简 解｜题｜技｜巧 1. 化简步骤：①判断绝对值内式子的正负；②根据正负去掉绝对值符号（加括号，负号变号）；③去括号、合并同类项； 2. 关键：利用数轴或已知条件确定字母的大小关系和符号； 易｜错｜点｜拨 1. 未判断绝对值内式子正负就直接去掉符号； 2. 去掉绝对值符号时，负数对应的式子未变号； 3. 去括号时忽略符号法则，导致合并同类项错误 【典例1】（25-26七年级上·安徽·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式2】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题， (1)当时，求______，当时，求______． (2)请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期中）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 题型十一 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 1. 转化思想：将绝对值表达式转化为“距离”问题； 2. 最值求解：|x-a|+|x-b|的最小值为|a-b|（当x在a、b之间时取得）； 3. 结合数轴画图分析，直观确定取值范围 【典例1】（25-26七年级上·安徽·月考）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·月考）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 【变式2】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【变式3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 题型十二 数轴上的动点 解｜题｜技｜巧 1. 表示动点位置：向右运动用“起始位置+速度×时间”，向左运动用“起始位置-速度×时间”； 2. 列方程关键：根据“距离关系”（如相遇时位置相同、追击时距离为0）建立等式； 3. 分类讨论：考虑动点运动方向、运动时间的不同情况，避免漏解 易｜错｜点｜拨 1. 表示动点位置时方向错误（向左运动误用加法）； 2. 列方程时忽略单位统一（如速度单位是“单位长度/秒”，时间单位需一致）； 3. 未分类讨论导致漏解； 4. 计算过程中符号错误 【典例1】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）把笔尖放在数轴上表示的点上，先把笔尖向右移动3个单位，再把笔尖向左移动6个单位，此时笔尖落在数轴上的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·福建南平·期中）若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为 ． 【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 题型十三 绝对值的非负性 易｜错｜点｜拨 1. 忽略绝对值非负性的前提，误用非负性性质； 2. 遗漏“非负数和为0”中的某个非负项； 3. 求解后未验证结果是否符合原表达式的隐含条件（如被开方数非负） 【典例1】（25-26七年级上·天津东丽·期中）如果，那么的值为 ． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知a为有理数，则的最小值为 ． 【变式2】 （25-26七年级上·安徽淮北·期中）已知，，且则式子的值为 ． 题型十四 绝对值方程 易｜错｜点｜拨 1. 求解时未考虑B<0的情况（直接求解导致错误）； 2. 去绝对值符号时漏写其中一个方程； 3. 检验步骤遗漏，导致增根； 4. 计算一元一次方程时符号或系数化为1错误 【典例1】（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： 【变式1】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【变式2】（25-26七年级上·云南昭通·月考）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 题型十五 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1. 数轴法：数轴上右边的数大于左边的数； 2. 法则法：①正数>0>负数；②两个负数比较，绝对值大的反而小； 3. 分数/小数比较：统一化为分数（通分）或小数，再比较；4. 多个数排序：先分类（正、0、负），再分别排序 【典例1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）在有理数，中最小的是（   ） A． B．2 C． D．0 【变式1】（25-26七年级上·山东滨州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·月考）将，，按从小到大的顺序排列起来． 【变式3】（25-26七年级上·广东广州·期中）已知五个数分别为，，，，． (1)画出数轴，并在数轴上表示上列各数； (2)按从小到大的顺序用“”连接上列各数． 【变式4】（25-26七年级上·河南郑州·月考）画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”把它们连接起来． 2.5，，0，，，． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）若数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．10 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）的相反数是 （       ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期末）若与互为相反数，则 ． 4．（21-22七年级上·浙江台州·期末）规定向上移动2个单位长度记作，那么向下移动3个单位长度记作 ． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上每一小段的长度为，点、、、在数轴上对应的数分别为、、、， (1)若与互为相反数，则______； (2)若，则______（填“大于”或“小于”）；、、、中，可能互为相反数的是______． 6．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等．    (1)填空：数轴上点表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． (3)将四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）代数式，当时，可化简为 ；若代数式的最大值为与最小值为，则的值 ． 2．（17-18七年级下·浙江宁波·期末）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第 次移动到的点到原点的距离为2018． 3．（19-20七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，点C到点A，点B的距离相等，一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t秒．    （1）求点C表示的数． （2）点P表示的数（用含有t的代数式表示）． （3）当t等于多少秒时，点P是线段BC的中点． （4）当t等于多少秒时，PB之间的距离为2个单位长度． 4．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ （3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（    ） 北京 济南 太原 郑州 A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ． 4．（2025·山东青岛·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 （填“”，“”或“”）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $