第22讲：和差倍问题—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第22讲:和差倍问题 概念回顾 定义 1.和差问题 已知两个数的和与差，求这两个数分别是多少的应用题，就是和差问题。 2.和倍问题 已知两个数的和，又已知两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，就是和倍问题。 3.差倍问题 已知两个数的差，又已知两个数的倍数关系，求这两个数分别是多少的应用题，就是差倍问题。 基本数量关系 1.和差问题 较小数=（和-差）÷2 较小数=和+较大数 较小数=较大数-差 较大数=（和+差）÷2 较大数=和-较小数 较大数=较小数+差 2.和倍问题 较小数=和÷（倍数+1） 较大数=和-较小数 较大数=较小数×倍数 3.差倍问题 较小数=差÷（倍数-1） 较大数=差+较小数 较大数=较小数×倍数 典型例题 1.爷爷家养了130只鸡鸭鹅，养的鹅是鸡数量的3倍，养的鸭子比鸡和鹅的总数还多10只。奶奶家养的鸭子比鹅多几只？ 解析：解法一：已知将（鸡鸭鹅总量-10）÷（1+3+4）为一份，也即鸡的数量，再根据题目条件即可求出结果。 鸡：（130-10）÷8=15（只） 鹅：15×3=45（只） 鸭子：15+45+10=70（只） 鸭子比鹅多：70-45=25（只） 解法二：设鸡有 只，则鹅有3只，鸭子有（+3+10）只，可得到方程 +3++3+10=130，解方程即可。 +3++3+10=130      解得=15 鹅：15×3=45（只） 鸭子：15+45+10=70（只） 鸭子比鹅多：70-45=25（只） 答案：奶奶家养的鸭子比鹅多25只。 2.水果店批发120筐水果，其中苹果比橘子的2倍还多5筐，梨比苹果少10筐。则批发的梨比橘子多几筐？ 解析：设批发橘子 筐，则苹果（2+5）筐，梨（2+5-10）筐，得到方程+2+5+2+5-10=120，解方程即可。 +2+5+2+5-10=120      解得=24 苹果：24×2+5=53（筐） 梨：53-10=43（筐） 梨比橘子多：43-24=19（筐） 答案：批发的梨比橘子多19筐。 同类练习 1.某班级上体育课的足球和篮球数量一样多，将12个足球和18个篮球分给其他班级后，剩下的足球数量是篮球数量的2倍，原来篮球足球各多少个？ 2.上层书柜的书比下层书柜的书多三本，将5本上层书架的书和8本下层书架的书拿出后，剩下的上层书架书本数量是下层数量的4倍，原来上下层书各多少本？ 拓展练习 1.小明小红和小雅三人分116个糖果，如果把小明分得的个数减去6，小红分得的个数减去22，小雅把分得的个数减去一半后，三人的糖果数量就相同。三人原来各分得糖果多少？ 2.某厂家生产玻璃杯、保温杯和茶杯，某个季度一共生产了169个，保温杯的数量比玻璃杯的3倍还要多8个，茶杯的数量比保温杯的2倍还要少5个，那么生产的茶杯比保温杯多几个？ 方法总结 和差问题口诀 和加上差，越加越大； 除以2，便是大的； 和减去差，越减越小； 除以2，便是小的。 差倍问题的口诀 我的比你多， 倍数是因果。 分子实际差， 分母倍数差。 商是一倍的， 乘以各自的倍数， 两数便可求得。 和差常见的题目类型 1.直接给出和与差； 2.差未知，即暗差，需要根据已知条件求出差； 3.和未知，即暗和，需要根据已知条件求出和； 4.和已知，涉及多个量。 专项练习 1.有甲、乙两筐质量相同的苹果，甲筐卖出7千克、乙筐卖出19千克后，甲筐剩下的苹果质量是乙筐剩下的3倍。每筐原有多少千克苹果? 2.春天小学体育组有40人，比书法组人数的3倍少5人，书法组有多少人? 3.秦始皇陵兵马俑，是第一批全国重点文物保护单位，也是第一批中国世界遗产。王叔叔打算带家人参观兵马俑，在网上购买了3张成人票和1张学生票，一共用去420元，已知学生票的价格是成人票的一半，每张学生票和每张成人票各是多少元? 4.批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。运来的香蕉比苹果少多少筐? 5.甲、乙、丙三人分113个苹果，如果把甲分得的个数减去5,乙分得的个数减去24,丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数就相同。三人原来各分得苹果多少个? 6.甲、乙、丙、丁四个数的和是100,甲数加上4,乙数减去4,丙数乘以4,丁数除以4后，四个数就正好相等。求甲、乙、丙、丁这四个数分别是多少。 7.某工厂共有职工800人，其中女职工人数比男职工人数的2倍少40人，这个工厂的男、女职工各有多少人? 8.姐姐有小人书40本，妹妹有小人书50本。问：姐姐给妹妹多少本小人书，才能使妹妹的小人书是姐姐的2倍? 9.甲站原有车52辆，乙站原有车32辆。若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍? 10.五(1)班上学期体育达标的人数比未达标人数的5倍多2人，这学期又有2倍同学达标，这样，达标的人数正好是未达标人数的7倍。这个班共有多少个同学? 参考答案 同类练习 1.解析： 方法一：此题可先求出剩下的足球和篮球数的差与倍数关系，再根据差倍公式：差÷（倍数-1）=较小数解答即可。根据题意可得，剩下的足球比篮球多：18-12=6（个）；由差倍公式可得，剩下的篮球个数：6÷（2-1）=6（个）；原来的篮球个数：6+18=24（个）；因为原来篮球个数和足球数同样多，所以，原来的足球数也是24个。 方法二：设原来篮球有 个，分给其他班后，篮球有-18个，又知道剩下的足球数量是篮球数量的2倍，所以剩下的足球数量为[2（-18）]个，已知条件原来的足球和篮球一样多，可得到方程： 2（-18）+12= 解得=24 所以原来足球的个数也为24个。 答案：篮球、足球各24个。 2.解析： 方法一：此题可先求出剩下的上层数量和下层数量的差与倍数关系，再根据差倍公式：差÷（倍数-1）=较小数解答即可。根据题意可得：剩下的上层书本数量比篮下层多：8-5=3（本）；由差倍公式可得：剩下的下层书本个数：4÷（3-1）=2（本）；原来的下层书本数量：2+8=10（个）；原来的上层书本数量=10+3=13（本）。 方法二：解：设原来下层有 本书，上层书柜的书比下层书柜的书多三本，那么上层书柜原来有（+3）本书，已知条件将5本上层书架的书和8本下层书架的书拿出后，剩下的上层书架书本数量是下层数量的4倍，可得到方程4（-8）=+3-5 解得=10 所以原来上层书柜的书有：10+3=13（本） 答案：上层13本，下层10本。 拓展练习 1.解析： 方法一：已知将（总的糖果数量-6-22）÷（1+1+2）为三人相同的糖果数量，再根据题目条件即可求出结果。 （116-6-22）÷4=22（个）， 小明分得：22+6=28（个）， 小红分得：22+22=44（个）， 小雅分得：22×2=44（个）。 方法二：设小明原来分得糖果 个，已知条件如果把小明分得的个数减去6，小红分得的数减去22，小雅把分得的个数送给其他人一半后，三人的糖果数量就相同。可得到小红原来糖果的个数为（-6）+22，小雅原来的糖果个数为（-6）×2，又知道这三个人原来糖果的总数量，立等式即可。 +（-6）+22+（-6）×2=116 解得=28 所以小红原来分得糖果：（28-6）+22=44（个） 小雅原来分得糖果：（28-6）×2=44（个） 答案：小明分得28个，小红分得44个，小雅分得44个。 2.解析： 方法一：已知将[杯子总量-8-（8×2-5）]÷（1+3+6）为一份，也即玻璃杯的数量，再根据题目条件即可求出结果。 玻璃杯：（169-19）÷10=15（个） 保温杯：15×3+8=53（个） 茶杯：53×2-5=101（个） 茶杯比保温杯多：101-53=48（个） 方法二：设生产的玻璃杯有 个，则保温杯有（3+8）个，茶杯有[2（3+8）-5]个，得到方程+3+8+2（3+8）-5=169，解方程即可。 +3+8+2（3+8）-5=169 解得=150 保温杯：15×3+8=53（个） 茶杯：53×2-5=101（个） 茶杯比保温杯多：101-53=48（个） 答案：生产的茶杯比保温杯多48个。 专项练习 1.答案：甲、乙两筐原有25千克苹果。 解析：甲、乙两筐水果卖出的数量差，就是两筐水果剩下的数量差。再把乙筐剩下的苹果质量看作1份，甲筐剩下的苹果质量看作3份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷(倍数-1)=1(份数),计算出乙筐剩下的苹果质量，最后用乙筐剩下的苹果质量加上19,可以计算出每筐原有多少千克苹果。列式： (19-7)÷(3-1)+19 =12÷2+19 =6+19 =25(千克) 因为甲、乙两筐原有苹果质量相同，所以甲、乙两筐原有25千克苹果。 2.答案：书法组有15人。 解析：如果设书法组的人数为 ,体育组的人数已知，且体育组人数可以用(3-5)表示出来，可以列式： 3-5=40 解得=15 所以书法组有15人。 3.答案：每张学生票是60元，每张成人票是120元。 解析：已知学生票的价格是成人票的一半，3张成人票相当于6张学生票的价格，那么420就相当于(6+1)张学生票的价格，然后用除法求出每张学生票的价格，再进一步解答即可。可得： 学生票：420÷(3×2+1)=60(元) 成人票：60×2=120(元) 4.答案：运来的香蕉比苹果少89筐。 解析：根据题意，设香蕉的筐数为 ,那么苹果的筐数为(65++24),求运来的香蕉比苹果少多少筐，可以列式： (65++24)- =65++24- =65+24 =89 所以运来的香蕉比苹果少89筐。 5.答案：甲分得的苹果有26个，乙分得的苹果有45个，丙分的苹果有42个。 解析：根据题意，三人苹果个数相同时，设每人分得 个苹果，那么,甲分得的苹果有(+5)个，乙分得的苹果有(+24)个，丙分得2个苹果。可以列式： +5++24+2=113 解得=21 所以，甲分得的苹果有：+5=26(个),乙分得的苹果有：+24=45(个),丙分得2=42(个)。 6.答案：甲是12,乙是20,丙是4,丁是64。 解析：根据题意，设甲乙丙丁正好相等时为 ,那么,甲=-4,乙=+4,丙=÷4,丁=4。可以列式： (-4)+(+4)+(÷4)+4=100 解得=16 所以，甲=16-4=12,乙=16+4=20,丙=16÷4=4,丁=4×16=64。 7.答案：这个工厂的男职工有280人，女职工有520人。 解析：根据题意，设男职工有 人，那么女职工就有(2-40)人，可以列式：+2-40=800 解得=280 女职工有：2-40=2×280-40=520(人) 所以，这个工厂的男职工有280人，女职工有520人。 8.答案：姐姐给妹妹10本小人书，才能使妹妹的小人书是姐姐的2倍。 解析：由已知条件：姐姐有40本小人书，妹妹有50本小人书，可以求出两人共有小人书的本数，又知姐姐给妹妹一些后，姐姐的本数为1倍数，妹妹的本数是姐姐的2倍，根据和倍关系可求出此时姐姐有多少本，最后得出问题所求。 姐姐给妹妹后，姐姐有：(40+50)÷(1+2)=90÷3=30(本) 姐姐给妹妹：40-30=10(本) 所以，姐姐给妹妹10本小人书，才能使妹妹的小人书是姐姐的2倍。 9.答案：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。 解析：每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍量，那么,几天以后甲站的车辆数减少至：(52+32)÷(2+1)=28(辆),所求天数为：(52-28)÷(28-24)=6(天)。 10.答案：这个班共有56个同学。 解析：根据题意，设这学期未达标的有 人，那么这学期达标的人数是7,上学期达标的人数为(7-2),上学期未达标的人数为(7-2-2)÷5,可以列式： (7-2)+(7-2-2)÷5=+7 解得=7 所以，这个班共有：7×8=56(个)同学。 学科网（北京）股份有限公司 $