第20讲：最值问题—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练

第20讲:最值问题

概念回顾

 定义

在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题，这就是在一定条件下求最大值或最小值方面的数学问题。这类问题涉及的知识面广，在生产和生活中有很大的实用价值。

 方法

1.枚举法：用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小。

2.极端分析法：从最极端的情况出发考虑，最少的最少，其他尽可能多；最多的最多，其他尽可能少。

3.平均分析法：尽可能平均分，找最少的，使其尽可能多；找最多的，使其尽可能少。

4.公式法：和一定的两个数，差越小，积越大；积一定的两个数，差越小，和越小。

 常见题型

1.数可相同：先求平均数，多余的再微调。

2.数互不相同：先利用连续自然数满足互不相同，多余的再尽量平均分。

典型例题

1.A，B两个自然数，A+B=60，求A×B的最大值。

解析：通过最值原理已知和一定时，差小积大，那么当差为0时，两个数字是最接近的，此时两个数的积亦是最大的。所以当A、B都为30时，两个数的积最大为30×30=900。

答案：A×B的最大值为900。

2.将4，5，6，7，8，9填入算式□□□-□□□中，每个数字用1次，请问：这个算式结果最大是多少？

解析：要使差尽可能小，那么被减数应尽可能大，减数应尽可能小，因此在4，5，6，7，8，9这六个数字中，可以组成的最大数字为987，则被减数为987，剩余数字可组成的最小数字为456，则减数为456，故组成的算式结果最大是：987-456=531。

答案：这个算式结果最大是531。

同类练习

1.用1，2，3，4，5，6，7，8组成两个四位数，这两个四位数的差最小是？

 

 

 

2.小兰要用16米长的铁丝网围成一个长方形（非正方形）种花，已知长和宽均是整米数，那么怎样围所得的花圃的面积最大？

 

 

 

拓展练习

1.两个自然数的积是48，它们的和最小多少？

 

 

2.把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数。如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是36，试求这样的两位数中最大的是多少？

 

 

 

 

 

方法总结

几个关于最值的重要结论

1.两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。

2.三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。

3.两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。

4.在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。

5.在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。

6.在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。

7.在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。

专项练习

1.两个整数和为9,它们的乘积最大为多少?