第20讲：最值问题—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第20讲:最值问题 概念回顾 定义 在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题，这就是在一定条件下求最大值或最小值方面的数学问题。这类问题涉及的知识面广，在生产和生活中有很大的实用价值。 方法 1.枚举法：用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小。 2.极端分析法：从最极端的情况出发考虑，最少的最少，其他尽可能多；最多的最多，其他尽可能少。 3.平均分析法：尽可能平均分，找最少的，使其尽可能多；找最多的，使其尽可能少。 4.公式法：和一定的两个数，差越小，积越大；积一定的两个数，差越小，和越小。 常见题型 1.数可相同：先求平均数，多余的再微调。 2.数互不相同：先利用连续自然数满足互不相同，多余的再尽量平均分。 典型例题 1.A，B两个自然数，A+B=60，求A×B的最大值。 解析：通过最值原理已知和一定时，差小积大，那么当差为0时，两个数字是最接近的，此时两个数的积亦是最大的。所以当A、B都为30时，两个数的积最大为30×30=900。 答案：A×B的最大值为900。 2.将4，5，6，7，8，9填入算式□□□-□□□中，每个数字用1次，请问：这个算式结果最大是多少？ 解析：要使差尽可能小，那么被减数应尽可能大，减数应尽可能小，因此在4，5，6，7，8，9这六个数字中，可以组成的最大数字为987，则被减数为987，剩余数字可组成的最小数字为456，则减数为456，故组成的算式结果最大是：987-456=531。 答案：这个算式结果最大是531。 同类练习 1.用1，2，3，4，5，6，7，8组成两个四位数，这两个四位数的差最小是？ 2.小兰要用16米长的铁丝网围成一个长方形（非正方形）种花，已知长和宽均是整米数，那么怎样围所得的花圃的面积最大？ 拓展练习 1.两个自然数的积是48，它们的和最小多少？ 2.把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数。如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是36，试求这样的两位数中最大的是多少？ 方法总结 几个关于最值的重要结论 1.两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。 2.三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。 3.两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。 4.在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。 5.在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。 6.在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。 7.在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。 专项练习 1.两个整数和为9,它们的乘积最大为多少? 2.有一根20厘米的铁丝，围成一个边长为整数的四边形，且要求面积尽可能的大，那么该四边形的面积最大是多少? 3.将1,2,3,4填入算式□□×□□的方格中，要使计算结果最大，应该怎么填? 4.用一根铁丝，围成一个面积为24平方厘米且边长为整数的长方形，要求铁丝尽可能的短，最少需要多少厘米的铁丝? 5.有8个西瓜，它们分别重2千克，3千克，4千克，4千克，5千克，6千克，8.5千克，10千克，把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻，那么最重的一堆是多少千克? 6.有5人去理发，根据不同的发型理发时间分别为10分钟，12分钟，15分钟，22分钟和24分钟，现有两位师傅同时为5人理发，问：5人全部完成理发，最快要多久? 7.用1、2、3、4、6、7、8、9组成两个四位数，使这两个数的差最小，这个差最小是多少? 8. 2a和b是小于100的两个不同的自然数，求的最大值。 9.甲乙两个两位数，甲的等于乙的,这两个两位数的最大差为多少? 10.三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差为114,这三个数中最小的是多少? 参考答案 同类练习 1.解析：若想让两个四位数的差最小，则两个四位数的最高位，千位数应差1。而后面的三位数，被减数应尽量取小，减数应尽量取大。在1-8这八个数字中，最大的三位数可以取876，则减数的后三位为876。剩余数字中，最小的三位数可以取123，则被减数的后三位为123。剩余数字4和5，则被减数为5123，减数为4876，那么差为5123-4876=247。 答案：这两个四位数的差最小是247。 2.解析： 方法一：根据长方形周长公式：（长+宽）×2，以及最值原理【和一定时，差小积大】，可知长+宽的和是一定的，为16÷2=8（米），那么差值越小积越大，因为是非正方形花圃，所以差值不可为0，则最小差值为5-3=2（米），故取长和宽分别是5和3的时候，面积最大。 方法二：根据长方形周长公式：（长+宽）×2，可知长+宽=16÷2=8（米），采用枚举法列举出所有可能的围法： ①1+7=8，1×7=7； ②2+6=8，2×6=12； ③3+5=8，3×5=15； ④4+4=8（因为是非正方形，所以排除）。 可以看出，取长和宽分别是5和3的时候，面积最大。 答案：当长和宽分别是5和3的时候，花圃面积最大。 拓展练习 1.解析： 方法一：通过最值原理【积一定的两个数，差越小，和越小】可知，当两个自然数相等时，差为0，最接近，此时和最小。 48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 所以，当两个自然数的乘积是48时，共有以下5种情况： ①48=1×48； ②48=2×24； ③48=3×16； ④48=4×12； ⑤48=6×8。 其中，差值最小的一组数字是6和8，那么和最小是6+8=14。 方法二：48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 所以，当两个自然数的乘积是48时，共有以下5种情况： ①48=1×48，1+48=49； ②48=2×24，2+24=26； ③48=3×16，3+16=19； ④48=4×12，4+12=16； ⑤48=6×8，6+8=14。 所以这两个乘数的和最小为14。 答案：这两个自然数和最小为14。 2.解析：设原来两位数十位数字为a，个位数字为b，根据题意可知：原来的两位数为10a+b，交换位置后新的两位数为10b+a，差是36，则（10a+b）-（10b+a）=36。整理算式可得：10a+b-10b-a=9a-9b=9（a-b）=36，则a-b=4，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a=9，则b=9-4=5，故原来的两位数中最大的是95。 答案：这样的两位数中最大的是95。 专项练习 1.答案：它们的乘积最大为20。 解析：在整数和为9中，可以得到几对：9和0，8和1，7和2，6和3，5和4，分别计算它们的乘积得到5×4=20积为最大。 2.答案：围成的四边形面积最大为25平方厘米。 解析：已知长与宽的和一定等于20÷2=10厘米，长与宽的差值越小积越大，则最小差值为5-5=0,所以面积最大为5×5=25平方厘米。 3.答案：32×41=1312 解析：要使积最大，十位上应为3或4,个位上应为1或2,所以计算两种组合乘积，得到32×41=1312。 4.答案：需要铁丝20厘米。 解析：根据积一定，差小和小，24=1×242×12=3×8=4×6,得到4+6=10和最小，所以需要铁丝(4+6)×2=20厘米。 5.答案：最重的一堆为14.5千克。 解析：根据平均数的意义及求法，求出这8个西瓜的总千克数除以3就是每堆的千克数，使每堆分得的千克数尽量接近这个平均数，这样就能使最重的一堆尽可能轻一些。 (2+4+3+4+5+6+8.5+10)÷3=42.5÷3≈14.2(千克) 可以这样分就能使最重的一堆西瓜尽可能轻一些： 2+3+4+5=14(千克)；10+4=14(千克)；6+8.5=14.5(千克)或8.5+2+4=14.5(千克)6+5+3=14(千克)10+4=14(千克)…即最重的一堆西瓜是14.5千克。 6.答案：全部完成理发最短需要44分钟。 解析：5人每个人理发的时间知道，有两位师傅同时理发，平均一个师傅用(10+12+15+22+24)÷2=41.5分钟，但是5人理发做不到2位师傅平均理完，所以在5个人中计算每位师傅接近平均时间的安排办法，可得： 15+24=39(分钟) 10+12+22=44(分钟) 所以最少需要44分钟。 7.答案：这个差最小为139。 解析：若要让差最小，那么,让两数的千位只差I:大数除去千位后的三位数要尽量小，小数除去千位后的三位数要尽量大。 1、2、3、4、6、7、8、9这8个数，能组成的最大三位数为987,最小三位数为123。 但这样的话，剩下的4、6差为2,显然不能得到最小差，那么令千位为3、4,这样，剩余的数字组成的最大数为987,最小数为126最小差为4126-3987=139。 8.答案：的最大值为。 解析：根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。分子a-b的得数要尽可能大，减数b尽可能小；而分母a+b的得数尽可能小，加数b尽可能小，所以b=1。因为，a和b是小于100的两个不同的自然数，显然，a=99,b=1时分子最大：99-1=98,此时分母是99+1=100。即最大值是,约分后是。 (9)答案：这两个两位数的最大差为56。 解析：甲=乙,甲：乙=7:3,可得甲为7的倍数，且甲是小于100的两位数，甲最大为98,甲越大乙越小差就越大，所以乙为：98÷7×3=42,两者的差为98-42=56。 10.答案：这三个数中最小的是56。解析：设a,b,c,因为三个连续自然数，所以c-a=2。 bc-ab=114 b(c-a)=114 2b=114 b=57 所以这三个数中最小的a为57-1=56。 学科网（北京）股份有限公司 $