第24讲：盈亏问题—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第24讲:盈亏问题 概念回顾 定义 盈亏问题的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余，或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品数量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。 公式 1.一盈一亏问题 在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数=（盈+亏）÷分配差 2.双盈双亏问题 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数=（大盈-小盈）÷分配差 参加分配总人数=（大亏-小亏）÷分配差 典型例题 1.妈妈组织一家人乘小汽车去秋游，若每车坐4人，那么有2人无法乘上车；若每车多坐2人，那么就多余了一辆车，问：一共有几辆小汽车，一共有多少个家庭成员？ 解析：每车坐4人，那么有2人无法乘上车，即多2人；若每车多坐2人，那么就多余了一辆车，这辆多余的车少坐了4+2=6（人），即少6人。则汽车数：（4+2+2）÷2=4（辆），代入原题中，可得：家庭成员数为4×4+2=18（个）。 答案：一共有4辆小汽车，一共有18个家庭成员。 2.学校组织学生参加夏令营，为五年级的女同学安排住宿，若每个房间住4人，则多出12人，每个房间住6人，则空出4个房间，问五年级的女同学一共有多少人？ 解析：每个房间住4人，则多出12人；每个房间住6人，就空出4个房间，这4个房间如果住满人应该是6×4=24（人），即少24人。则：（12+24）÷（6-4）=18（间），代入原题中，可得：总人数为4×18+12=72+12=84（人）。 答案：五年级的女同学一共有84人。 同类练习 1.小区老板准备在小区一空地上修建一条跑道，如果工人每天修320米，修完全长就要延迟10天；如果工人每天修400米，修完全长还是要延迟5天。问：这条跑道全长有多少米？ 2.儿童节到了，李老师买了一些贴纸分给幼儿园的小朋友们。如果每个小朋友分6张，则多了9张；如果小朋友的人数增加8人，每个小朋友分5张，那么就少4张。问：李老师一共买了多少张贴纸？ 拓展练习 1.周末小明和班里的同学去一个景区游玩，他们准备坐观光车，如果增加一辆观光车，正好每辆观光车可以坐上7人；如果减少一辆观光车，正好每辆观光车可以坐上9人。问：小明班里一共有多少人？ 2.幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分6个，则余5个；如果全部分给小班的小朋友，每人分9个，则缺4个，已知大班比小班多3个小朋友，问：这筐苹果共有多少个？ 方法总结 一盈一亏用加法，双盈双亏用减法。 解题步骤 1.列条件 2.份数=盈亏差÷每份差 3.总数：代入条件求解 解题规律 总差额÷每人差额=人数 总差额的求法可以分为以下四种情况 1.第一次多余，第二次不足 总差额=多余+不足 2.第一次正好，第二次多余或不足 总差额=多余或不足 3.第一次多余，第二次也多余 总差额=大多余-小多余 4.第一次不足，第二次也不足 总差额=大不足-小不足 专项练习 1.一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树? 2.五(2)班老师给学生发笔记本，如果每人发3本，还剩下了31本，如果每人发5本，就差15本，五(2)班有学生多少人?共有多少本笔记本? 3.妈妈在菜市场买猪肉，买5斤猪肉剩余5元钱，买6斤差3元钱，猪肉每斤多少钱?妈妈带了多少钱? 4.三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动，如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖。这个班的少先队员有几人?要搬的砖共有多少块? 5.老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃，则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子?老猴子一共有多少个桃子? 6.冬天到了，小松鼠拿出一筐松果当作一段时间的粮食，如果每天吃5个，还少3个；如果每天吃6个，还少8个。你知道小松鼠这筐松果有多少个吗? 7.学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家?由家到学校的路程是多少? 8.养猪场新到了一批幼年猪，如果每个饲养员照顾3头小猪，会有22头猪没人照顾；如果每个饲养员多照顾5头小猪，会有I个饲养员分不到任务。这个养猪场新到的幼年猪有多少头? 9.李老师将一盒橡皮分给同学们，如果全部分给一组的同学，每人分5个，则余下10个。如全部分给二组的同学，每人分8个，则缺2个。已知一组比二组多3人，问：这盒橡皮共有多少个? 10.植树节杨老师带着同学们去植树，如果每人种5棵，最后会剩下3棵树没人种，如果其中有2个同学各种4棵，剩下的同学每人种6棵，则这些花刚好种完。请问有多少个同学参加了植树?一共要种多少棵树? 参考答案 同类练习 1.解析：原定完成任务的天数：（320×10-400×5）÷（400-320）=15（天） 这条跑道全长：400×（15+5）=8000（米） 答案：这条跑道全长8000米。 2.解析：由题意贴纸的数量不变，本题可设方程，设原有小朋友 人，那么可得： 6+9=（+8）×5-4 解得=27 27×6+9=171（张） 答案：李老师一共买了171张贴纸。 拓展练习 1.解析：若增加一辆车，正好每辆车坐7人，不增加，则有7×1=7（人）坐不下。减少一辆车，正好每辆车坐9人，不减少，则空余座位9×1=9（个）。根据盈亏问题的解题方法，原有车的辆数可以求出答案。 （9+7）÷（9-7） =16÷2 =8（辆） （8+1）×7=63（人） 答案：小明班里一共有63人。 2.解析：假设开始大班小朋友每人手中拿6个苹果，然后每人都将自己的这6个苹果交给一个小班的人，由于大班比小班多3个人，所以还有3个人给不出去，再加上本来就余下5个苹果，这样一共余下6×3+5=23（个）苹果。 这样，题目的第一个条件就可以变为：“如果分给小班的小朋友每人6个苹果，则余23个。” 又“如果分给小班的小朋友每人9个苹果，则缺4个苹果。”要给小班每人多分9-6=3（个）苹果，则需23+4=27（个）苹果，则小班共有27÷3=9（个）小朋友。 所以，这筐苹果共有9×9-4=77（个）。 答案：这框苹果共有77个。 专项练习 1.答案：小组有9人，一共有59棵树。 解析：由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变动。比较两种分配方案，结果相差：14+4=18(棵),即第一种方案的结果比第二种多18棵。这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差：7-5=2(棵)。所以植树小组有：18÷2=9(人),一共有：5×9+14=59(棵)树。 2.答案：班里有23人，共有100本笔记本。 解析：学生与笔记本的总数不变，每人分3本，剩下31本，每人分5本，差15本。可以看出如果在每人发3本的基础上每人再发2本，就需要：31+15=46(本)。因此，46÷2=23,23就是五(2)班的学生人数。笔记本总数为：23×3+31=100(本)。 3.答案：猪肉每斤8元，妈妈带了45元。 解析：妈妈买5斤多5元，买6斤差3元，一次多余，一次不够，两次一共相差：5+3=8(元),多买：6-5=1(斤),多出8元，因此每斤猪肉要8元。妈妈带了：5×8+5=45(元)或8×6-3=45(元)。 4.答案：这个班少先队员有9人，砖有43块。 解析：比较两种搬砖方法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块，这两次搬砖，每人相差：5-4=1(块),第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9(块),每人相差I块，结果总数就相差9块，所以有少先队员：9÷1=9(人),共有砖：4×9+7=43(块)。 5.答案：一共有7只小猴子，老猴子一共有79个桃子。 解析：老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是：9-2=7(个),两次分配之差是：11-10=1(个),由盈亏问题公式得，有小猴子：7÷1=7(只),老猴子有：7×10+9=79(个)桃子。 6.答案：小松鼠这筐松果有22个。 解析：小松鼠的两种吃法都会出现松果不够吃的情况，第二种方法与第一种方法松果相差：8-3=5(个)。这5个松果分到每一天可以吃：6-5=1(个)。小松鼠这筐松果是打算吃：5÷1=5(天)。所以，这筐松果一共有：5×5-3=22(个)。 7.答案：小明7点40分离家。由家到学校的路程是600米。 解析：根据盈亏问题中的亏亏问题：(大亏一小亏)÷两次分配差=单位数(到校时间); 小明上学所用的时间是：(60×10-50×8)÷(60-50)=20(分钟)。 小明平时的离家时间是：8时-20分=7时40分。 他家到学校的路程是：60×(20-10)=600(米)。 8.答案：这个养猪场新到的幼年猪有40头。 解析：第一种饲养计划会有22头小猪没人照顾，第二种饲养计划会有1个饲养员分不到任务，1个饲养员可以照顾：5+3=8(头)小猪，所以第二种计划比第一种计划可以多照顾：22+8=30(头)小猪，多出来的30头小猪是因为每个饲养员多照顾了5头小猪，所以这个养猪场一共有饲养员：30÷5=6(个),养猪场新到的幼年猪一共有：6×3+22=40(头)。 9.答案：这盒橡皮共有70个。 解析：先把一组人数和二组人数转化为一样。一组减少3人，则橡皮又收回：3×5=15(个),人数一样，根据盈亏问题公式，二组人数为：(15+10+2)÷(8-5)=9(人),橡皮总数是：8×9-2=70(个)。 10.答案：有7个同学参加了植树，一共要种38棵树。 解析：第二种植树计划中，有2个同学各种了4棵树，剩下每个同学都种了6棵树，可以理解为：如果每个人种6棵树，会少：(6-4)×2=4(棵)树。第一种植树计划会剩下3棵树没有人种，所以每人种6棵的计划能比第一种计划多种：3+4=7(棵)树。多种的7棵树是因为每个同学多种了：6-5=1(棵)。所以有：7÷1=7(个)同学参加植树。一共要种树：7×5+3=38(棵)。 学科网（北京）股份有限公司 $