第11讲：周长与面积（一）—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第11讲:周长与面积（一） 概念回顾 定义 周长是指一个平面图形所有边长的总和；面积是指一个平面图形所覆盖的表面的大小。 周长与面积公式 1.长方形的面积=长×宽；长方形的周长=（长+宽）×2 2.正方形的面积=边长×边长；正方形的周长=边长×4 3.三角形的面积=底×高÷2；三角形的周长=三边之和 4.平行四边形的面积=底×高；平行四边形的周长=（长边+短边）×2 5.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2；梯形的周长=上底+下底+腰长+腰长 6.菱形的面积=对角线之积÷2=底×高；菱形的周长=边长×4 7.圆形的面积=半径×半径×π；圆形的周长=2×π×半径 方法 1.整体-部分；2.平移法；3.割补法→差不变原理 典型例题 1.如图，四边形ABCD是一个长方形，AD=4厘米，AB=2厘米，CG=1厘米，ABFE是一个平行四边形，求阴影部分的面积。 【解析】 阴影部分包含在平行四边形ABFE内。平行四边形的面积容易求出：平行四边形ABFE的底AB=2厘米，高BC=AD=4厘米，则面积为：2×4=8（平方厘米）； 三角形ABG的面积也很容易求出：三角形ABG的底AB=2厘米，高BG=BC-CG=4-1=3（厘米），则面积为：2×3÷2=3（平方厘米）； 从平行四边形ABFE中减去三角形ABG的面积，就得出了阴影部分的面积。阴影部分的面积为：8-3=5（平方厘米）。 答案：阴影部分面积为5平方厘米。 2.一块正方形田地长30米，宽30米，田地中间横竖各留了宽1米的沟渠，求沟渠的周长和面积分别是多少？ 【解析】 求沟渠面积：已知正方形田地的长、宽为30米，沟渠的宽为1米，沟渠的长即为田地的长30米；所以一条沟渠的面积即为1×30=30（平方米），而在计算两条沟渠长时，要注意将中间重合部分进行去重，中间重合部分的长、宽均为1米，所以重合部分面积为1×1=1（平方米），那么两条沟渠的面积即为30×2-1=59（平方米）。 求沟渠周长：如图所示 沟渠周长即为沟渠所有边长之和，若按图中所示将边长平移至缺口处，即可将不规则图形的周长变为无缺口的4条直线长度之和，已知每条直线长为30米，那么4条线之和为4×30=120（米），即沟渠周长为120米。 答案：沟渠的面积为59平方米，周长为120米。 同类练习 1.下图中的两个正方形空白处面积之差是多少？ 2.如图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD=5厘米。又知三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积。 拓展练习 1.有四根同样的圆钢，它们的横截面直径都是5厘米。用一根铁丝捆扎这四根圆钢（如图），如果铁丝接头处长8厘米，π取3.14，请问这根铁丝全长多少厘米？图中阴影部分面积是多少平方厘米？ 2.已知图中阴影部分面积是50平方厘米，π取3.14，求环形的面积是多少平方厘米? 方法总结 特殊图形的周长与面积公式 1.扇形的面积=π×r2×（n°÷360°） 扇形的周长=π×d×（n°÷360°）+d=（n°÷360°）×2×π×r+2r（n° 为扇形的圆心角） 2.圆环的面积=π×R2-π×r2=π×（R2-r2）（R为大圆半径，r为小圆半径） 专项练习 1.一个长方形操场，长55米，宽35米，这个操场的周长和占地面积各是多少? 2.一块长方形菜地的长是75米，是宽的3倍，这块菜地的周长和占地面积各是多少? 3.少年宫新建了一个长20米、宽15米、深2.4米的露天游泳池。问：游泳池的占地面积是多少?在游泳池的底面和四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积有多大? 4.一块平行四边形钢板，底是12.5米、高是6.2米，这块钢板重多少千克?(16.5千克/平方米) 5.一块三角形稻田，底长32米，高25米，平均每平方米收稻谷1.2千克，这块稻田可收稻谷多少千克? 6.一个果园近似梯形，它的上底120米，下底180米，高6米。如果每棵果树占地10平方米，这个果园共有果树多少棵? 7.梯形的上底是3.8厘米，高是4厘米，已知它的面积是20平方厘米，下底是多少厘米? 8.一个周长是50.24厘米的圆，半径增加了4厘米，面积增加了多少平方厘米? 9.宾馆大厅里有一个圆形的吊灯，周长是62.8分米，这个吊灯的面积是多少平方分米? 10.用一根长40分米的铁丝做一个长方体的框架，使它的高为4分米，长、宽的比是1:1,再把它五个面糊上纸，做成一个长方体的灯笼，至少需要多少平方分米的纸? 参考答案 同类练习 1.解析：如图所示 已知大白+阴影=大正方形的面积=8×8=64，则大白=64-阴影； 已知小白+阴影=小正方形的面积=6×6=36，则小白=36-阴影； 所求面积为大白与小白的面积之差，则为大白-小白=（64-阴影）-（36-阴影）=64-阴影-36+阴影=64-36=28。 答案：面积之差为28。 2.解析： 因为S△ABF=S△BCE=S四边形BEDF，且S△ABF+S△BCE+S四边形BEDF=S梯ABCD=（BC+AD）×CD÷2=（10+14）×5÷2=60（平方厘米）， 所以S△BCE=S梯ABCD=×60=20（平方厘米）， 又因为S△BCE=BC×CE=20（平方厘米）， 所以CE=4（厘米），则DE=CD-CE=5-4=1（厘米）， 又因为S△ABF=AF×CD=20（平方厘米）， 所以AF=8（厘米），则DF=AD-AF=14-8=6（厘米）， 所以S△DEF=DF×DE=×6×1=3（平方厘米）。 答案：面积为3平方厘米。 拓展练习 1.解析：如图所示 铁丝长度=AB+弧BC+CD+弧DE+EF+弧FG+GH+弧HA+8， 已知横截面直径为5厘米，所以AB、CD、EF、GH均为5厘米， 又因为弧BC、弧DE、弧FG、弧HA均为圆弧的长度，所以弧BC+弧DE+弧FG+弧HA=1个圆的周长=π×5=3.14×5=15.7（厘米）， 所以铁丝长度为5+5+5+5+15.7+8=43.7（厘米）。 若按图进行切割后，可知阴影部分面积分别在长方形ABO1O2、长方形CDO2O3、长方形EFO3O4、长方形HGO4O1、长方形XYO1O4和长方形XYO2O3中，且各长方形中阴影部分面积相等。 已知O1O2=直径=5厘米，则O1A=半径=×5=2.5（厘米），则切割后每个长方形的面积S=5×2.5=12.5（平方厘米）。 又因为空白部分为2个相同大小且半径为2.5厘米的圆，所以空白部分面积=π×2.5×2.5×=9.8125（平方厘米），那么此处的阴影部分面积为12.5-9.8125=2.6875（平方厘米），则总阴影部分面积为2.6875×6=16.125（平方厘米）。 答案：这根铁丝全长43.7厘米，图中阴影部分面积是16.125平方厘米。 2.解析：如图所示 已知计算环形面积公式为：S圆环=大圆面积-小圆面积=π×（R2-r2），其中R为大圆半径，r为小圆半径。 将阴影面积分以OB为分界线分成两部分，且两部分面积相等，在三角形AOB中的阴影面积为S△AOB-S△DOF=×OB×OA-×OF×OD，因为OB=OA=R，OF=OD=r，所以半个阴影部分面积为：×R2-×r2=×（R2-r2），则整个阴影部分面积为：2××（R2-r2）=R2-r2=50平方厘米。 则圆环面积为：π×（R2-r2）=3.14×50=157（平方厘米）。 答案：环形的面积是157平方厘米。 专项练习 1.答案：这个操场的周长为180米，面积为1925平方米。 解析：周长：(55+35)×2=180(米) 面积：55×35=1925(平方米) 2.答案：这块菜地的周长为200米，面积为1875平方米。 解析：宽：75÷3=25(米) 周长：(75+25)×2=200(米) 面积：25×75=1875(平方米) 3.答案：游泳池的占地面积是300平方米；贴瓷砖的面积是468平方米。 解析：游泳池的占地面积=长×宽，即：20×15=300(平方米);贴瓷砖的面积=游泳池四周的面积+一个下底面的面积，即：(20×2.4+15×2.4)×2+20×15=468(平方米)。 4.答案：钢板重1278.75千克。 解析：先求钢板的面积，再求重量。由题意可知，该平行四边形钢板的面积=12.5×6.2=77.5(平方米),钢板的重量=77.5×16.5=1278.75(千克)。 5.答案：可收获稻谷480千克。 解析：先求稻田的面积，再求稻谷产量。由题意可知，该三角形稻田的面积=32×25÷2=400(平方米),稻田的产量=400×1.2=480(千克)。 6.答案：果园共有果树90棵。 解析：先求果园的面积，再求果树的数量。由题意可知，该果园的面积=(120+180)×6÷2=900(平方米),果树的数量=900÷10=90(棵)。 7.答案：下底是6.2厘米。 解析：根据梯形的面积公式“面积=(上底+下底)×高÷2”可得：梯形的下底=面积×2÷高-上底，即：20×2÷4-3.8=40÷4-3.8=10-3.8=6.2(厘米)。 8.答案：面积增加了251.2平方厘米。 解析：先求出圆的半径：50.24÷2÷3.14=8(厘米),再算出增加4厘米后的半径：8+4=12(厘米),最后用增加后的面积减去原来的面积，就得到答案。即：3.14×122-3.14×82=3.14×(144-64)=3.14×80=251.2(平方厘米)。 9.答案：吊灯面积为314平方分米。 解析：先算出吊灯的半径：62.8÷3.14÷2=10(分米),再求出吊灯的面积：10×10×3.14=314(平方分米)。 10.答案：至少需要57平方分米的纸。 解析：长方体一共有4组长宽高，先算出一组长宽高需要多长的铁丝，即40÷4=10（分米）；然后再减去高，就是长和宽的和，即10-4=6（分米）。因为长:宽=1:1，所以长和宽长度相等，即6:（1+1）=3（分米）；最后得到灯笼5个面的表面积之和：3×4×4+3×3=57（平方分米）。 学科网（北京）股份有限公司 $