第10讲：公因数与公倍数—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第10讲:公因数与公倍数 概念回顾 定义 1.因数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数； 2.公因数：也叫“公约数”，指几个数公有的因数；其中最大的因数，叫做这几个数的最大公因数； 3.公倍数：指几个数公有的倍数；其中除0以外最小的倍数，叫做这几个数的最小公倍数。 求解方法 1.最大公因数 ①分解质因数法：先分解质因数，再把相同的质因数连乘起来。 例如： 18=2×3×3 27=3×3×3 最大公因数是：3×3=9 ②短除法：先找出所有共有的质因数，然后相乘。 18 27 3 6 9 3 2 3 用公因数3去除 用公因数3去除 除到公因数只有1为止 最大公因数是：3×3=9 （2）最小公倍数 ①分解质因数法：先分解质因数，再把相同的质因数和其中每个数独有的质因数全部连乘起来。 例如： 12=2×2×3 18=2×3×3 最小公倍数是：2×3×2×3=36 ②短除法： 12 18 2 6 9 3 2 3 用公因数2去除 用公因数3去除 除到公因数只有1为止 最小公倍数是：2×3×2×3=36 典型例题 1. 12和30的公因数有（  ）个。 A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 12的因数有：1、2、3、4、6、12； 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30。 所以根据公因数的定义可得：12和30的公因数有1、2、3、6，共4个。 答案：C。 2. 6、18和24的最大公因数与最小公倍数相加，结果是（  ）。 A.42 B.54 C.78 D.112 【解析】 6=2×3，18=2×3×3=2×32，24=2×2×2×3=23×3，6、18和24的 公因数有2和3，所以6、18和24的最大公因数就是2×3=6，最小公倍数是：23×32=72，最大公因数与最小公倍数相加结果是6+72=78。 答案：C。 同类练习 1.求30、90和108的最大公因数和最小公倍数。 2.学校体育馆新购进一批篮球，平均分配摆在一排筐子中，每18个、每21个或每24个摆放在一个筐子中，都能够正好摆放完。体育馆至少买了多少个篮球？ 拓展练习 1.有一张长252cm，宽231cm的长方形彩色纸，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪成的小正方形的边长最大是多少厘米？正好能剪几个这样的正方形？ 2.一堆糖果，5颗一盒剩3个，4颗一盒剩2个，3颗一盒剩1个，这堆糖最少多少个？ 方法总结 公因数与公倍数关系 1.如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 2.如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。 3.两个整数分别除以它们的最大公因数，所得的商是互质数。 4.两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最大公因数口诀 要求最大公因数，就用公约数去除， 直到商为互质数，除数连乘就得出。 如果两数相比较，小是大数的因数， 不必再用短除式，小数就是公因数。 求最小公倍数口诀 要求最小公倍数，公有质因数去除， 直到商为互质数，除数乘商就得出。 两数若是互质数，乘积即为公倍数， 大是小数的倍数，不必去求已清楚。 专项练习 1. 12和30的公因数有( )个。 2.一个自然数，它的最大的因数和次大的因数和是111,这个自然数是( )。 3. 6、18和24的最大公因数与最小公倍数相加，结果是( )。 4.求30、90和108的最大公因数和最小公倍数。 5.一个正整数，它的2倍的因数恰好比它自己的因数多2个，它的3倍的数的因数恰好比自己的因数多3个，那么这个正整数是( )。 6.学校体育馆新购进一批篮球，平均分配摆在一排筐子中，每18个、每21个或每24个摆放在一个筐子里，都能够正好摆放完。体育馆至少买了多少个篮球? 7.夜里下了一场大雪，早上，小明和爸爸一起步测花园里的一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。那么这条小路长( )米。 8.有一张长252cm,宽23/cm的长方形彩色纸，如果要剪成若干个同样大小的正方形而没有剩余，剪成的小正方形的边长最大是多少厘米?正好能剪几个这样的正方形? 9.一堆糖果，5颗一盒剩3颗，4颗一盒剩2颗，3颗一盒剩I颗，这堆糖果最少多少颗? 10.已知两个数的和是125,它们的最大公约数是25,求这两个数? 参考答案 同类练习 1.解析：30=2×3×5，90=2×3×3×5=2×32×5，108=2×2×3×3×3=22×33，30、45和108的公因数有2和3，所以30、90和108的最大公因数就是2×3=6，最小公倍数是22×33×5=540。 答案：最大公因数是6，最小公倍数是540。 2.解析：根据题意可知，体育馆购买篮球的数量一定是18、21和24的倍数，最少买的数量就是18、21和24的最小公倍数，18=2×3×3=2×32，21=3×7，24=2×2×2×3=23×3，所以18、21和24的最小公倍数是23×32×7=504，即体育馆至少买了504个篮球。 答案：体育馆至少买了504个篮球。 拓展练习 1.解析：根据题意，本题是最大公因数的实际应用，要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，小正方形的边长就是231和252的最大公因数，由此解答即可。 231=3×7×11， 252=22×32×7， 231和252的最大公因数是：3×7=21， （231÷21）×（252÷21）=11×12=132（个）。 答案：小正方形的边长最大是21cm。正好能剪132个这样的正方形。 2.这堆糖5颗一盒剩3个，4颗一盒剩2个，3颗一盒剩1个，说明补两个糖果即可平均分成5个、4个、3个一盒，没有剩余。求最少糖果数，即为求3、4和5的最小公倍数，再减去多补的2颗糖。 3、4和5的最小公倍数：3×4×5=60 糖果总数：60-2=58（颗） 答案：这盒糖最少58颗。 专项练习 1.答案：4 解析：12的因数有：1、2、3、4、6、12;30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30。所以根据公因数的定义可得：12和30的公因数有1、2、3、6,共4个。 2.答案：74 解析：一个自然数最大的因数是这个自然数本身，是这个自然数除以它的最小因数1的商，次大的因数就是这个自然数除以它的次小因数的商。先做111的分解：111=37×3=37×(2+1)=37×2+37,所以，这个自然数是37×2=74。 3.答案：78 解析：6=2×3,18=2×3×3=2×32,24=2×2×2×3=23×3,6、18和24的公因数有2和3,所以6、18和24的最大公因数就是2×3=6,最小公倍数是：2×2×2×3×3=72,最大公因数与最小公倍数相加结果是6+72=78。 4.答案：最大公因数就是6,最小公倍数是540。 解析：30=2×3×5,90=2×3×3×5,108=2×2×3×3×3,30、90和108的公因数有2和3,所以30、90和108的最大公因数就是2×3=6,最小公倍数是2×2×3×3×3×5=540。 5.答案：12 解析：这个数只能含2和3两种质因数，因为如果它还有别的质因数，那么最后增加的个数要比给定的数字大。 设x=2a3b,它的约数(a+1)(b+1)个，它的2倍为2a+1+3b,它的约数有(a+1+1)(b+1)个，则：(a+1+1)(b+1)-(a+1)(b+1)=b+1=2,求出b=1;同理，它的3倍为2,它的约数为(a+1)(b+1+1)个，比原数多3个，即(a+1)(b+1+1)-(a+1)(b+1)=a+1=3,求出a=2,所以这个数的形式是22×3=12。 证明如下(小学阶段不要求掌握): 给定一个正整数n,可以分解质因数，即： 其中P1,P2,……,Pk是n的不同质因数， a1,a2,……,ak是n的这些质因数的指数； 由于每个因数Pi;可以出现0到ai次，因此对于每个质因数，我们都有ai+1种选择。 例如：对于因数P1,我们有,,,……,共a1+1种选择。 所以n的因数数量可以通过以下公式计算： 因数数量=(a1+1)×(a2+1)×……×(ak+1)。 6.答案：体育馆至少买了504个篮球。 解析：根据题意可知，体育馆购买篮球的数量一定是18、21和24的倍数，最少买的数量就是18、21和24的最小公倍数，18=2×3×3,21=3×7,24=2×2×2×3,所以18、21和24的最小公倍数是2×2×2×3×3×7=504,即体育馆至少买了504个篮球。 7.答案：21.6 解析：因为走完一圈，两人都是回到出发点，所以小路长度一定是54和72的公倍数，54=2×3×3×3,72=2×2×2×3×3,因此，54和72的最小公倍数为：2×2×2×3×3×3=216,也就是说小路长度是216厘米的倍数。根据已知条件“留下了60个脚印”可得，在216厘米的过程中，以第一个216厘米为依据，小明留下脚印：216÷54=4(个),爸爸留下脚印：216÷72=3(个)。两人的第一个脚印是重合的，最后一个脚印也是重合的，考虑到环形，第一个脚印可以留给最后一个周期，也就是说，在一个周期(216厘米)的距离中，两人会留下脚印：4+3-1=6(个),从而，一共有周期：60÷6=10(个)。也就是说，小路长度为：216×10=2160(厘米)=21.6(米)。 8.答案：小正方形的边长最大是21cm,正好能剪132个这样的正方形。 解析：根据题意，本题是最大公因数的实际应用，要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，小正方形的边长就是231和252的最大公因数，由此解答即可。 231=3×7×11,252=2×2×3×3×7,231和252的最大公因数是：3×7=21,即小正方形的边长最大是21厘米。 (231÷21)×(252÷21)=11×12=132(个),即正好能剪132个这样的正方形。 9.答案：这盒糖最少58颗。 解析：这堆糖5颗一盒剩3个，4颗一盒剩2个，3颗一盒剩1个，说明补两个糖果即可平均分成5个、4个、3个一盒，没有剩余。求最少糖果数，即为求3、4和5的最小公倍数，再减去多补的2颗糖。 3、4和5的最小公倍数：3×4×5=60,所以糖果总数：60-2=58(颗)。 10.答案：(50,75)或(25,100) 解析：先用125除以两个数的最大公约数25,得125÷25=5。再将5分成两个互质的数：5=2+3=1+4。所以这两个数可以为：25×2=50和25×3=75;也可为25×1=25和25×4=100。 学科网（北京）股份有限公司 $