4.3.1数列的概念及性质（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件围绕数列的概念、表示方法、与函数的关系及单调性等性质展开，从已学的等差数列、等比数列切入，通过三角形和正方形点阵情境引入新知，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以函数视角揭示数列本质，通过问题链引导探究数列与集合的区别、项与序号的对应关系等，体现数学抽象和逻辑推理素养。结合体温监测等实例，培养数学建模能力，学生能深化对数列本质的理解，教师可依托清晰结构提升教学效率。

4.3.1数列 的概念及性质 第四章 数列 学习目标 教学重点：理解数列的概念、表示方法及基本性质。 教学难点：从函数视角理解数列的本质，及通过递推关系分析数列性质。 理解数列概念及表示方法； 掌握数列的基本性质（单调性、周期性等）； 能运用数列知识解决简单问题； 培养函数与方程思想。 课程目标 学科素养 数学抽象：抽象数列的概念及表示； 逻辑推理：分析数列的性质及递推关系； 数学运算：进行数列的相关计算； 直观想象：通过图像理解数列变化； 数学建模：用数列模型解决实际问题 新知引入 情境：除了我们前面学过的等差数列、等比数列这两类特殊的数列外，在现实世界中，许多事物的数量也可以排成一列数． 情景1 如图，能够表示成三角形点阵的点数依次为： 1，3，6，10，15，21，28， ① 情景2 如图，能够表示成正方形点阵的点数依次为： 1，4，9，16，25， ② 新知引入 情景3 目前通用的第五套人民币纸币的面额（单位：元）按照从大到小的顺序排列依次为： 100，50，20，10，5，1 ③ 情景4 医生要对病人的体温进行24小时监控，某天从0时开始记录，每隔4小时记录一次，共记录7次，监测到病人的体温（单位：）依次为： 39.2，38.3，37.5，37.0，36.8，37.2，37.6 ④ 情景5 将的不足近似值按小数位数从少到多的顺序排列依次为： 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421， ⑤ 新知探究 像这样，按照一定顺序排列的一列数称为一个数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项 问题1：数列与以往学过的数集相比有什么不同吗？ 集合中的元素是无序的，而数列的项必须按一定顺序排列，即为有序的；此外，集合中的元素要求互异，而数列的项可以是相同的． 问题2：与的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. 新知探究 问题3：数列的每一项与该项的序号具有怎样的对应关系？ 序号 1 2 3 … n … a1 a2 a3 … an … 项 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数. 数列本质上是特殊的函数. 正整数集 实数集 (或其有限子集 ) 数列是从正整数集(或其有限子集)到实数集的函数. 自变量是序号，对于的函数值是数列的第项，记作. 新知探究 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 ____________（或它的有限子集，2，3， ， ） 解析式 值域 自变量从1开始，按照________________________时，对 应的一列函数值构成 表示方法 （1）解析式法；（2）________；（3）________ 正整数集 从小到大的顺序依次取值 列表法 图象法 数列与函数之间的关系 自变量不是连续的，因此数列是自变量为离散的数的函数． 新知探究 1，4，9，16，25， ② 例如： 可以表示为， 数列可以用解析式来表示 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 问题4：你能求数列②的第8项吗？ 有了数列的通项公式，就可以算出数列中的各项 新知探究 实际中，也常用列表法来表示数列．例如，对于数列④，我们可以用下表直观地表示： 与其他函数一样，数列也有三种表示方法：表格法、图象法、解析式法. 增数列 新知探究 数列的分类 以各项的大小关系分类： 增数列 严格增数列 减数列 严格减数列 从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1an (或an+1an0). 特别的，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1an>0). 从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1an (或an+1an0). 特别的，从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1an (或an+1an0). 单调数列 新知探究 增数列 各项都相等的数列 常数列 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 以项数来分类： 有穷数列： 项数有限的数列； 例： 1，3，6，10，15，21，28， ① 无穷数列： 项数无限的数列. 无穷数列，严格增数列 39.2，38.3，37.5，37.0，36.8，37.2，37.6 ④ 有穷数列，摆动数列 练习巩固 辨析1：若数列的通项满足，那么15是这个数列的第_____项. 辨析2：若数列的通项公式为 则等于______. 【答案】5 【答案】20 辨析3：下列说法正确的是( ). .是有穷数列 . 所有有理数能构成数列 . -2，-1，1，3，4，5是一个项数为7的数列 . 数列1，2，3，4，…，2是无穷数列 典例精讲 例1：已知数列的通项公式，写出这些数列的前5项： （1）； （2） 解：我们可根据相应的通项公式，用列表法分别写出这两个数列的前5项 练习巩固 练习1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. (1)； (2). 解：(1)当通项公式中的时，数列的前5项依次为1，3，6，10，15.图象如图所示. (2)当通项公式中的时，数列的前5项依次为1，0，-1，0，1.图象如图所示. 练习巩固 变式1-1：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式. (1) ； (2) . 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为. （2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为. 小技巧：或常常用来表示正负相间的变化规律. 练习巩固 变式1-2：写出下列数列的一个通项公式： (1) 3，5，9，17，33，； (2) ，8， (3) 2, (4) 5，55，555，5555，. 【答案】：(1). （2）. （3） （4） 小技巧：(1)数列通项公式是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数表达式. (2)像不一定所有的函数关系都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式. 练习巩固 数列 通项公式 1，2，3，4，… 1，3，5，7，… 2，4，6，8，… 1，4，9，16，… 1，2，4，8，… -1,1,-1,1,… 9,99,999,9999,… 1，，，，… 常见数列通项公式： 练习巩固 变式1-3：已知数列的通项公式为 (1)求这个数列的第5项，第10项. (2)试问：15是不是中的项？3是不是中的项？ 解：(1)∵， ∴当时，；当时， （2），令，则有， 解得或(舍去).故15是该数列的第3项. 令，则有， 该方程不存在正整数解，故3不是该数列的项. 典例精讲 例2：给出数列的下述通项公式，判断这些数列是否为单调数列，请说明理由。 （1）； （2） 解：(1)因为 所以，因此数列为严格减数列，从而是单调数列 （2）因为， 所以，因此数列为严格增数列，从而是单调数列 典例精讲 例3：已知数列的通项公式是. 试问：该数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由。 解：因为 所以当时，；当时，；当时，； 于是，数列的最大项为第8项和第9项，其值为 练习巩固 解决数列的单调性问题的方法： (1)用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列； (2)用作商比较法，根据(或)与1的大小关系进行判断； (3)结合相应函数的图象直观判断． 练习巩固 练习2：(多选)数列通项公式为则下列说法正确的是(　 　) ．是数列的最小项 ．是数列的最大项 ．是数列的最大项 ．当时，数列是递减数列 【答案】 练习巩固 变式2：已知函数，设数列的通项公式为，其中. (1)求的值； (2)求证：； (3)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由． 解：(1)由题意可知，所以 (2)证明：由(1)知因为为正整数，所以 ,所以1≤an<2. (3)是递增数列．理由如下：，所以是递增数列. 小结 感谢聆听 玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。数列寻根属函数，自成一格意盎然。等差等比初学步，登堂入室看来年。 ——张景中 $