专题23 裂项相消法求和易错点专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题23 裂项相消法求和易错点专练（解析版） 一、单选题 1．已知数列满足，则下列有可能成立的是（       ） A．若为等比数列，则 B．若为递增的等差数列，则 C．若为等比数列，则 D．若为递增的等差数列，则 【答案】B 【分析】 若为等比数列，可得，进而可得可判断AC；若为递增的等差数列，利用累乘法可得，再利用裂项相消法可得，利用累加法可得，进而可得，可判断BD. 【详解】 因为， ∴，即， 若为等比数列，则的公比为， ∴， 由，可得， ∴，故AC错误； 若为递增的等差数列，，公差， 由则， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， 又， ∴，又 则， ∴当时，不等式恒成立， 故，故B正确，D错误. 故选：B. 2．已知数列{an}的前n项和Sn满足，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则使得T20的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出，再用裂项相消法求出T20. 【详解】 对于， 当n=1时，； 当时，； 经检验，对n=1也成立，所以. 所以， 所以. 故选：C 3．数列中，，，.当时，n等于（       ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【分析】 根据累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出， 结合即可求解. 【详解】 由，得， . 当时，此式也满足，故数列的通项公式为： . . 又因为，所以，解得. 故选：B. 4．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围. 【详解】 解：依题意，当时，，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即， 所以， 所以 ， 所以的取值范围是. 故选：C. 5．已知数列满足，，则数列的前100项和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 将两边取倒数，可构造得出数列为等差数列，从而可求出的通项公式，由裂项相消法即可得到数列的前100项和． 【详解】 因为，根据可知，，从而，即，故数列为等差数列，即，所以，即有，数列的前100项和为 ． 故选：B． 6．已知函数，若数列满足，，其前n项和为，且，设，则数列的前n项和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先证明出函数为奇函数，得到，判断出数列为公差为1的等差数列，求出，进而得到，利用裂项相消法求出数列的前n项和. 【详解】 函数的定义域为R. 因为， 所以，所以函数为奇函数. 因为，，所以，即. 所以数列为公差为1的等差数列. 因为，所以，解得：，所以. 所以. 所以， 所以数列的前n项和为： . 故选：B 7．已知数列的前n项和为，，，则数列的前n项和（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出数列的前n项和为，利用裂项相消法求和即可. 【详解】 因为，所以数列为等差数列，所以， 所以， 所以数列的前n项和 . 故选：D 8．设等差数列的公差，且．记，用，d分别表示，，，并由此猜想（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 写出等差数列的通项公式，裂项求和即可. 【详解】 依题意， ， ， ， ， 故猜想 ， 故选：C. 9．已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（　　） A．1010 B．1011 C．2021 D．2022 【答案】B 【分析】 确定数列是递增数列，得，利用已知等式得出，然后对和进行变形，利用裂项相消法求得和的表达式，再由不等式性质得出结论． 【详解】 ,，又，所以，即是递增数列， 由得，所以， ， ， 所以，而，，， 所以正整数的最大值为1011． 故选：B． 10．如图，第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为，……，依此类推，第n个图案的总点数记为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意可得，从而可得，再利用裂项相消求和法可求得答案 【详解】 由题意，，当，时，， 又当，时，， ∴ ． 故选：C． 二、填空题 11．已知数列满足，且，则数列|的前n项和为______． 【答案】 【分析】 由递推公式两边取倒数即可得到，从而得到数列是首项为2，公差为3的等差数列，从而求出的通项公式，即可得到，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】 解：由可得， 所以数列是等差数列，且首项为2，公差为3，则， 所以， 所以数列的前n项和为． 故答案为： 12．已知数列中，，，前n项和为.若，则数列的前2022项和为_____________. 【答案】 【分析】 先由求