阶段检测验收卷 函数（综合训练）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第三章 函数 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，是某学校的示意图，若综合楼在点，食堂在点，则教学楼在点（    ） A． B． C． D． 2．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 6．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 7．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 8．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，那么关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 9．反比例函数过点，则的值为（    ） A．1 B．6 C． D． 10．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．已知函数．当时，的取值范围是 14．二次函数化成的形式是 ． 15．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ． 16．已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点，过分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为12，则当时，的取值范围是 ． 17．如图，反比例函数的图缘经过的斜边的中点，与直角边相交于点，连接，若的面积是，则的值为 ． 18．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ． 三、解答题（本大题共13小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）根据一所学校的平面示意图建立如下的平面直角坐标系，每个小正方形的边长均代表． (1)根据以下提示，在图中标出校门、教学楼、图书馆（三者均在网格线的交点处）的位置： ①校门位于点； ②实验楼位于点，向北走到达教学楼； ③从教学楼向北走，再向西走到达图书馆． (2)根据图上信息填空： ①国旗杆位于点（________，________）； ②图书馆位于点（________，________）． 20．（8分）已知二次函数过点、 (1)求此二次函数解析式，并求出顶点坐标． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像． (3)当时，x的取值范围是______． (4)当时，y的取值范围是______． 21．（10分）已知二次函数的图象为抛物线． (1)写出抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值的取值范围； (3)将抛物线先向右平移2个单位长度，得到抛物线；再将抛物线向下平移1个单位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线，对应的函数解析式． 22．（10分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米， (1)①设大米销售量为y，售价为x，则y关于x的函数关系式为 ， ②设利润为w，求利润w与售价x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)大米售价定为多少时利润达到1800元？ (3)大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 24．（10分）在平面直角坐标系中，为原点，直角的顶点，点在轴的正半轴，，等腰直角，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，． (1)填空：如图①，点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为，记旋转角为． ①如图②，当点在边上时，求旋转角的大小和的长； ②连接，点为的中点，点为的中点，连接，求的取值范围（直接写出结果即可） 25．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，点． (1)若，． ①求该抛物线顶点的坐标； ②是抛物线上位于第四象限的一点，连接，相交于点，连接，若，求点的坐标； (2)若，点，（点在的左侧）在线段上，，当的周长的最小值为时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第三章 函数 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，是某学校的示意图，若综合楼在点，食堂在点，则教学楼在点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，解答本题的关键是根据综合楼和食堂的坐标位置确定坐标原点的位置． 【详解】解：∵综合楼在点，食堂在点， ∴可以得出坐标原点的位置，如图所示： ∴教学楼在点． 故选D． 2．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，第一象限内的点的横纵坐标都为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标都为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，据此可得答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点P在第二象限， 故选：B． 3．下列四个图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义的知识，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应．逐项判断，进行作答即可求解. 【详解】解：选项A、B、D中的图象，对于的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，都不符合题意； 选项C中的图象，对于的任何值，有一个或两个的值与之相对应，不是的函数，符合题意； 故选：C． 4．点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握各个知识点的具体意义． 由点在第二象限，可得横纵坐标的符号，再由点到轴、轴的距离是 3 和 5 ，可得纵坐标的绝对值为 3 ，横坐标的绝对值为 5 ，可求出点的坐标，再求出点关于轴的对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ P点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵P点到轴、轴的距离是 3 和 5 ， ∴P点的坐标为， ∴P点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 5．由二次函数可知（    ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得出图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，且 ∴图象的开口向上， 故A选项不符合题意； 由得对称轴为直线，顶点坐标为， 故B选项符合题意，C选项不符合题意； ∵图象的开口向上，直线， ∴当时，随的增大而增大， 故D选项不符合题意； 故选：B． 6．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 7．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 8．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，那么关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：函数和的图象交于点，点坐标为， 的解为． 故选：C． 9．反比例函数过点，则的值为（    ） A．1 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式，解方程即可求出k的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴将代入函数解析式， ∴， 得， 故选：B 10．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． ∴在第三象限， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故选：A． 11．如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，菱形的判定和面积求法，关键是掌握二次函数的性质， 先判断出四边形是菱形，再根据菱形的面积公式，二次函数的性质进行判断求解． 【详解】解：因为四边形的对角线互相垂直，所以当对角线与互相平分时，四边形是菱形，故①正确； 因为，所以当的长度为或时，四边形的面积均为 ，故②正确； 设，则，所以，因为，所以当时，四边形的面积有最大值，最大值为，故③错误. 综上所述，正确的个数为2. 故选：C. 12．如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，由抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②正确； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ，即， 所以④错误． 综上所述，正确的结论有②③，共2个， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．已知函数．当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数的增减性，先根据解析式可得y随x增大而减小，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，， 故答案为：． 14．二次函数化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 16．已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点，过分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为12，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题可先根据反比例函数的几何意义求出的值，进而得到反比例函数的解析式，再分别求出和时的值，结合反比例函数在第二象限的单调性确定的取值范围．本题主要考查了反比例函数的几何意义以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的几何意义和反比例函数的单调性是解题的关键． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为，且该矩形面积为 ∴ ∵ 反比例函数的图象在第二象限 ∴ ∴ 反比例函数的解析式为 当时， 当时， ∵ 反比例函数在第二象限内随的增大而增大 ∴ 当时， 故答案为： 17．如图，反比例函数的图缘经过的斜边的中点，与直角边相交于点，连接，若的面积是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形和的面积相等，通过面积转化，可求出的值，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点， ∵的面积和的面积相等， ∴的面积和四边形的面积相等且为， 设， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 18．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…，4个数为一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…，4个数为一个循环， 由于， 所以经过第2025次运动后，动点P的坐标是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共13小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）根据一所学校的平面示意图建立如下的平面直角坐标系，每个小正方形的边长均代表． (1)根据以下提示，在图中标出校门、教学楼、图书馆（三者均在网格线的交点处）的位置： ①校门位于点； ②实验楼位于点，向北走到达教学楼； ③从教学楼向北走，再向西走到达图书馆． (2)根据图上信息填空： ①国旗杆位于点（________，________）； ②图书馆位于点（________，________）． 【答案】(1)见解析 (2)①3，2；②5，6 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解题意是解题的关键． （1）根据题意分别标出校门、教学楼、图书馆的位置即可； （2）①根据国旗杆在坐标系的位置即可解答；②根据图书馆在坐标系的位置即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，校门、教学楼、图书馆的位置即为所求： …………3分 （2）解：①国旗杆位于点； 故答案为：3，2；…………5分 ②图书馆位于点； 故答案为：5，6．…………8分 20．（8分）已知二次函数过点、 (1)求此二次函数解析式，并求出顶点坐标． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像． (3)当时，x的取值范围是______． (4)当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、画函数图象、利用函数图象解不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将、代入求得b、c的值即可； （2）利用列表、描点、连线的步骤作答即可； （3）根据函数图象确定x的取值范围即可； （4）根据函数图象确定y的取值范围即可． 【详解】（1）解：将、代入得： ，解得：， 所以． ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为。…………2分 （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … … 0 0 … 连线，如图： …………4分 （3）解：由函数图象可得：当时，x的取值范围是． 故答案为：．…………6分 （4）解：当时，， 则由函数图象可得：当时，函数值y的最小值为，即y的取值范围是． 故答案为：．…………8分 21．（10分）已知二次函数的图象为抛物线． (1)写出抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，求该二次函数的函数值的取值范围； (3)将抛物线先向右平移2个单位长度，得到抛物线；再将抛物线向下平移1个单位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线，对应的函数解析式． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3)抛物线的函数解析式为，抛物线的函数解析式为 【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得出答案； （3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．…………4分 （2）， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 当时，有最小值为． 当时，； 当时，； ∴当时，二次函数的函数值的取值范围为．…………6分 （3）∵抛物线：向右平移2个单位长度得到抛物线， ：，即， ∵将抛物线向下平移1个单位长度得到抛物线， ：，即．…………10分 22．（10分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反应，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米， (1)①设大米销售量为y，售价为x，则y关于x的函数关系式为 ， ②设利润为w，求利润w与售价x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)大米售价定为多少时利润达到1800元？ (3)大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)①，② (2)6元 (3)每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用及一元二次方程的应用． （1）通过已知条件建立销售量与售价之间的一次函数关系，利用待定系数法求解即可，再根据利润的计算公式建立利润与售价之间的二次函数关系，并标明x的取值范围即可； （2）通过（1）②关于利润的二次函数关系式，将时列出一元二次方程并解得x的值，根据实际情况保留合适的x的值即可； （3）根据利润与售价之间的二次函数关系，再利用二次函数的性质来求解利润的最值问题即可． 【详解】（1）解：①由题意知，当售价时，大米销售量；当售价时，大米销售量， 设y关于x的函数关系式为， 将，分别代入得，解得， ∴y关于x的函数关系式为；…………2分 ②根据题意得每天售出大米的数量可得：， 由条件可知， ∴每天所得的销售利润w（元）与每千克售价x（元）之间的函数关系式为．…………4分 （2）解：当每天销售该大米的利润达到1800元时， 依题意得：， 解得：（舍去），， ∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元．…………6分 （3）解：由（1）知：， ， ∵，对称轴为，则该二次函数开口向下， 当时，w随x的增大而增大， 又∵， 当时，（元）， 当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．…………10分 23．（10分）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空： ①图中_______，_______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． (2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； (3)当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①40，5；②7.5；③0.2； (2)； (3)或． 【分析】（1）①根据题意可直接得到a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出甲骑行的路程，即b的值； ②根据“路程＝速度×时间”计算即可； ③根据“路程＝速度×时间”计算即可； （2）分段用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意，作出乙离A地的距离与时间的图象，根据甲、乙之间的距离列绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ； ∵甲骑行的速度为，甲骑行的路程为， ∴． 故答案为：40，5．…………2分 ②甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：7.5；…………3分 ③乙骑行的速度为， 故答案为：0.2；…………4分 （2）解：当时，设函数解析式为， 将代入得：，求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 将代入得： ，解得， 当时， 综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为；…………7分 （3）解：设乙的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为． 根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示： 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得（舍去）或（舍去）； 综上，或70． ∴当甲乙相距时，甲出发的时间是或．…………10分 24．（10分）在平面直角坐标系中，为原点，直角的顶点，点在轴的正半轴，，等腰直角，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，． (1)填空：如图①，点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为，记旋转角为． ①如图②，当点在边上时，求旋转角的大小和的长； ②连接，点为的中点，点为的中点，连接，求的取值范围（直接写出结果即可） 【答案】(1)， (2)①；；② 【分析】（1）由，，得，得,得；由 ，得，即得． （2）①过点作于点E，作线段的垂直平分线交于点G，交于点F,连接，设，由，得，由，得，，由，得，解得，得，，，设，由线段垂直平分线性质得，，得，解得，得，得，即得；②连接，由，得，根据三角形中位线性质得． 【详解】（1）解：∵点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点在轴的正半轴， ∴． ∵等腰直角中，， ∴ ∵点在轴的负半轴， ∴． 故答案为：，．…………4分 （2）解：①过点作于点E，作线段的垂直平分线交于点G，交于点F，连接． 设， 由（1）知，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 化简，得． 解得（舍去），或． ∴，，． ∵， ∴． ∴． 设， 则，． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴． ∴．…………8分 ②连接， 则． ∵， ∴． ∵点为的中点，点为的中点， ∴． ∴．…………10分 【点睛】本题考查平面直角坐标系中三角形旋转，熟练掌握点的坐标，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，正确作出辅助线，是解题的关键． 25．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，点． (1)若，． ①求该抛物线顶点的坐标； ②是抛物线上位于第四象限的一点，连接，相交于点，连接，若，求点的坐标； (2)若，点，（点在的左侧）在线段上，，当的周长的最小值为时，求的值． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，涉及了面积问题、最值问题，需要学生熟练掌握二次函数的性质； （1）由题意得：；将代入求得； ①配成顶点式即可求解； ②连接，作轴，根据，即；推出；求出直线的解析式为：，设，则，即可建立方程求解； （2）将点沿着方向平移个单位得到，作关于的对称点，连接，推出的周长，求得；，；根据．推出恰好落在轴上，且坐标为；求出，得到，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：； 将代入得：，解得：； ∴； ①， ∴顶点的坐标为；…………3分 ②连接，作轴，交于点，如图所示： 令，解方程得；令，； ∴；； ∵， ∴，即； ∵， ∴； 设直线的解析式为：， 将代入可得： 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴，解得：（舍）， ∴， ∴点的坐标为：；…………6分 （2）解：将点沿着方向平移个单位得到，作关于的对称点，连接，如图所示： 则， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∵的周长的最小值为， ∴， ∴； ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴恰好落在轴上，且坐标为； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则，代入得：，解得：； ∴， ∴；…………10分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $