阶段检测验收卷 方程与不等式（综合训练）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第二章 方程与不等式 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 2．王涵同学在某月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了日历中数字的规律以及一元一次方程的应用．根据日历中数字的排列规律，设出其中一个数，表示出另外两个数，再根据三个数的和为45列出方程求解，判断是否符合日历数字特征． 【详解】、在日历中，同一列相邻两个数相差，设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，不是整数，不符合日历数字特征； 故选：． 3．用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查加减消元法，根据消去，则要使两个方程的含的项的系数相同或互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴要消去，则使方程②中的系数变为2，再与方程①相加即可， 即：，即可消去； 故选D． 4．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，用已知求未知，主要是熟练掌握解方程组． 根据两方程组的解相同，取出不含未知量的两个方程重组方程组，解方程得到解，再把解代入含有未知字母的方程组，解方程组即可． 【详解】解：解方程组 ，得 ， 上面方程组的解也是 的解，代入， 得 ， 解这个方程组，得 ． ∴， 故选：B 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数范围，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；再根据根的判别式，方程有实数根时判别式非负，联立求解． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 又方程有实数根， 判别式 ， 解得 ， k的取值范围是 且 ， 故选：D． 6．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或函数． ①若的长是，求出，然后求出，即可判断①； ②设矩形菜园的边的长为，则，根据题意列出方程求解判断即可； ③根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①若的长是 ∴ ∴，不符合题意，故①错误； ②设矩形菜园的边的长为，则， 根据题意得， 解得或10 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意 ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故②错误； ③设矩形菜园的边的长为，则，面积为， ∴ ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，，符合题意， ∴矩形菜园的面积的最大值为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 7．方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，通过移项得到标准形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式，将方程化为标准形式后确定系数． 【详解】解：将方程移项，得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 8．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 9．解分式方程时，去分母后变形为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，方程两边同时乘以即可，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：由， 去分母，得， 故选：． 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：A．若，两边同减2，得，不等号方向不变，故A错误，不符合题意．     B．若，两边同乘，需改变不等号方向，应得，故B错误，不符合题意． C．若，则时，，若，则，故C错误，不符合题意．     D．若，则（因平方非负且时成立），两边同除以，得，故D正确，符合题意．     故选：D． 11．已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 【答案】A 【分析】表示出关于的方程的解，由方程有非负数解确定出的取值范围，再表示出不等式组的解集，由不等式组至多有3个整数解，得到的取值范围．再根据为整数，即可得出结果． 【详解】解：解关于x的方程，得， 当时，原等式不成立， ， ， 解得：； 解不等式，得， 解不等式，得， ∵原不等式组至多有3个整数解， ，得， 故的取值范围是， 为整数， ， 符合条件的所有整数的和为， 故选：A． 【点睛】本题考查了方程、不等式及不等式组的解法，解得的关键是熟记求不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了． 12．已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．若是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 0 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的未知数的次数为1，一次项系数不为0． 根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不为0，因此 且 ，计算即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 且， 或 ， 解得 或 ， 当 时，系数，不符合一元一次方程的条件；当 时，系数 ，符合条件， 故答案为：0． 14．若方程与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先解方程得到，再代入方程求解． 【详解】解： ， 将代入方程，得 ， 即， 解得， 故答案为：． 15．按下面的程序计算： 若输出的值为107，则输入的正整数x的值有可能是 ． 【答案】27或7或2 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 再令，得； 然后令，得； 再令，得；（不合题意，舍去）； 由上可得，满足条件的的值是27或7或2， 故答案为：27或7或2． 16．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 17．三角形的三边长分别为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，根据三角形的三边关系，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 18．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示） 【答案】 12 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用． 根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可． 【详解】解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． 由图②中，， ∴， ∴ 解得： ∴， 由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ， ∴ 故答案为：12；． 三、解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】（1）解： …………4分 （2）解： …………8分 20．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）两边都乘以化为整式方程，求解后检验即可； （2）两边都乘以化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的根；…………4分 （2）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的增根， ∴原方程无解．…………8分 21．（10分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确解不等式是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此在数轴上表示不等式组的解集， （4）读取（3）的数轴，得出原不等式组的解集为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；…………3分 （2）解：依题意，， ∴， 则， ∴； 故答案为：；…………6分 （3）解：由（1）得， 由（2）得， ∴把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ．…………8分 （4）解：由（3）的数轴得， 故答案为：．…………10分 22．（10分）关于x的方程有两个实数根、 (1)求实数k的取值范围； (2)当时，用配方法解方程； (3)若、满足，求实数k的值． 【答案】(1) (2) (3)实数k的值为 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出（2）配方得到；（3）根据根与系数的关系结合，找出关于k的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出实数k的取值范围； （2）利用指定的方法解方程即可； （3）由根与系数的关系可得、，将其代入中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ， 解得：， 实数k的取值范围为；…………2分 （2）解：当时，方程为， ，即， ， ；…………4分 （3）解：关于x的方程有两个实数根， ， ，即， 解得：或不符合题意，舍去 实数k的值为…………10分 23．（10分）某超市用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售，其中苹果的收购单价为10元，橘子的收购单价为15元． (1)设收购苹果，收购橘子． ①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 ②列出二元一次方程组，并求收购苹果和橘子各多少千克； (2)已知苹果在运输和仓储过程中质量损失，若此超市计划销售苹果至少要获得的利润，不计其他费用，求苹果的最低销售单价． 【答案】(1)①填表见解析；②收购苹果千克，橘子千克 (2)苹果的最低销售单价为元/ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据单价乘以数量即可填表；②根据“用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售”建立方程组求解； （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【详解】（1）解：①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 …………2分 ②由题意得：， 解得：， 答：收购苹果千克，橘子各千克；…………6分 （2）解：设苹果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故苹果的最低销售单价为元/．…………10分 24．（10分）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 【答案】(1)； (2)当为或时，劳动基地的面积为 (3)196；160 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）篱笆总长，的长为，则，边长为正数，故且，即可得； （2）根据题意列一元二次方程，求解即可； （3）设，则，矩形的面积为，可得，依据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：篱笆总长，的长为，则， 又边长为正数，故且， ∴； 故答案为：；；…………2分 （2）解：设的长为，则，根据题意得： ， 整理得， 解得或， ∴当为或时，劳动基地的面积为；…………6分 （3）解：设，则，矩形的面积为，根据题意得： ， 解得， ∴， ∵，， ∴当时，S有最大值，最大值为， 当时，S有最小值，最小值为， 故答案为：196；160．…………10分 25．（10分）如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)为何值时，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由题意可求出，，再根据勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于t的等式，解之即可； （3）分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【详解】（1）解：出发2秒后，，， ∴；…………3分 （2）解：当是等腰三角形时，只存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：；…………6分 （3）解：分类讨论：①当时，如图， 则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴, ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， 解得：； ③当时，过点C作于点E，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 综上可知当或或时，为等腰三角形．…………10分 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第二章 方程与不等式 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 2．王涵同学在某月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 3．用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 9．解分式方程时，去分母后变形为（　　） A． B． C． D．3 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 12．已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．若是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 14．若方程与方程的解相同，则 ． 15．按下面的程序计算： 若输出的值为107，则输入的正整数x的值有可能是 ． 16．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 17．三角形的三边长分别为，则x的取值范围是 ． 18．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示） 三、解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程 (1) (2) 20．（8分）解方程： (1)； (2)． 21．（10分）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 22．（10分）关于x的方程有两个实数根、 (1)求实数k的取值范围； (2)当时，用配方法解方程； (3)若、满足，求实数k的值． 23．（10分）某超市用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售，其中苹果的收购单价为10元，橘子的收购单价为15元． (1)设收购苹果，收购橘子． ①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 ②列出二元一次方程组，并求收购苹果和橘子各多少千克； (2)已知苹果在运输和仓储过程中质量损失，若此超市计划销售苹果至少要获得的利润，不计其他费用，求苹果的最低销售单价． 24．（10分）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 25．（10分）如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求线段的长． (2)为何值时，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $