精品解析：上海市南汇中学2025-2026学年高二上学期12月阶段练习数学试卷

上海南汇中学2025学年第一学期12月阶段练习 高二数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分） 1. 若，则________. 2. 样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为___________． 3. 某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有___________种．（用数字作答）． 4. 已知事件与事件相互独立，如果，，则__________． 5. 设总体由编号为00，01，…，5960个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为___________． 6. 已知，则___________． 7. 已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则___________． 8. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克概率分别是和，则该题被攻克的概率为______． 9. 若是正整数，则除以8的余数是___________． 10. 已知数列的前项和，那么它的通项公式是___________. 11. 已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______． 12. 若集合满足，则称是集合一个覆盖，当且仅当时，与为同一个覆盖．设集合，当时，则集合的覆盖总数为___________． 二、选择题（本大题共4题，每小题3分，满分12分） 13. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 14. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 15. 已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A. B. C. D. 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，给出下列两个命题： ①若对任意的正整数均有，则为和谐数列； ②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值； 下列说法正确的是（ ）． A. ① 是真命题，② 是假命题 B. ① 是假命题，② 真命题 C. ① 和 ② 都真命题 D. ① 和 ② 都是假命题 三、解答题（本大题共5题，17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题14分，满分52分） 17. 在的二项展开式中，求： （1）常数项； （2）系数最大项． 18. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． （1）求的值，并估计这组数据的平均数； （2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； 19. 设等比数列， （1）求的通项公式； （2）求． 20. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； （3）求数列的前项的和． 21. 在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． （1）计算； （2）已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； （3）计算数列的逆序数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2025学年第一学期12月阶段练习 高二数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分） 1. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数公式额可得出关于的等式，即可解得正整数的值. 【详解】因为，即， 因为且，故. 故答案为：. 2. 样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为___________． 【答案】 【解析】 分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】因为，所以样本数据14，25，32，46，60的第40百分位数为. 故答案为：. 3. 某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有___________种．（用数字作答）． 【答案】20 【解析】 分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算得解. 【详解】从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有种. 故答案为：20 4. 已知事件与事件相互独立，如果，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案 【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 又，， 则 故答案为：． 5. 设总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为___________． 【答案】56 【解析】 【分析】依据随机数表的抽样规则确定符合条件的个体编号. 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字'6'开始，由左到右依次选取两个数字。读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)， 42(选取，第1个)，16(选取，第2个)，60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，46(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，15(选取，第5个)，56(选取，第6个)。故选出来的第6个个体的编号为56。 故答案为：56 6. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过赋值法，将 代入已知等式，即可求出的值. 【详解】令，则， 即. 故答案为：. 7. 已知等比数列，第三项是12，第六项是96，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过等比数列的通项公式求出首项和公比，再用前项和公式计算即可. 【详解】因为，，代入通项公式， 得： 除以，消去得：， 因此，公比， 将代入： 即：，解得：， 把，，， 代入（）得： . 故答案为：. 8. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是和，则该题被攻克的概率为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】由题意，该题被攻克的概率为. 故答案为：. 9. 若是正整数，则除以8的余数是___________． 【答案】7 【解析】 【分析】由二项式定理得到，即可求解. 【详解】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 故答案为： 7 10. 已知数列的前项和，那么它的通项公式是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用公式求解即可 【详解】解：当时，， 当时，， 且当时，， 据此可得，数列的通项公式为：. 故答案为：. 11. 已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与夹角_______． 【答案】 【解析】 【分析】将，利用向量运算得，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】如图，因为，又， 所以，又， 所以，即， 所以，化简得， 所以，所以. 所以异面直线与的夹角为. 故答案：. 12. 若集合满足，则称是集合的一个覆盖，当且仅当时，与为同一个覆盖．设集合，当时，则集合的覆盖总数为___________． 【答案】6561 【解析】 【分析】确定集合中元素的个数，分析集合的覆盖的构成方式，计算集合的覆盖总数. 【详解】要使成立，则在这四个数中，有且仅有一个数的绝对值为1，其余三个数为0， 对于每个绝对值为1的数，它既可以取1，也可以取，有2种取法，而绝对值为1的数可以在这四个位置中任选一个， 有种选法，根据分步乘法计数原理，集合中元素的个数为个. 设集合的覆盖为，因为，所以对于集合中的每个元素，它可能属于又属于， 即对于集合中的每一个元素，都有3种归属情况. 由于集合中有8个元素，且每个元素有3种归属情况，根据分步乘法计数原理，集合的覆盖总数为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，每小题3分，满分12分） 13. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中最大的数为，包含个数据，且个数据是连续的正整数，由此可得到的表示. 【详解】因， 所以表示从连乘到，一共是个正整数连乘， 所以. 故选D. 【点睛】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：的运用. 14. 投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B 是互斥事件 B. A 与B 是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C 是独立事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 15. 已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数公式可得出的值，利用方差公式可得出的值，结合平方关系可求得的值. 【详解】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，给出下列两个命题： ①若对任意的正整数均有，则为和谐数列； ②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值； 下列说法正确的是（ ）． A. ① 是真命题，② 是假命题 B. ① 是假命题，② 真命题 C. ① 和 ② 都是真命题 D. ① 和 ② 都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】先得出的等价条件，然后再进行判断. 【详解】对于①：， 若，则，所以①正确； 对于②：设等差数列的公差为， 则，所以， 即为公差为的等差数列， 若为和谐数列，即，则， 所以关于的二次函数，开口向上， 所以在上一定存在最小值，所以②正确； 故选：C 三、解答题（本大题共5题，17题8分，18题8分，19题10分，20题12分，21题14分，满分52分） 17. 在的二项展开式中，求： （1）常数项； （2）系数最大项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解； （2）令，假设最大，由解出的取值范围，结合可得出的值，代入通项后即可得解. 【小问1详解】 的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 【小问2详解】 令， 假设在、、、中最大，则，即， 即，解得， 因为，则，所以展开式中系数最大的项为. 18. “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． （1）求的值，并估计这组数据的平均数； （2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； 【答案】（1），平均数是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中小长方形的面积和为1求解，然后由平均数的定义计算即可； （2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后根据列举法求解. 【小问1详解】 由题知，，解得， 平均数为：； 【小问2详解】 和两组的频率之比为， 由于共抽取5人，根据分层抽样性质可知在和两组分别抽取2人，3人， 假设来自的2人编号为，来自的3人编号为， 这5人中抽取2人，所有的可能是共10种情形， 2人来自同一组共有4种情形如下， 根据古典概型的计算公式，两人来自同一组的概率是. 19. 设是等比数列， （1）求的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； 【小问2详解】 结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 20. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； （3）求数列的前项的和． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算即可求解； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质即可求解； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； 【小问3详解】 ， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 21. 在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． （1）计算； （2）已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； （3）计算数列的逆序数． 【答案】（1）13； （2）4950； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用逆序数的定义直接计算即可. （2）由给定的通项公式确定其单调性，再利用逆序数的定义，结合等差数列前项和公式求解. （3）分析数列中奇数项、偶数项的取值范围及单调性，讨论为奇数和为偶数时的逆序数，借助等差数列前项和公式求和即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，数列严格单调递减，即， 所以数列的逆序数. 【小问3详解】 数列的通项公式， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 当为奇数时，逆序数 ； 当为偶数时，逆序数 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $