专题01 分数的乘法与除法（期末复习知识清单）六年级数学上学期新教材人教版五四制

该初中数学知识清单全面涵盖分数乘法、除法、应用题及核心思想与易错点，通过4个知识清单、4个典型题型、4个易错点模块，搭建从概念理解到运算掌握再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“知识梳理+题型精练+易错警示”三维架构呈现，知识清单明确核心意义与计算法则，题型含例题及变式训练，易错点标注约分、倒数等高频误区，培养运算能力与应用意识。教师可精准教学，学生能高效自主复习，提升学习实效。

专题01 分数的乘法与除法（4知识&4题型&4易错） 【清单01】分数乘法 （一）核心意义 分数×整数：求几个相同分数和的简便运算。 一个数×分数：求这个数的几分之几是多少。 （二）计算法则 基础算法：分子相乘作分子，分母相乘作分母，能约分先约分。 特殊情况： 整数×分数：整数与分母约分后再乘。 小数×分数：两种思路任选——小数化分数或分数化小数。 （三）混合运算与运算律 运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号内的运算。 简便运算： 整数乘法的交换律：、结合律、分配律完全适用，优先用定律简化计算。 【清单02】分数除法 （一）关键概念：倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 求法：分数直接调换分子分母；整数化成分母为1的分数再调换。 注意：1的倒数是1，0没有倒数。 （二）核心意义 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数。 （三）计算法则 核心原则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数（统一转化为乘法，降低运算难度） 具体应用： 分数÷整数： 分数÷分数： 整数÷分数： （四）混合运算 运算顺序：与整数四则混合运算一致，先算括号里的运算，再算乘除，最后算加减。 简便技巧：要灵活运用运算律。 【清单03】应用题高频题型 （一）分数乘法应用题 1.连续求一个数的几分之几：先找中间量，逐步相乘。 2.求比一个数多（少）几分之几的数：先算多（少）的部分，再加减。 （二）分数除法应用题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法或方程。 2.稍复杂的除法问题：先找对应分率，再用除法。 3.关键技巧：先找准单位“1”（“的”前“比”后通常是单位“1”），单位“1”已知用乘法，未知用除法。 【清单04】核心思想与易错点 （一）思想方法 转化思想：除法转乘法、小数转分数，化未知为已知 类比思想：沿用整数运算顺序和运算律，降低学习难度 数形结合：用线段图、长方形图理解“几分之几”的含义，辅助解题 （二）易错点提醒 1.约分误区：只能分子与分母、整数与分母约分，分子与分子、分母与分母不能直接约分。 2.倒数误区：误将0的倒数认为是0，或把带分数直接颠倒分子分母（需先化成假分数）。 3.应用题误区：单位“1”找错，导致乘除混淆；计算后未检验结果是否符合实际意义。 【题型一】分数的乘法 【例1】(24-25六上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)下图中网状阴影部分可用算式 （   ）表示 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分数的意义以及分数乘法的意义．根据图形可知，把整个长方形看作单位“1”，根据分数的意义，把整个长方形平均分成3份，把其中的2份涂色；之后再把这2份看作一个整体，把这个整体平均分成4份，取其中的3份涂色，根据分数乘法的意义列出算式． 【详解】网状阴影部分可以用算式表示的是：， 故选：B． 【变式1-1】在（    ）里填上“”、“”或“”． ( )；( )；( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数运算，数的大小比较，熟练掌握分数运算法则是解题关键．将题目中分数运算求得答案，然后比较大小即可． 【详解】解：因为，且，所以 ； 因为，且，所以； 因为，，所以． 故答案为：；；． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)20 (3)0.5 (4) (5) (6)4 【分析】（1）根据分数乘法法则计算即可； （2）根据分数的乘法法则计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据分数的乘法法从左到右计算即可； （5）根据乘法分配律计算即可； （6）根据乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【点睛】本题主要考查分数的加法和乘法运算，运算时注意应用乘法运算律简化运算是解题的关键． 【题型二】分数的除法 【例2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分数的除法运算．根据分数的除法运算法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】 的倒数是． 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键． 直接利用倒数的定义分析得出答案． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 【变式2-2】直接写得数． (21) (2) (3) 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】（1）根据分数的除法运算法则计算即可； （2）根据分数的除法运算法则计算即可； （3）根据分数的除法运算法则计算即可； 【详解】 （1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型三】简便运算问题 【例3】估算的结果，下面（　　）种方法最优． A．9×﹣1 B．10×﹣2 C．9×6﹣2 D．10×6﹣2 【答案】D 【分析】先把除法化成乘法，分数化成小数，再把看作，看作2，进行解答即可. 【详解】， 故选D. 【点睛】此题考查了分数、小数的互化，估算的方法 【变式3-1】(24-25七上·黑龙江绥化望奎县·期末)计算下列各题，能简算的要简算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1 ）根据乘法分配律逆运算进行计算即可； （2 ）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3-2】计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了乘法的运算定律，有理数的四则混合运算，解题关键是注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）利用乘法交换律进行简算； （2）利用分配律进行简算； （3）将拆成，利用乘法分配律进行简算； （4）先算除法，再算加法． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【题型四】分数应用题 【例4】(24-25七上·黑龙江大庆肇源县·期末)实验小学开展“回收资源巧利用，绿色环保我先行”活动．五年级学生回收了150个易拉罐，占六年级学生回收数量的，六年级学生回收数量占全校的．全校共回收多少个易拉罐？正确的列式是（    ） A． B． C． 【答案】A 【分析】本题考查了分数除法的应用，解题的关键是根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，逐步推导求出全校回收的易拉罐数量． 先根据五年级与六年级回收数量的关系求出六年级的数量，再根据六年级与全校回收数量的关系求出全校数量，进而确定正确列式． 【详解】解：六年级回收的数量：， 全校回收的数量：， 故选：A． 【变式4-1】(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)一个水池有甲、乙两个排水管，单独开放甲排水管，5小时可以把满池的水放完；单独开放乙排水管，4小时可以把满池的水放完．如果将甲、乙两个排水管同时打开，那么 小时可以把满池的水放完． 【答案】 【分析】本题考查了工程问题，由工作时间等于工作总量除以工作效率和即可求解，理解题目数量关系，掌握分数除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，甲出水管的工作效率为，乙出水管的工作效率为， ∴（小时） 故答案为： ． 【变式4-2】同学们要去购买5个篮球，一种篮球的售价为120元，为促销店内海报公布了两种购买方案，甲方案：按购买总价减少付款；乙种方案：原价购买三个以后，其余篮球每个售价减少．请问，如何购买最省钱呢？ 【答案】甲方案更省钱 【分析】本题考查的是方案的选择，熟练掌握分数运算，大小比较是解题的关键． 将两种方案进行计算：按照甲方案，购买5个篮球用540元；而用乙方案需560元，对比分析即得 【详解】甲方案：， 乙方案：， ∵． ∴甲方案更省钱． 答：甲方案更省钱． 【题型一】分数乘除法中的约分易错题 【例1】计算的结果是（    ） A． B． C．20 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了分数乘以整数，根据分数乘以整数法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 【变式1-1】计算： ． 【答案】4 【分析】将除法转化为乘法，再约分计算． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的除法，解题的关键是数量掌握除法法则． 【变式1-2】计算，直接填结果 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分数的混合运算和乘法运算律的应用，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先算乘法，再利用乘法分配律计算即可； （2）先将原式变形为乘法运算，再利用乘法结合律计算即可； （3）先将原式变形为，再利用乘法分配律计算即可得； （4）先将原式变形为乘法运算，再利用乘法结合律计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型二】倒数易错题 【例2】(24-25六下·黑龙江大庆杜尔伯特蒙古族自治县·期末)下面描述中正确的是（   ） A．1没有倒数 B．5的倒数是 C．和互为倒数 D．0的倒数是0 【答案】B 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，计算解答即可． 本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 1的倒数是1， 故A错误； B. 5的倒数是， 故B正确； C. ×=≠1， 故C错误； D. 0没有倒数， 故D错误； 故选：B． 【变式2-1】的倒数是( )，0.5和( )互为倒数． 【答案】 / 2 【分析】此题考查了倒数的概念，解题的关键是熟练掌握倒数的概念：两个相乘为1的数互为倒数． 根据倒数的概念求解即可． 【详解】解：的倒数是， ∵， ∴0.5和2互为倒数． 故答案为：，2． 【变式2-2】 的倒数是． 【答案】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 【题型三】混合运算顺序易错题 【例3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了分数的混合运算； （1）先将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减，即可求解； （2）根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3-1】(24-25六上·黑龙江哈尔滨道外区四校·期末)计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分数的乘除法则即可求解； （2）先计算乘除法，然后计算加减法即可； （2）应用乘法运算律去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算．注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． （1）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法． （2）根据乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型四】分数除法应用题 【例4】小丽看一本科技书，第一天看了56页，比第二天看的页数多，小丽第二天看了(　　)页． A．32 B．40 C．45 D．54 【答案】B 【分析】此题是考查分数除法的意义及应用．已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率．把第二天看的页数看作单位“”，则第一天看的页数相当于第二天的，根据分数除法的意义，用第一天看的页数除以就是第二天看的页数． 【详解】解： 页 答：小丽第二天看了页． 故选：B． 【变式4-1】(24-25六下·黑龙江哈尔滨松雷中学·开学考)小红小时走了千米，则小红走千米用了 小时． 【答案】 【分析】本题考查了分数除法的应用；先求出小红每小时走的路程为，即可求得走千米用的时间． 【详解】解：（千米/小时），（小时）； 故答案为：． 【变式4-2】(24-25六上·黑龙江绥化明水县·期末)某地遭遇暴雨，水库水位已经超过警戒线，急需泄洪．这个水库有两个泄洪口，只打开A口，8小时可以完成任务，只打开B口，6小时可以完成任务．如果两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？ 【答案】小时可以完成任务 【分析】本题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，把超过警戒线以上水的体积看作单位“1”，只打开A口，8小时可以完成任务，A每小时泄洪，只打开B口，6小时可以完成任务，即B每小时泄洪，根据工作量÷工作效率和=合作用的时间，据此解答即可． 【详解】解：（小时） 答：小时可以完成任务． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分数的乘法与除法（4知识&4题型&4易错） 【清单01】分数乘法 （一）核心意义 分数×整数：求几个相同分数________的简便运算。 一个数×分数：求这个数的________是多少。 （二）计算法则 基础算法：分子相乘作________，分母相乘作________，能约分先________。 特殊情况： 整数×分数：整数与分母约分后再乘。 小数×分数：两种思路任选——小数化________或分数化________。 （三）混合运算与运算律 运算顺序：先________后________，有括号先算________的运算。 简便运算： 整数乘法的交换律：、结合律、分配律完全适用，优先用定律简化计算。 【清单02】分数除法 （一）关键概念：倒数 定义：乘积是________的两个数互为倒数。 求法：分数直接调换________；整数化成分母为________的分数再调换。 注意：1的倒数是________，0________倒数。 （二）核心意义 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个________。 （三）计算法则 核心原则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的________（统一转化为乘法，降低运算难度） 具体应用： 分数÷整数： 分数÷分数： 整数÷分数： （四）混合运算 运算顺序：与整数四则混合运算一致，先算________里的运算，再算________，最后算________。 简便技巧：要灵活运用运算律。 【清单03】应用题高频题型 （一）分数乘法应用题 1.连续求一个数的几分之几：先找中间量，逐步相乘。 2.求比一个数多（少）几分之几的数：先算多（少）的部分，再加减。 （二）分数除法应用题 1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法或方程。 2.稍复杂的除法问题：先找对应分率，再用除法。 3.关键技巧：先找准单位“1”（“的”前“比”后通常是单位“1”），单位“1”已知用乘法，未知用除法。 【清单04】核心思想与易错点 （一）思想方法 转化思想：除法转乘法、小数转分数，化未知为已知 类比思想：沿用整数运算顺序和运算律，降低学习难度 数形结合：用线段图、长方形图理解“几分之几”的含义，辅助解题 （二）易错点提醒 1.约分误区：只能分子与分母、整数与分母约分，分子与分子、分母与分母不能直接约分。 2.倒数误区：误将0的倒数认为是0，或把带分数直接颠倒分子分母（需先化成假分数）。 3.应用题误区：单位“1”找错，导致乘除混淆；计算后未检验结果是否符合实际意义。 【题型一】分数的乘法 【例1】(24-25六上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)下图中网状阴影部分可用算式 （   ）表示 A． B． C． D． 【变式1-1】在（    ）里填上“”、“”或“”． ( )；( )；( )． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型二】分数的除法 【例2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】 的倒数是． 【变式2-2】直接写得数． (21) (2) (3) 【题型三】简便运算问题 【例3】估算的结果，下面（　　）种方法最优． A．9×﹣1 B．10×﹣2 C．9×6﹣2 D．10×6﹣2 【变式3-1】(24-25七上·黑龙江绥化望奎县·期末)计算下列各题，能简算的要简算 (1) (2) 【变式3-2】计算下面各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【题型四】分数应用题 【例4】(24-25七上·黑龙江大庆肇源县·期末)实验小学开展“回收资源巧利用，绿色环保我先行”活动．五年级学生回收了150个易拉罐，占六年级学生回收数量的，六年级学生回收数量占全校的．全校共回收多少个易拉罐？正确的列式是（    ） A． B． C． 【变式4-1】(24-25六上·上海普陀区武宁中学·期末)一个水池有甲、乙两个排水管，单独开放甲排水管，5小时可以把满池的水放完；单独开放乙排水管，4小时可以把满池的水放完．如果将甲、乙两个排水管同时打开，那么 小时可以把满池的水放完． 【变式4-2】同学们要去购买5个篮球，一种篮球的售价为120元，为促销店内海报公布了两种购买方案，甲方案：按购买总价减少付款；乙种方案：原价购买三个以后，其余篮球每个售价减少．请问，如何购买最省钱呢？ 【题型一】分数乘除法中的约分易错题 【例1】计算的结果是（    ） A． B． C．20 D．30 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】计算，直接填结果 (1) (2) (3) (4) 【题型二】倒数易错题 【例2】(24-25六下·黑龙江大庆杜尔伯特蒙古族自治县·期末)下面描述中正确的是（   ） A．1没有倒数 B．5的倒数是 C．和互为倒数 D．0的倒数是0 【变式2-1】的倒数是( )，0.5和( )互为倒数． 【变式2-2】 的倒数是． 【题型三】混合运算顺序易错题 【例3】计算： (1) (2) 【变式3-1】(24-25六上·黑龙江哈尔滨道外区四校·期末)计算： (1) (2) (3) 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【题型四】分数除法应用题 【例4】小丽看一本科技书，第一天看了56页，比第二天看的页数多，小丽第二天看了(　　)页． A．32 B．40 C．45 D．54 【变式4-1】(24-25六下·黑龙江哈尔滨松雷中学·开学考)小红小时走了千米，则小红走千米用了 小时． 【变式4-2】(24-25六上·黑龙江绥化明水县·期末)某地遭遇暴雨，水库水位已经超过警戒线，急需泄洪．这个水库有两个泄洪口，只打开A口，8小时可以完成任务，只打开B口，6小时可以完成任务．如果两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？ 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $