专题03 百分数、比与比例 （期末复习知识清单）六年级数学上学期新教材人教版五四制

该初中数学知识清单聚焦“百分数、比与比例”专题，涵盖百分数意义与互化、比和比例性质、正反比例判定、扇形统计图应用等8个知识范畴，搭建从概念理解到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型示例+变式训练”系统呈现知识，如百分数应用结合折扣利息等生活场景例题，培养数学眼光。每个题型含基础例题与分层变式题，如正反比例问题设计表格分析题，助学生用数学思维构建关系，方便学生自主学习，辅助教师精准教学。

专题03 百分数、比与比例（8知识&7题型&4易错） 【清单01】百分数的意义 1．百分数的意义：百分数表示一个数是另一个数的百分之多少，也叫作百分率或百分比；百分数通常在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 2．百分数的读写：如、、可分别写成百分数45%、40%、44%，读作百分之四十五、百分之四十、百分之四十四。 【清单02】分数、小数与百分数互化 1．小数化百分数：要把小数点向右移动两位，再加上百分号。 2．分数化百分数：可以先改写成分母是100的分数，再改写成百分数，也可以先化成小数，再将小数化成百分数。 3．百分数化小数：只要把小数点向左移动两位，并去掉百分号。 4．百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。 【清单03】百分数的应用 1．常见百分率计算：求生活中常见的百分率（如出勤率、合格率、出粉率、成活率等）时，结果通常用百分数形式表示 2．折扣问题：几折就表示十分之几，也就是百分之几十；求商品打折后的价格，就是求原价的百分之几十是多少，公式为“现价=原价×折扣对应的百分数”，如打九折出售，就是按照原价的90%出售。 3．存款利息问题：存入银行的钱叫作本金；取款时银行多支付的钱叫作利息；单位时间内利息与本金的比率叫作利率（通常用百分数表示）；利息计算公式为“利息=本金×利率×存期”，到期连本带息取出的钱=本金+利息。 4．增减幅度问题：“增长百分之多少” “下降百分之多少”表示增加、减少的幅度。 【清单04】扇形统计图 1．特点与作用：扇形统计图利用各部分占总体的百分率，直观表示各部分与总体的关系，圆内各扇形占整个圆的百分率，与它所表示的各部分占总体的百分率一致。 2．统计图选择：若要表示数量随时间的变化趋势，适合用折线统计图；若要表示各部分占总体的百分率，扇形统计图更直观；条形统计图 【清单05】比 1．比的意义：两个数的比中，“∶”是比号，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项；两个数的比也可以写成分数形式；比可表示相同类别数量关系，也可表示不同类别数量关系。 2．比值：比的前项除以后项所得的商叫作比值，比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。 3．比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。根据这一性质可把比化成最简单的整数比。 【清单06】比例 1．比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 2．比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示为 如果（，，，），那么； 反过来，四个不为0的数，若其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相等，这四个数可组成比例。 3．解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的未知项，这一过程叫作解比例。 【清单07】正比例与反比例 1．正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。用字母表示为（一定，），也可表示为（一定，）。 2．反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。用字母表示为（一定，）。 【清单08】比和比例的应用 1．比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。表达式为 图上距离：实际距离=比例尺或 比例尺分数值比例尺和线段比例尺，计算时图上距离和实际距离的长度单位要相同，为了计算方便，一般把比例尺写成前项或后项是1的形式。 2．图形的放大与缩小：放大和缩小过程中，物体大小改变、形状保持不变；按一定比放大（或缩小），即把物体各边的长放大（或缩小）到原来的相应倍数；放大（或缩小）后图形与原图形对应边长的比值不变，对应角的度数保持不变，边长和周长改变。 3．按比例分配：总量分份数，按比得部分——先根据比算出总份数，再用总量÷总份数得到每份的量，最后用每份的量 × 各部分对应的份数，就能求出各部分的具体数值，且各部分数量的比与已知比保持一致。 4．其他实际问题：如“立竿见影”测旗杆高度，因同一时间、同一地点物体高度和影长的比值一定，可列比例求解等。 【题型一】百分数的意义 【例1】将去掉百分号，这个数将（　　） A．缩小到原来的 B．大小不变 C．扩大到原来的100倍 D．无法确定 【变式1-1】分别用百分数和小数表示涂色部分． 百分数：( )；百分数：( )； 小数：( )；小数：( )． 【变式1-2】判断对错并改正 (1)一根绳子长米（    ） 改正：____________________________ (2)和的意义完全相同（    ） 改正：____________________________ 【题型二】百分数的应用 【例2】一辆汽车从甲地开往乙地，计划10小时，结果比计划提前2小时，实际速度比计划提高（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】所有商品的售价都是由成本和利润组成，现有某商品的利润率是（利润占成本的），若这件商品降价，它的利润率是( ) 【变式2-2】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中．现在丙管中的盐水的质量分数为，最早倒入甲管中的盐水的质量分数是多少？ 【题型三】扇形统计图 【例3】某果园为清楚地表示每种果树的棵数占果树总棵数的百分比，应绘制（    ）统计图． A．条形 B．折线 C．扇形 D．以上都可以 【变式3-1】如果要反映一件衣服中各种面料成分的含量，那么最好选用 统计图． 【变式3-2】为丰富学生的课余生活，育才学校准备组织学生举行球赛活动（每个学生必须参加且只能参加一种球类活动），将全校学生参加球类活动的调查结果制成如图所示的扇形统计图，其中参加乒乓球的学生有160人．    (1)求全校一共有多少名学生？ (2)求参加排球的学生比参加足球的学生少百分之几？ 【题型四】与比有关的问题 【例4】在下列比中，最简整数比是的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】图中阴影部分是大圆的，是小圆的，大圆与小圆的面积比是 ． 【变式4-2】把下列各比化成最简整数比： (1)15分钟:小时； (2)::． 【题型五】比例问题 【例5】下列各组中的四个数可以组成比例的是（   ） A．和 B．、、和 C．、、和 D．、、和 【变式5-1】根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数． ( ) ( ) ( ) 【变式5-2】解比例． (1) (2) (3) 【题型六】正反比例问题 【例6】长方形的面积为100时，长方形的长和宽的关系是（   ） A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例 D．无法判断 【变式6-1】下面各选项中，两种量成反比例关系的是 （填序号）． ①时间一定，路程与速度； ②长方体的体积一定，长方体的底面积与高； 【变式6-2】小字计划背诵一本单词书，每天背诵的单词数量与所需天数的关系如下表所示： 每天背诵的单词数 50 25 20 10 … 所需的天数 4 8 t 20 … (1)这本单词书一共有________个单词； (2)所需天数是怎么样随着每天背诵单词数的变化而变化？ (3)用t表示所需天数，用m表示每天背诵的单词数，写出t与m的关系式，并判断它们成什么比例关系？并说明理由． 【题型七】比和比例的实际应用 【例7】在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是（　　）平方米． A．20平方米 B．500平方米 C．5000平方米 D．500000平方米 【变式7-1】将一个三角形按的比放大后，面积是原来的 倍． 【变式7-2】石硫合剂是用石灰、硫磺和水按的比配制而成的．现在张叔叔要配制这种石硫合剂，张叔叔要准备石灰、硫磺、水各多少千克？ 【题型一】百分数、分数、小数、比互化问题 【例1】下列各数中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】 （填小数）． 【变式1-2】__________________（填成数）． 【题型二】扇形统计图理解问题 【例2】要表示光明小学一到六年级各年级学生人数与全校学生人数的关系，应选择用（   ）比较合适． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．统计表 【变式2-1】某校男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校师生的总人数为1500人，结合图中信息，可得该校教师人数为 人． 【变式2-2】沈阳某学校为了解八年级学生每周课外阅读时间，进行了抽样调查．并将调查结果分为小时（记为）、小时（记为）、小时（记为）、小时（记为）根据调查情况制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)抽样调查阅读时间的中位数是______小时，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为______； (3)已知八年级共名学生，请估算全年级每周课外阅读时间不少于小时的学生人数是多少． 【题型三】正反比例判断问题 【例3】下面说法错误的是（    ） A．被减数一定，减数和差成反比例 B．如果，那么a和b成反比例 C．路程一定，时间与速度成反比例 D．工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例 【变式3-1】下列选项中，两个量成反比例关系正确的是（填序号） ． ①长方形的长一定时，面积和宽    ②路程一定时，速度和时间 ③单价一定时，总价和数量    ④年龄和身高 【变式3-2】奇奇想知道他们帐篷旁边一棵树的高度，根据所学知识，奇奇知道在中午的时候树的影子是最短的，也是最容易测量的．于是他和朋友一起做了下面的实验． 第一步：他找来两根长度不等的竹竿并固定，测量竹竿的高度及影长，并记录，如图： 第二步：在同一时间，同一地点，测得树的影长是3米． (1)树的高度和它的影长成____比例关系，写出判断理由： (2)请根据测量的过程，求出这棵树的高度．（用比例解答） 【题型四】比和比例的实际应用问题 【例4】把一个长、宽的长方形按放大后，面积变为（    ）平方厘米 A．24 B．96 C．48 D．12 【变式4-1】在比例尺是1∶6000000的地图上，量得南京到北京的距离约是17厘米，南京到北京的实际距离大约是 千米． 【变式4-2】李爷爷家里的菜地共1000平方米，他准备用种黄瓜，剩下的按的面积种西红柿和辣椒，问这三种蔬菜的面积分别是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 百分数、比与比例（8知识&7题型&4易错） 【清单01】百分数的意义 1．百分数的意义：百分数表示一个数是另一个数的百分之多少，也叫作百分率或百分比；百分数通常在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 2．百分数的读写：如、、可分别写成百分数45%、40%、44%，读作百分之四十五、百分之四十、百分之四十四。 【清单02】分数、小数与百分数互化 1．小数化百分数：要把小数点向右移动两位，再加上百分号。 2．分数化百分数：可以先改写成分母是100的分数，再改写成百分数，也可以先化成小数，再将小数化成百分数。 3．百分数化小数：只要把小数点向左移动两位，并去掉百分号。 4．百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。 【清单03】百分数的应用 1．常见百分率计算：求生活中常见的百分率（如出勤率、合格率、出粉率、成活率等）时，结果通常用百分数形式表示 2．折扣问题：几折就表示十分之几，也就是百分之几十；求商品打折后的价格，就是求原价的百分之几十是多少，公式为“现价=原价×折扣对应的百分数”，如打九折出售，就是按照原价的90%出售。 3．存款利息问题：存入银行的钱叫作本金；取款时银行多支付的钱叫作利息；单位时间内利息与本金的比率叫作利率（通常用百分数表示）；利息计算公式为“利息=本金×利率×存期”，到期连本带息取出的钱=本金+利息。 4．增减幅度问题：“增长百分之多少” “下降百分之多少”表示增加、减少的幅度。 【清单04】扇形统计图 1．特点与作用：扇形统计图利用各部分占总体的百分率，直观表示各部分与总体的关系，圆内各扇形占整个圆的百分率，与它所表示的各部分占总体的百分率一致。 2．统计图选择：若要表示数量随时间的变化趋势，适合用折线统计图；若要表示各部分占总体的百分率，扇形统计图更直观；条形统计图 【清单05】比 1．比的意义：两个数的比中，“∶”是比号，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项；两个数的比也可以写成分数形式；比可表示相同类别数量关系，也可表示不同类别数量关系。 2．比值：比的前项除以后项所得的商叫作比值，比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。 3．比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。根据这一性质可把比化成最简单的整数比。 【清单06】比例 1．比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。组成比例的四个数叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 2．比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示为 如果（，，，），那么； 反过来，四个不为0的数，若其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相等，这四个数可组成比例。 3．解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的未知项，这一过程叫作解比例。 【清单07】正比例与反比例 1．正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。用字母表示为（一定，），也可表示为（一定，）。 2．反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。用字母表示为（一定，）。 【清单08】比和比例的应用 1．比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。表达式为 图上距离：实际距离=比例尺或 比例尺分数值比例尺和线段比例尺，计算时图上距离和实际距离的长度单位要相同，为了计算方便，一般把比例尺写成前项或后项是1的形式。 2．图形的放大与缩小：放大和缩小过程中，物体大小改变、形状保持不变；按一定比放大（或缩小），即把物体各边的长放大（或缩小）到原来的相应倍数；放大（或缩小）后图形与原图形对应边长的比值不变，对应角的度数保持不变，边长和周长改变。 3．按比例分配：总量分份数，按比得部分——先根据比算出总份数，再用总量÷总份数得到每份的量，最后用每份的量 × 各部分对应的份数，就能求出各部分的具体数值，且各部分数量的比与已知比保持一致。 4．其他实际问题：如“立竿见影”测旗杆高度，因同一时间、同一地点物体高度和影长的比值一定，可列比例求解等。 【题型一】百分数的意义 【例1】将去掉百分号，这个数将（　　） A．缩小到原来的 B．大小不变 C．扩大到原来的100倍 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查百分数，百分号表示除以100，去掉百分号相当于乘以100，因此数会扩大100倍． 【详解】解：，去掉百分号后为52， ，即扩大到原来的100倍． 故选：C． 【变式1-1】分别用百分数和小数表示涂色部分． 百分数：( )；百分数：( )； 小数：( )；小数：( )． 【答案】 0.29 0.3 【分析】本题考查了百分数的意义，解决此题关键是根据百分数的意义，先写出百分数，再根据百分数与小数的关系，进行转化即可． 第一幅图表示把“1”平均分成100份，涂色部分占了29份，先用百分数表示出来，然后化为小数即可； 第二幅图表示把“1”平均分成100份，涂色部分占了30份，先用百分数表示出来，然后化为小数即可． 【详解】 大正方形被分成100个格子，其中涂色格子29个 百分数：， 小数：． 大正方形被分成100个格子，其中涂色格子30个 百分数：， 小数：． 故答案为：，0.29；，0.3． 【变式1-2】判断对错并改正 (1)一根绳子长米（    ） 改正：____________________________ (2)和的意义完全相同（    ） 改正：____________________________ 【答案】(1)×；一根绳子长米（或米） (2)×；和的意义不完全相同 【分析】本题考查了百分数的意义． （1）百分数的本质是“表示一个数是另一个数的百分之几”，无单位属性； （2）分数有双重含义，带单位时表示具体量，不带单位时表示比例．既可以表示“100份中的3份”，也可以表示具体长度、重量等，只能表示比例，二者意义不同． 【详解】（1）解：因为百分数不能表示具体数量，所以“米”表述错误，应改用小数或分数（带单位）表示具体长度，即一根绳子长米（或米）； 故答案为：×；一根绳子长米（或米）； （2）解：与的区别在于是否能表示具体数量，二者意义不完全相同，故表述错误，改正为和的意义不完全相同． 故答案为：×；和的意义不完全相同． 【题型二】百分数的应用 【例2】一辆汽车从甲地开往乙地，计划10小时，结果比计划提前2小时，实际速度比计划提高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查百分数的实际应用，把整段路程看作单位“1”，利用速度路程时间，表示速度，再把计划的速度看作单位“1”，用差除以单位“1”，计算速度提高了百分之几． 【详解】解：（小时） 故选：B． 【变式2-1】所有商品的售价都是由成本和利润组成，现有某商品的利润率是（利润占成本的），若这件商品降价，它的利润率是( ) 【答案】 【分析】本题考查百分数的应用，掌握利润公式是解题的关键． 设成本为，根据原利润率求原售价，再计算降价后的售价，进而求新利润率． 【详解】设成本为，原利润率为， 则原售价为, 降价后，新售价为， 新利润率为， 故答案为：． 【变式2-2】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中．现在丙管中的盐水的质量分数为，最早倒入甲管中的盐水的质量分数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了百分数的应用，先计算出现在丙管中盐的质量，从而得到乙管中盐的质量，进而求得甲管中盐的质量，从而可知最早倒入甲管中的10克盐水中盐的质量，据此即可求得开始的浓度． 【详解】解：丙管中盐的质量为（克）， 乙管混合溶液中盐的总质量为（克）， 甲管混合溶液中盐的总质量为（克）， 最早倒入甲管中的盐水质量分数为， 答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是． 【题型三】扇形统计图 【例3】某果园为清楚地表示每种果树的棵数占果树总棵数的百分比，应绘制（    ）统计图． A．条形 B．折线 C．扇形 D．以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了统计图的特点，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图则反映数据的增减变化情况；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 需根据各统计图的特点判断，扇形统计图能直观表示各部分占总体的百分比，符合题意． 【详解】解：因为扇形统计图以整个圆面积表示总体，用扇形面积表示各部分占总体的百分比， 所以为清楚地表示每种果树的棵数占果树总棵数的百分比，应绘制扇形统计图． 故答案为：C． 【变式3-1】如果要反映一件衣服中各种面料成分的含量，那么最好选用 统计图． 【答案】扇形 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．若有两组及以上数据，应用复式统计图． 【详解】解：如果要反映一件衣服中各种面料成份的含量，最好选用扇形统计图． 故答案为：扇形． 【点睛】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答． 【变式3-2】为丰富学生的课余生活，育才学校准备组织学生举行球赛活动（每个学生必须参加且只能参加一种球类活动），将全校学生参加球类活动的调查结果制成如图所示的扇形统计图，其中参加乒乓球的学生有160人．    (1)求全校一共有多少名学生？ (2)求参加排球的学生比参加足球的学生少百分之几？ 【答案】(1)全校一共有500名学生 (2)参加排球的学生比参加足球的学生少 【分析】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系． （1）用参加乒乓球人数除以其占总人数的百分比可得答案； （2）用足球所占百分比减去排球所占百分比，再除以足球所占百分比即可． 【详解】（1）解：（名， 答：全校一共有500名学生； （2）解：足球所占百分比为， ， 答：参加排球的学生比参加足球的学生少． 【题型四】与比有关的问题 【例4】在下列比中，最简整数比是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比的化简，解题的关键是掌握比的化简法则． 需将每个选项化为最简整数比，判断是否等于． 【详解】解：A:，不符合题意； B: ，不符合题意； C: ，不符合题意； D: ，符合题意． 故选：D． 【变式4-1】图中阴影部分是大圆的，是小圆的，大圆与小圆的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查比的应用，关键是把重叠部分的面积看作单位“1”，再根据分数除法的意义表示出大、小圆的面积，进而求出面积比． 【详解】解：把重叠部分的面积看作单位“1”，则小圆面积相当于重叠面积的，大圆面积相当于重叠面积的， 大圆和小圆面积的比是． 故答案为：． 【变式4-2】把下列各比化成最简整数比： (1)15分钟:小时； (2)::． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比的化简，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将小时化为分钟，再求解； （2）先将百分数化为分数，再求解． 【详解】（1）解：小时分钟， 15分钟：小时 ； （2）：： ． 【题型五】比例问题 【例5】下列各组中的四个数可以组成比例的是（   ） A．和 B．、、和 C．、、和 D．、、和 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的判断，准确分析计算是解题的关键． 判断四个数能否组成比例，只需检查是否存在两个数的乘积等于另外两个数的乘积． 【详解】对于选项：，， ，因此可以组成比例； 对于选项：，，，乘积不相等，故不能组成比例； 对于选项：，，，乘积不相等，故不能组成比例； 对于选项：，，，乘积不相等，故不能组成比例； 故选． 【变式5-1】根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数． ( ) ( ) ( ) 【答案】 20 5 2 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积．据此分别求出每个比例中的未知项． 【详解】解：对于第一个比例：，根据比例的基本性质，得， 所以， 对于第二个比例：，根据比例的基本性质，得 ， 所以 ， 对于第三个比例：，根据比例的基本性质，得 ， 所以 ， 故答案为20；5；2． 【变式5-2】解比例． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解比例、比例的基本性质等知识点，灵活运用比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质可得：，再根据等式的性质2，把这个方程的两边同时除以100000即可解答； （2）根据比例的基本性质可得：，然后再计算即可； （3）根据比例的基本性质可得：，再把方程两边同时乘4即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）解：， ， ． （3）解：， ， ． 【题型六】正反比例问题 【例6】长方形的面积为100时，长方形的长和宽的关系是（   ） A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了正，反比例，熟练掌握正比例，反比例的意义是解题的关键，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，据此解答即可． 【详解】解：设长为a，宽为b， ∵长方形的面积为100， ∴． ∴a与b成反比例， 故选：． 【变式6-1】下面各选项中，两种量成反比例关系的是 （填序号）． ①时间一定，路程与速度； ②长方体的体积一定，长方体的底面积与高； 【答案】 【分析】本题考查正（反）比例关系． 判断两种量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：：∵时间一定， ∴路程与速度的比值（即时间）为常数， ∴时间一定，路程与速度成正比例关系； ②：∵体积一定， ∴底面积与高的乘积（即体积）为常数， ∴长方体的体积一定，长方体的底面积与高成反比例关系． 故答案为：． 【变式6-2】小字计划背诵一本单词书，每天背诵的单词数量与所需天数的关系如下表所示： 每天背诵的单词数 50 25 20 10 … 所需的天数 4 8 t 20 … (1)这本单词书一共有________个单词； (2)所需天数是怎么样随着每天背诵单词数的变化而变化？ (3)用t表示所需天数，用m表示每天背诵的单词数，写出t与m的关系式，并判断它们成什么比例关系？并说明理由． 【答案】(1)200 (2)所需天数随着每天背诵单词数的增加而减少，且它们的乘积始终为200 (3)，反比例关系，理由见详解 【分析】本题主要考查反比例关系的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据表格可直接进行求解； （2）由表格可直接进行求解； （3）根据反比例关系的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由表可得：（个）； 故答案为200； （2）解：由表可知：所需天数随着每天背诵单词数的增加而减少，且它们的乘积始终为200； （3）解：由（1）可知：， ∴t与m成反比例关系，因为每天背诵的单词数与所需天数的乘积是单词总数，为一个定值（200）． 【题型七】比和比例的实际应用 【例7】在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是（　　）平方米． A．20平方米 B．500平方米 C．5000平方米 D．500000平方米 【答案】B 【分析】本题考查比例尺，掌握比例尺的换算是关键．根据比例尺定义，先求出实际长度和宽度，再计算面积并单位换算． 【详解】解：∵比例尺为， ∴实际长 (厘米)(米)， 实际宽 (厘米) (米)， ∴实际面积 (平方米)， 故选：B． 【变式7-1】将一个三角形按的比放大后，面积是原来的 倍． 【答案】4 【分析】本题考查了图形的放大问题． 将一个图形按比例放大后，面积比等于比例的平方． 【详解】将三角形按的比放大后，面积比为， 即放大后面积是原来的4倍． 故答案为：4． 【变式7-2】石硫合剂是用石灰、硫磺和水按的比配制而成的．现在张叔叔要配制这种石硫合剂，张叔叔要准备石灰、硫磺、水各多少千克？ 【答案】石灰，硫磺，水 【分析】根据比例，计算总份数，再求每份质量，最后乘以各份数得各成分质量． 本题考查了比的意义，计算出每一份的质量是解题的关键． 【详解】解：石灰、硫磺和水的比例是，总份数为份． 石硫合剂总质量为，每份质量为． 石灰质量：； 硫磺质量：； 水质量：． 答：张叔叔要准备石灰2.5千克、硫磺5千克、水25千克． 【题型一】百分数、分数、小数、比互化问题 【例1】下列各数中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数的换算． 将转化为小数或分数，与选项比较即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1-1】 （填小数）． 【答案】 24 48 【分析】本题主要考查了分数、小数和百分数的互化，根据分数与除法的关系，被除数等于商乘以除数；分数化小数用分子除以分母；小数化百分数将小数点向右移动两位并添加百分号． 【详解】解：， ． 故答案为：24；48；0.48． 【变式1-2】__________________（填成数）． 【答案】3；24；15；七成五 【分析】根据分数的基本性质，分数、除法、小数、比、成数之间的关系解答即可．本题考查了分数的基本性质，熟练掌握分数的基本性质，分数、除法、小数、比、成数之间的关系是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 七成五， 七成五． 故答案为：，，，七成五． 【题型二】扇形统计图理解问题 【例2】要表示光明小学一到六年级各年级学生人数与全校学生人数的关系，应选择用（   ）比较合适． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．统计表 【答案】B 【分析】本题主要考查统计图，熟练掌握统计图的特征是解题的关键；由于需要表示各年级学生人数与全校学生人数的关系，即部分与整体的比例关系，扇形统计图能直观显示各部分占总体的百分比，因此最合适． 【详解】解：∵扇形统计图用于表示各部分与整体之间的关系，能清晰显示各年级人数占比； 而条形统计图适用于比较各类别数量，折线统计图适用于显示数据变化趋势，统计表仅列出数据，不直观显示比例关系； ∴ 选择扇形统计图； 故选B． 【变式2-1】某校男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校师生的总人数为1500人，结合图中信息，可得该校教师人数为 人． 【答案】120 【分析】此题考查了扇形统计图，求出教师在扇形统计图中所占的百分比是解题的关键． 根据扇形统计图给出的数据，求出教师在扇形统计图中所占的百分比，再乘以该校的总人数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： （人） 故答案为：120． 【变式2-2】沈阳某学校为了解八年级学生每周课外阅读时间，进行了抽样调查．并将调查结果分为小时（记为）、小时（记为）、小时（记为）、小时（记为）根据调查情况制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)抽样调查阅读时间的中位数是______小时，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为______； (3)已知八年级共名学生，请估算全年级每周课外阅读时间不少于小时的学生人数是多少． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)全年级每周课外阅读时间不少于小时的学生人数约是人 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． （1）用类人数除以所占的百分比求出调查的总数，进而求出类的人数，补全条形图； （2）先根据中位数的确定方法，进行求解中位数；再用类所占的比例乘以度，求出相应的圆心角即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：调查总人数为， ∴类人数为：， 补全条形图如图： （2）解：将个数据从小到大排列后，处在第、位两个数都是小时， 因此抽样调查阅读时间的中位数是小时， 类所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：小时，． （3）解：（人）， 全年级每周课外阅读时间不少干小时的学生人数是人． 【题型三】正反比例判断问题 【例3】下面说法错误的是（    ） A．被减数一定，减数和差成反比例 B．如果，那么a和b成反比例 C．路程一定，时间与速度成反比例 D．工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例 【答案】A 【详解】本题考查正比例和反比例的定义．正比例是指两种量的比值一定，反比例是指两种量的乘积一定．根据各选项中的数量关系进行判断． 【分析】∵ 被减数一定时，减数和差满足：减数 + 差 = 被减数（常数），和一定，但乘积不一定， ∴ 减数和差不成反比例，故A错误； ∵，乘积一定， ∴ 和成反比例，故B正确； ∵ 路程一定时，时间×速度=路程（常数），乘积一定， ∴ 时间与速度成反比例，故C正确； ∵ 工作效率一定时，工作总量工作时间=工作效率（常数），比值一定， ∴ 工作总量和工作时间成正比例，故D正确． 故选A． 【变式3-1】下列选项中，两个量成反比例关系正确的是（填序号） ． ①长方形的长一定时，面积和宽    ②路程一定时，速度和时间 ③单价一定时，总价和数量    ④年龄和身高 【答案】② 【分析】本题主要考查了正比例关系和反比例关系的概念，若两个量的商一定，那么这两个量成正比例关系，若两个量的乘积为定值，那么这两个量是成反比例关系，据此求解即可． 【详解】①长方形的长一定时，面积长宽，长一定，则面积与宽的比值为定值，故面积和宽成正比例关系，不符合反比例关系； ②路程一定时，速度时间路程（定值），故速度和时间成反比例关系； ③单价一定时，总价单价数量，单价一定，则总价与数量的比值为定值，故总价和数量成正比例关系，不符合反比例关系； ④年龄和身高无确定的乘积或比值关系，故不成比例关系． 因此，成反比例关系的是②． 故答案为：②． 【变式3-2】奇奇想知道他们帐篷旁边一棵树的高度，根据所学知识，奇奇知道在中午的时候树的影子是最短的，也是最容易测量的．于是他和朋友一起做了下面的实验． 第一步：他找来两根长度不等的竹竿并固定，测量竹竿的高度及影长，并记录，如图： 第二步：在同一时间，同一地点，测得树的影长是3米． (1)树的高度和它的影长成____比例关系，写出判断理由： (2)请根据测量的过程，求出这棵树的高度．（用比例解答） 【答案】(1)正，见解析 (2)5米 【分析】本题考查解比例，正比例和反比例的辨识，熟练掌握成正比例和反比例的条件，正确的列出比例是解题的关键： （1）根据树的高度和它的影长的比值为定值，即可得出结论； （2）设树的高度为米，根据（1）中结论，列出比例进行求解即可． 【详解】（1）解：树的高度和它的影长成正比例，理由如下： 因为，， 所以树高与影长的比值为定值， 所以成正比例关系． （2）解：设树的高度为米． 由题意，得： 解得； 答：树的高度为5米． 【题型四】比和比例的实际应用问题 【例4】把一个长、宽的长方形按放大后，面积变为（    ）平方厘米 A．24 B．96 C．48 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，理解题意是解决本题的关键． 长方形按比例放大时，长和宽均按比例放大，进而求解面积即可． 【详解】解：∵放大比例为， ∴新长，新宽． ∴新面积． 故选B． 【变式4-1】在比例尺是1∶6000000的地图上，量得南京到北京的距离约是17厘米，南京到北京的实际距离大约是 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，准确计算是解题的关键． 根据比例尺的定义，实际距离等于图上距离除以比例尺，然后进行单位换算． 【详解】解：比例尺为，表示图上厘米对应实际厘米， 图上距离为厘米，则实际距离图上距离比例尺（厘米）， 由于千米厘米， 因此厘米千米． 故答案为． 【变式4-2】李爷爷家里的菜地共1000平方米，他准备用种黄瓜，剩下的按的面积种西红柿和辣椒，问这三种蔬菜的面积分别是多少平方米？ 【答案】黄瓜250平方米，西红柿450平方米，辣椒300平方米 【分析】本题主要考查了分数的计算，比的应用，解题的关键是熟练掌握比的定义．根据菜地总面积为1000平方米，用种黄瓜，列出算式，求解即可得出种植黄瓜的面积；根据比的意义求出种植西红柿和辣椒的面积即可． 【详解】解：（平方米）， （平方米）， （平方米）， （平方米）， 答：种黄瓜250平方米，西红柿450平方米，辣椒300平方米． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $