第08讲 向量的概念及其线性运算（寒假预习讲义，4知识+10大题型精讲+过关测）高一数学沪教版

第08讲 平面向量的概念及其线性运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：核心概念精准辨析 【核心要点】向量的本质是“既有大小又有方向的量”，把握“方向”与“大小”两个维度，是区分各类向量概念的关键. 概念名称 严格定义 规范表示与核心性质 名师易错提醒 向量 具有大小和方向的量（又称矢量），区别于只有大小的数量（标量） ①几何表示：有向线段（为起点，为终点）；②字母表示：，，（黑体表示向量）；③模：或，取值范围为 向量不可比较大小，仅模可比较 零向量 长度（模）为0的向量 ①记作；②方向任意；③性质：，与任意向量平行，， 不可与数字0混淆， 单位向量 长度为1个单位长度的向量 ①与非零向量同向的单位向量：；②同一方向有且只有一个单位向量 单位向量不唯一，不同方向有不同单位向量 平行（共线）向量 方向相同或相反的非零向量 ①表示：；②扩展：零向量与任意向量平行；③传递性：非零向量平行具有传递性 向量共线≠直线共线，向量可平移 相等向量 长度相等且方向相同的向量 ①表示：；②性质：可平移重合，满足传递性、对称性、反身性 必须同时满足“长度相等+方向相同” 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ①表示：的相反向量为；②性质：，， 零向量的相反向量是自身 知识点2：线性运算规律精讲 【核心思路】向量线性运算的本质是“等效替换”，加法看“合成”，减法看“分解”，数乘看“缩放与转向”，所有运算均遵循“方向优先，大小跟进”原则. 2.1向量加法 ■定义：求两个或多个向量和的运算，核心是“等效合成”. ■两大运算法则（高频考点）： 三角形法则：首尾相接，起点到终点；即，可推广到多个向量：；适用场景：任意向量（含共线向量）. 平行四边形法则：共起点，对角线为和；以，为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线为；适用场景：不共线向量（共线向量无法构成平行四边形）. ■运算律（化简核心依据）： 交换律：（与顺序无关）； 结合律：（可分组化简）； 2.2向量减法 ■定义：减法是加法的逆运算，规定（转化为加法求解）. ■核心法则：共起点，减向量终点指向被减向量终点；即（记忆口诀：“终减起，指向被减”）. ■模的不等关系（高考常考不等式）： ； 等号成立条件：①左等号：与同向（或其中一个为）；②右等号：与反向（或其中一个为）. 2.3向量数乘 ■定义：实数与向量的积是一个向量，记作，核心是“缩放向量+控制方向”. ■三大核心性质（必考）： 模的关系：（的绝对值控制缩放倍数）； 方向关系：时，与同向；时，与反向；时，（方向任意）； 特殊结论：或. ■运算律（化简关键）： 结合律：（先缩放再缩放=一次性缩放）； 第一分配律：（实数相加，再乘向量=分别乘再相加）； 第二分配律：（向量相加，再乘实数=分别乘再相加）； 2.4共线向量定理（核心难点） ■定理内容：向量与向量共线的充要条件是存在唯一实数，使得. ■三大关键解读（名师总结）： 条件限制：必须注明，否则不唯一（若，，无；若，无数）； 双向性：①充分性：若，则；②必要性：若，则存在唯一使； 应用场景：证明三点共线、求解向量系数、判断向量平行. 知识点3：高频易错点突破 【名师点睛】易错点本质是“概念混淆”或“规律滥用”，以下为高考高频易错清单，附辨析思路： 1.零向量与数字0混淆；错例：；正例：；辨析：是向量（有方向），0是标量（无方向），运算对象必须统一. 2.单位向量唯一性误判；错例：与共线的单位向量是；正例：有两个，；辨析：单位向量仅定长度，不定方向，共线包含同向和反向. 3.平行向量传递性滥用；错例：若，，则；辨析：平行传递性仅适用于非零向量，零向量方向任意，无法传递方向关系. 4.向量与有向线段等同；错例：就是向量；辨析：有向线段是向量的几何表示（有固定起点），向量可自由平移（无固定起点），二者是“表示与被表示”关系. 5.向量比较大小；错例：；正例：；辨析：向量有方向，方向无优劣，无法比较大小，仅模（长度）可比较. 6.数乘方向判断失误；错例：与方向相同；辨析：需看符号，同向，反向，无固定方向. 7.共线定理遗漏；错例：若，则存在使；辨析：遗漏时，结论不成立，这是高考阅卷高频扣分点. 知识点4：必记常考结论 【提分关键】熟记以下结论，可快速求解选择、填空题，简化解答题步骤： 1.三点共线结论：，，三点共线，存在实数，，使，且（为平面内任意不共线点）；特例：若为中点，则. 2.重心性质：设的重心为（三条中线交点），则①；②（为中点）；③（为任意点）. 3.向量化简常用结论：①；②；③；④若，则（同向取“+”，反向取“-”）. 4.单位向量相关：①任意非零向量可表示为（为同向单位向量）；②若，为相反单位向量，则，. 5.共线向量推论：若，，则，即非零共线向量可传递共线关系. 【题型1 向量的概念及其表示】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 变式2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【题型2 向量的模长】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【题型3 零向量与单位向量及相等向量】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 例2．（24-25高一下·上海·课后作业）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（    ） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④ 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【题型4 共线向量】 例1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 例2．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 变式1．（23-24高一下·上海·期中）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【题型5 向量的加法运算】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）试说明，如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件．反过来，如果，那么三向量、和所在的线段一定能拼接成三角形吗？说明理由． 变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【题型6 向量的减法运算】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【题型7 向量的数乘运算】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 例2．（24-25高一上·上海·课前预习）在中，已知D是的中点，G是的重心，记，，试用、表示、、． 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量： （1） ； （2） . 【题型8 向量运算在几何中的应用】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，D为上的点，且，E为上的点，且，若，，试用与的线性组合表示. 例2．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，边、、的中点分别为D、E、F，则 ． 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 变式2．（25-26高三上·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 【题型9 证明三点共线】 例1．设，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则λ﹣μ＝（　　） A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12 例2．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5 变式1．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2 变式2．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知2k，3，2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　） A． B．2 C．8 D．﹣8 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/29 0:24:33；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 【题型10 向量共线定理的应用】 例1．在△ABC中，D是BC的中点，．若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 例2．在△ABC中，设，若点D满足，点M为AC中点，则（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且，则m＝（　　） A． B． C． D． 变式2．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为（　　） A． B． C．1 D． 1.1基础概念体系（区分关键：方向+大小） 概念类别 核心特征（必记） 易错区分点 向量 有大小（模）、有方向；表示：、 不可比较大小，仅模可比较 特殊向量（零/单位） 零向量：，方向任意；单位向量：，同向单位向量 零向量≠数字0；单位向量不唯一（多方向） 向量关系（平行/相等/相反） 平行（共线）：方向相同/相反；相等：大小相等+方向相同；相反：大小相等+方向相反 向量共线≠直线共线；相等需“双向满足” 1.2线性运算核心法则（运算本质：等效替换） 加法：①三角形法则（首尾相接，起点→终点：）；②平行四边形法则（共起点，对角线为和）；运算律：交换律、结合律 减法：逆运算（）；法则：共起点，减向量终点→被减向量终点（）；核心不等关系： 数乘：是向量；性质：，方向由符号决定（同向，反向）；运算律：结合律、两个分配律 1.3核心定理与必记结论（应用核心） 共线向量定理：与共线，存在唯一，使；关键：必须注明 高频结论（速记）：①三点共线：共线且；②重心性质：，；③向量化简：，共线向量 1.4核心解题方法（题型突破工具） 1.向量化简：凑角法（平移向量，凑首尾相接/共起点） 2.共线问题：定理法（紧扣，找唯一） 3.模长范围：不等式法（直接用） 4.系数求解：待定系数法（结合三点共线简化） 2.2题型突破技巧（速记） 看到“三点共线”：立刻想到且，设系数列方程 看到“模长范围”：直接写出模的不等关系，判断向量方向（同向/反向）确定等号是否成立 看到“向量化简”：优先平移向量凑“首尾相接”，无法凑则用“共起点减法”转化 看到“参数求解”：用待定系数法设未知系数，结合共线定理或结论列等式求解 一、单选题 1．（24-25高三下·上海·月考）若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则平分线上的向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则①；②；③．其中正确的等式的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 4．（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 6．（2025高三·上海·专题练习）与向量同方向的单位向量 7．（24-25高二·上海·课堂例题）设、是平面内不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则实数 ． 8．（24-25高一下·上海·期中）已知向量与不平行，与平行，则实数 ． 9．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 10．（25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形中，若，则 ． 11．（24-25高一下·上海浦东新·月考）化简 . 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简的结果等于 . 13．（24-25高一上·上海·课后作业）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 14．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 三、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 16．（24-25高一上·上海·课后作业）点在线段上，且，，，求实数、. 17．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 18．（24-25高一下·上海）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）设平面内不相同的四点A、B、C、D，判断下列结论是否正确，并说明理由. (1)若，则A、B、C三点共线； (2)若，则A、B、C、D四点共线. 四、判断题 20．（24-25高一·上海·课堂例题）若，，则；( ) 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 平面向量的概念及其线性运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：核心概念精准辨析 【核心要点】向量的本质是“既有大小又有方向的量”，把握“方向”与“大小”两个维度，是区分各类向量概念的关键. 概念名称 严格定义 规范表示与核心性质 名师易错提醒 向量 具有大小和方向的量（又称矢量），区别于只有大小的数量（标量） ①几何表示：有向线段（为起点，为终点）；②字母表示：，，（黑体表示向量）；③模：或，取值范围为 向量不可比较大小，仅模可比较 零向量 长度（模）为0的向量 ①记作；②方向任意；③性质：，与任意向量平行，， 不可与数字0混淆， 单位向量 长度为1个单位长度的向量 ①与非零向量同向的单位向量：；②同一方向有且只有一个单位向量 单位向量不唯一，不同方向有不同单位向量 平行（共线）向量 方向相同或相反的非零向量 ①表示：；②扩展：零向量与任意向量平行；③传递性：非零向量平行具有传递性 向量共线≠直线共线，向量可平移 相等向量 长度相等且方向相同的向量 ①表示：；②性质：可平移重合，满足传递性、对称性、反身性 必须同时满足“长度相等+方向相同” 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ①表示：的相反向量为；②性质：，， 零向量的相反向量是自身 知识点2：线性运算规律精讲 【核心思路】向量线性运算的本质是“等效替换”，加法看“合成”，减法看“分解”，数乘看“缩放与转向”，所有运算均遵循“方向优先，大小跟进”原则. 2.1向量加法 ■定义：求两个或多个向量和的运算，核心是“等效合成”. ■两大运算法则（高频考点）： 三角形法则：首尾相接，起点到终点；即，可推广到多个向量：；适用场景：任意向量（含共线向量）. 平行四边形法则：共起点，对角线为和；以，为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线为；适用场景：不共线向量（共线向量无法构成平行四边形）. ■运算律（化简核心依据）： 交换律：（与顺序无关）； 结合律：（可分组化简）； 2.2向量减法 ■定义：减法是加法的逆运算，规定（转化为加法求解）. ■核心法则：共起点，减向量终点指向被减向量终点；即（记忆口诀：“终减起，指向被减”）. ■模的不等关系（高考常考不等式）： ； 等号成立条件：①左等号：与同向（或其中一个为）；②右等号：与反向（或其中一个为）. 2.3向量数乘 ■定义：实数与向量的积是一个向量，记作，核心是“缩放向量+控制方向”. ■三大核心性质（必考）： 模的关系：（的绝对值控制缩放倍数）； 方向关系：时，与同向；时，与反向；时，（方向任意）； 特殊结论：或. ■运算律（化简关键）： 结合律：（先缩放再缩放=一次性缩放）； 第一分配律：（实数相加，再乘向量=分别乘再相加）； 第二分配律：（向量相加，再乘实数=分别乘再相加）； 2.4共线向量定理（核心难点） ■定理内容：向量与向量共线的充要条件是存在唯一实数，使得. ■三大关键解读（名师总结）： 条件限制：必须注明，否则不唯一（若，，无；若，无数）； 双向性：①充分性：若，则；②必要性：若，则存在唯一使； 应用场景：证明三点共线、求解向量系数、判断向量平行. 知识点3：高频易错点突破 【名师点睛】易错点本质是“概念混淆”或“规律滥用”，以下为高考高频易错清单，附辨析思路： 1.零向量与数字0混淆；错例：；正例：；辨析：是向量（有方向），0是标量（无方向），运算对象必须统一. 2.单位向量唯一性误判；错例：与共线的单位向量是；正例：有两个，；辨析：单位向量仅定长度，不定方向，共线包含同向和反向. 3.平行向量传递性滥用；错例：若，，则；辨析：平行传递性仅适用于非零向量，零向量方向任意，无法传递方向关系. 4.向量与有向线段等同；错例：就是向量；辨析：有向线段是向量的几何表示（有固定起点），向量可自由平移（无固定起点），二者是“表示与被表示”关系. 5.向量比较大小；错例：；正例：；辨析：向量有方向，方向无优劣，无法比较大小，仅模（长度）可比较. 6.数乘方向判断失误；错例：与方向相同；辨析：需看符号，同向，反向，无固定方向. 7.共线定理遗漏；错例：若，则存在使；辨析：遗漏时，结论不成立，这是高考阅卷高频扣分点. 知识点4：必记常考结论 【提分关键】熟记以下结论，可快速求解选择、填空题，简化解答题步骤： 1.三点共线结论：，，三点共线，存在实数，，使，且（为平面内任意不共线点）；特例：若为中点，则. 2.重心性质：设的重心为（三条中线交点），则①；②（为中点）；③（为任意点）. 3.向量化简常用结论：①；②；③；④若，则（同向取“+”，反向取“-”）. 4.单位向量相关：①任意非零向量可表示为（为同向单位向量）；②若，为相反单位向量，则，. 5.共线向量推论：若，，则，即非零共线向量可传递共线关系. 【题型1 向量的概念及其表示】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）在平面直角坐标系中，作出表示下列向量的有向线段： (1)向量的起点在坐标原点，与x轴正方向的夹角为120°且； (2)向量的模为4，方向与y轴的正方向反向； (3)向量的方向与y轴的正方向同向，模为2． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由向量的相关定义作图即可； （2）由向量的相关定义作图即可； （3）由向量的相关定义作图即可. 【详解】（1） 由题意，故即为所求，其中； （2） 由题意，故即为所求，其中； （3） 由题意，故即为所求，其中. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【答案】速度、加速度、力矩为向量．生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等 【分析】直接利用向量的定义得答案． 【详解】解：向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量． 密度、体积、能量、电阻、功都只有大小，没有方向，不是向量； 而速度、加速度、力矩既有大小，又有方向，为向量． 生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等． 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 【答案】④ 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】解：向量是既有大小，又有方向的量，它不能比较大小，但向量的模是可以比较大小的. 则只有④正确， 故答案为：④ 变式2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 【题型2 向量的模长】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据向量的方向和模长画出和，利用相反向量画出. 【详解】（1）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （2）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （3）根据相反向量的定义，画出，如下： 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【答案】答案见解析 【分析】根据向量定义找出向量，再求模长即可. 【详解】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， . 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【答案】（1）个；（2）个 【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可. 【详解】（1）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个； （2）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个. 【题型3 零向量与单位向量及相等向量】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 【答案】单位圆 【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可． 【详解】单位向量的长度为1个单位长度，方向是任意的， 因此，平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点， 那么它们的终点构成的图形是个单位圆． 例2．（24-25高一下·上海·课后作业）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（    ） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤. 【详解】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确； ②∥，则与为共线向量，故不正确； ③，向量的模长是非负数，故正确； ④｜｜=1，故正确； ⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确. 故选：D. 变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、 、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、 、、、、. 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【分析】根据相等向量的定义即可判断，，这三个向量是否相等，根据马走日的走法即可找出马在点走一步的向量． 【详解】解：，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    【题型4 共线向量】 例1．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 例2．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 变式1．（23-24高一下·上海·期中）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 【答案】D 【分析】利用单位向量，向量相等及向量共线的定义进行判断即可. 【详解】因为，都是单位向量，所以，且，方向不确定， 所以选项A和选项C错误； 如果，与方向相同或相反，且， 所以选项B错误，选项D正确. 故选：D. 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【答案】①③④ 【分析】：与方向相同或相反；：与方向相同且模长相等；：与长度相等；：模长为0，与任意向量平行；单位向量：模长为1；若，则是的充分条件；若，则是的必要条件； 【详解】与平行则与方向相同或相反， 对于①：若，与方向相同，则；若，则与模长不一定相等，则与不一定相等，即①对； 对于②：若，与长度相等，与方向无关，则与不一定平行；若与平行，则与方向相同或相反，与模长无关，即②错； 对于③：若、的方向相反，则；若，则与方向相同或相反，即③对； 对于④：若或，则；若，则与方向相同或相反，即④对； 对于⑤：若与都是单位向量，则，方向不一定相同或相反；若，则模长不一定为1，即⑤错. 故答案为：①③④ 【题型5 向量的加法运算】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可. 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）试说明，如果三个首尾相接的向量、和所在的线段能拼接成三角形，那么一定满足条件．反过来，如果，那么三向量、和所在的线段一定能拼接成三角形吗？说明理由． 【答案】不一定，理由见解析 【分析】通过举反例即可说明． 【详解】，则向量、和所在的线段不一定构成三角形， 例如，，满足，但、和所在的线段在同一条直线上，故不能构成三角形； 当、和不共线且不为时，满足，、和所在的线段一定能拼接成三角形． 变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【答案】3个 【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解. 【详解】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个. 【题型6 向量的减法运算】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 例2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解； （2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解. 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 变式2．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 【题型7 向量的数乘运算】 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 例2．（24-25高一上·上海·课前预习）在中，已知D是的中点，G是的重心，记，，试用、表示、、． 【答案】     【分析】画图运用向量的线性运算法则,结合重心性质计算即可. 【详解】如图所示，； 根据重心性质知道，，则. . 变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简下列向量： （1） ； （2） . 【答案】 【分析】（1）由向量的加减法运算可得； （2）由向量的加减法运算可得. 【详解】（1）； （2） . 故答案为：；. 【题型8 向量运算在几何中的应用】 例1．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，D为上的点，且，E为上的点，且，若，，试用与的线性组合表示. 【答案】 【分析】利用与线性组合表示出，根据即可求解. 【详解】根据题意得， 所以， 所以， 所以， 所以.    故答案为:. 例2．（24-25高一上·上海·课前预习）已知，边、、的中点分别为D、E、F，则 ． 【答案】 【分析】运用向量的加法运算法则计算即可. 【详解】边、、的中点分别为D、E、F ， 则 故答案为：. 变式1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的重心，、、分别为、、中点， 所以，，， 所以， 所以． 变式2．（25-26高三上·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解. 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. 【题型9 证明三点共线】 例1．设，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则λ﹣μ＝（　　） A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣12 【分析】首先表示出，由A，C，D三点共线，可得，则存在实数t使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可． 【解答】解：由题意可知，已知，，， 则， 又A，C，D三点共线，则， 则存在实数t使得，即（λ+3）4（μ﹣1）t（32）＝3t2tt， 又，，不共面， 所以，解得，所以λ﹣μ＝﹣6． 故选：C． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，涉及平面向量基本定理，属于基础题． 例2．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5 【分析】根据向量共线的性质求解即可． 【解答】解：与是两个不共线的向量，，，， 则（3﹣k）（2+k）， 由A，B，D三点共线， 可得存在实数λ，使得λ， 即，解得k＝﹣12． 故选：B． 【点评】本题主要考查向量共线的性质应用，属于基础题． 变式1．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出k值． 【解答】解：由，， 得， 由A，B，D三点共线，得， 又，不共线， 得，即k＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查向量的加减运算，考查共线向量基本定理的应用，是基础题． 变式2．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知2k，3，2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　） A． B．2 C．8 D．﹣8 【分析】根据题意求出，由A，B，D三点共线，可知存在λ，使得λ，列方程组可求出k． 【解答】解：因为3，2，所以4， 因为A，B，D三点共线，2k， 所以存在λ，使得λ，即2kλ（4）， 因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得k＝﹣8． 故选：D． 【点评】本题主要考查平面向量的平行向量以及平面向量的线性运算，属于基础题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/29 0:24:33；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 【题型10 向量共线定理的应用】 例1．在△ABC中，D是BC的中点，．若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据D是BC的中点，E为AD的中点，可得（），结合，由平面向量基本定理求出λ、μ的值，进而可得本题答案． 【解答】解：由，可得E为线段AD的中点，即BE为△ABD的中线， 结合，可得（）， 根据题意，可得λ，μ，所以λ+μ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了向量的线性运算法则、平面向量基本定理等知识，属于基础题． 例2．在△ABC中，设，若点D满足，点M为AC中点，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可． 【解答】解：因为△ABC中，，若点D满足，点M为AC中点， 所以（）． 故选：B． 【点评】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题． 变式1．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且，则m＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据向量的线性运算求解即可． 【解答】解：因为M是边BC的中点，所以， 因为P是AM上一点，所以存在λ，使得， 因为 ， 所以由平面向量基本定理，有，解得，所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查平面向量基本定理，属于中档题． 变式2．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】设且0＜λ＜1，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得． 【解答】解：设且0＜λ＜1，则， 又，所以，则， 由B，P，E共线，则，可得， 所以． 故选：B． 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属于中档题． 1.1基础概念体系（区分关键：方向+大小） 概念类别 核心特征（必记） 易错区分点 向量 有大小（模）、有方向；表示：、 不可比较大小，仅模可比较 特殊向量（零/单位） 零向量：，方向任意；单位向量：，同向单位向量 零向量≠数字0；单位向量不唯一（多方向） 向量关系（平行/相等/相反） 平行（共线）：方向相同/相反；相等：大小相等+方向相同；相反：大小相等+方向相反 向量共线≠直线共线；相等需“双向满足” 1.2线性运算核心法则（运算本质：等效替换） 加法：①三角形法则（首尾相接，起点→终点：）；②平行四边形法则（共起点，对角线为和）；运算律：交换律、结合律 减法：逆运算（）；法则：共起点，减向量终点→被减向量终点（）；核心不等关系： 数乘：是向量；性质：，方向由符号决定（同向，反向）；运算律：结合律、两个分配律 1.3核心定理与必记结论（应用核心） 共线向量定理：与共线，存在唯一，使；关键：必须注明 高频结论（速记）：①三点共线：共线且；②重心性质：，；③向量化简：，共线向量 1.4核心解题方法（题型突破工具） 1.向量化简：凑角法（平移向量，凑首尾相接/共起点） 2.共线问题：定理法（紧扣，找唯一） 3.模长范围：不等式法（直接用） 4.系数求解：待定系数法（结合三点共线简化） 2.2题型突破技巧（速记） 看到“三点共线”：立刻想到且，设系数列方程 看到“模长范围”：直接写出模的不等关系，判断向量方向（同向/反向）确定等号是否成立 看到“向量化简”：优先平移向量凑“首尾相接”，无法凑则用“共起点减法”转化 看到“参数求解”：用待定系数法设未知系数，结合共线定理或结论列等式求解 一、单选题 1．（24-25高三下·上海·月考）若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的加法法则计算可得结论. 【详解】因为向量与方向相反，所以，. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，，则平分线上的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用单位向量概念公式，结合菱形性质，平行四边形法则可解. 【详解】、都是单位向量，所以是以、为邻边的菱形的对角线， 所以所指的方向即为、的夹角的角平分线方向，而、的夹角即为. 故选：A. 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则①；②；③．其中正确的等式的个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】①如图可知 ，故①正确． ②，故②正确． ③ ，故③正确． 故选：C． 4．（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断. 【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）化简： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 【答案】 【分析】根据平面向量加减运算法则得到答案. 【详解】（1）；（2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 故答案为：，，，，， 6．（2025高三·上海·专题练习）与向量同方向的单位向量 【答案】 【分析】略. 【详解】略 7．（24-25高二·上海·课堂例题）设、是平面内不共线的向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则实数 ． 【答案】 【分析】利用空间向量平行的坐标结论可解. 【详解】,,则， 若A、B、D三点共线，则存在唯一，使得. 即，即，解得. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海·期中）已知向量与不平行，与平行，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解. 【详解】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为： 9．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 10．（25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形中，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量减法的运算法则，结合菱形的几何性质可求得正确答案. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 又因为，所以是等边三角形，即. 所以. 故答案为：1 11．（24-25高一下·上海浦东新·月考）化简 . 【答案】 【分析】根据向量加法运算律计算即可. 【详解】. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简的结果等于 . 【答案】 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·课后作业）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 【答案】 、 、 、、、、、、、、、、 【分析】根据向量的定义，把所有向量罗列出来，找出符合条件的向量即可． 【详解】（1）与相等的向量：； （2）的负向量：; （3）与共线的向量：. 故答案为：①②③. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 三、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 16．（24-25高一上·上海·课后作业）点在线段上，且，，，求实数、. 【答案】，. 【分析】根据题意画出图形，分析即可得解. 【详解】   和同向，且，则，； 和反向，且，则， 所以，. 17．（24-25高一·上海·随堂练习）在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示． (1)写出与向量平行的向量； (2)求证：． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平行向量的定义即可求解； （2）根据相等向量的定义即可证明. 【详解】（1）与向量平行的向量有，，． （2）在平行四边形ABCD中，，， 因为E，F分别是CD，AB的中点， 所以且， 所以四边形BFDE是平行四边形， 故． 18．（24-25高一下·上海）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)9. 【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【详解】（1）由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）设平面内不相同的四点A、B、C、D，判断下列结论是否正确，并说明理由. (1)若，则A、B、C三点共线； (2)若，则A、B、C、D四点共线. 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)错误，理由见解析 【分析】（1）运用向量共线，有公共点判断； （2）运用向量共线，没有公共点判断. 【详解】（1）正确，,且与有公共点A，所以A、B、C三点共线. （2）错误，直线可能平行于直线. 四、判断题 20．（24-25高一·上海·课堂例题）若，，则；( ) 【答案】正确 【分析】由相等向量的定义判断． 【详解】两向量相等，则两向量的模相等，方向相同，故具有传递性，故结论正确． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $