专题01 条件概率4种题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019选择性必修第二册

专题01条件概率与事件的独立性5类题型归纳 （压轴题专项训练） 目录 类型一、条件概率的计算 类型二、条件概率性质的运用 类型三、乘法公式与全概率公式的应用 类型四、利用贝叶斯公式求概率 类型五、独立事件与条件概率的关系 压轴专练 类型一、条件概率的计算 1、条件概率的计算方法 （1）定义法（通用方法）：先分别计算“事件A发生的概率P(A)”，以及“事件A与B同时发生的概率P(AB)”，再通过公式(P(B|A)=P(AB)P(A)（要求P(A)>0）得到“在A发生的前提下B发生的概率”。 （2）古典概型专属法（缩小样本空间法）：若问题属于古典概型（所有基本事件等可能发生），可先确定“事件A包含的基本事件数量n(A)”，再统计“在A发生的前提下，事件B包含的基本事件数量n(AB)”，最后通过P(B|A)=n(AB)n(A)计算——本质是将“事件A发生”作为新的样本空间，直接在这个限定范围内计算B的概率。 2、条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 例1．一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 【答案】 【分析】解法一：记从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； 解法二：记从只一等品、只二等品中取只所有取法，事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】解法一：样本空间改变法： 从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，所以； 解法二：从只一等品、只二等品中取只所有取法， 所以中所含的基本事件数为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”， 所以中所含的基本事件为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取2只，第一次取只一等品，第二次任取”， 所以中所含的基本事件为，故. 变式1-1．现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数求，进而求条件概率. 【详解】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 变式1-2．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 变式1-3．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （2）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）因为， 所以 所以， （2）由已知，， 又，， 所以 类型二、条件概率性质的运用 1、条件概率的基本性质 条件概率可理解为“限定在‘A发生’这个新样本空间内的概率”，因此具备与普通概率一致的核心性质（需满足P(A)>0）： （1）必然事件的条件概率为1：在A发生的前提下，整个样本空间对应的事件一定发生 （2）互斥事件的条件概率可加：若B、C是不能同时发生的互斥事件，则“B或C在A前提下发生”的概率，等于“B在A前提下发生的概率”加“C在A前提下发生的概率”,P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A) （3）对立事件的条件概率互补：若是B的对立事件（B与必发生其一且不同时发生），则“B不发生”的条件概率，等于1减去“B发生”的条件概率，即P(|A)=1-P(B|A)。 例2．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 变式2-1设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 变式2-2已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率公式以及全概率公式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 又. 所以.又， 所以. 故选：A. 变式2-3（多选）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B． C．若B和C是两个互斥事件，则 D．当时， 【答案】ACD 【详解】因为，所以．A正确． ，B错误． 若B和C是两个互斥事件，则，C正确． 因为，所以． ，D正确． 故选：ACD 类型三、乘法公式与全概率公式的应用 1.概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 2.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. 易错提醒：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 例3.（1）（多选）袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD （2）某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 . 【答案】 【详解】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，则， 所以， ， 故答案为：；. 变式3-1．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式，以及概率的性质，即可判断选项. 【详解】由乘法公式可知选项A正确，则选项B不正确， 因为，，所以，所以C正确； 因为，，所以，所以D正确． 故选：ACD 变式3-2．（多选）现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由题意可知， 故, , 故选：ACD 变式3-3．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 类型四、利用贝叶斯公式求概率 解题技巧 1、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 易错提醒：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即 例4．托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 【答案】/ 【解析】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为， 由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 故答案为： 变式4-1．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果． 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 变式4-2．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【解析】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件， 则，，，， 故， 则所求概率为. 故答案为： 变式4-3．人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：B． 类型五、独立事件与条件概率的关系 解题技巧 1、相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2、事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 3、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 4、求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2） 使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的 （3）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 例5．（1）已知A，B为两个随机事件，且，则“A，B相互独立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用独立事件的公式，结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当相互独立时，则相互独立，所以， ，则，故充分； 当时，因为， ， 所以，得， ，故必要. 故选：C （2）（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（    ）    A． B．与相互独立 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知，，，，则， 则，故A正确； ，， 则，故与不独立，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 变式5-1．设随机事件A，B相互独立，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件概率公式求得，再根据独立事件乘法公式求出，进而由根据和事件概率计算公式即可求得结果. 【详解】因为，， 由，得. 因为事件A，B相互独立， 所以，即，所以. 所以. 故选：C. 变式5-2．（多选）已知.若事件相互独立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为， 所以，故B正确； 又因为事件相互独立，所以， 所以，故A正确； 因为事件相互独立，所以相互独立， ，故C错误； 因为事件相互独立，所以相互独立， ，故D正确. 故选：ABD. 变式5-3．多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项． (1)求该同学第10题得6分的概率； (2)求该同学两个题总共得分不小于10分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列出第10题选两个选项的所有情况，求出选两个选项正确的概率，再利用独立事件的概率公式计算即可； （2）由总得分不低于10分共2种情况：第10题得6分且第11题得4分和第10题得6分且第11题得6分，设出基本事件求出概率，用基本事件分别表示这2种情况，利用独立事件的概率乘法公式和加法原理计算即可. 【详解】（1）根据题意，第10题得6分需满足选两个选项且选对， 选两个选项共有6种情况，，，，， 所以； （2）总得分不低于10分共2种情况，它们分别是：第10题得6分且第11题得4分；第10题得6分且第11题得6分， 记事件：第10题得6分，满足选了两个选项且选对； 事件：第11题得4分，满足三个选项选了两个选项且选对； 事件：第11题得6分，满足选了三个选项且选对. 则；；； . 压轴专练 1．天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（   ） A．0.44 B．0.5 C．0.56 D．0.6 【答案】A 【分析】利用对立事件求‘至少一个发生’的概率：“先计算两地都不降雨的概率，再用1减去该概率得到至少有一个地方降雨的概率”即可. 【详解】“设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B， 则，， “甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即， ，， 利用独立事件的性质可知，事件与相互独立， 所以， 所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为． 故选：A． 2．根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合排列组合应用问题列式求解. 【详解】乙恰好选择了三座城市旅游的方法数为， 而事件与都发生的所有可能结果有， 所以所求概率为. 故选：C 3．已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】要判断“相互独立”与“”的条件关系，需从充分性和必要性两方面，利用条件概率公式及事件独立性定义进行推导即可. 【详解】由题意，，， 若相互独立，则相互独立，相互独立， 所以，， 所以，故充分性成立； 若，即， 则， 即，故， 即相互独立，故、相互独立，故必要性成立， 故“相互独立”是“”的充分必要条件． 故选：C 4．已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】利用条件概率的定义式，先通过与求出，再代入的条件概率公式计算结果. 【详解】根据条件概率公式，先求： 由， 得. 再求： 由， 代入，得. 故选：B 5．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 6．已知随机事件相互独立，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件的乘法公式，结合条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为随机事件相互独立， 所以， 由， 由， 由， 所以， 故选：A 7．甲､乙､丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观.每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，先赢两局者获胜.规定不管是否决出胜者，至多三局结束比赛.根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局.经抽签，甲､乙首先对战，丙旁观，设甲､乙､丙在三局内成为胜者的概率分别为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲、乙、丙获胜的各比赛流程，计算对应概率后比较大小. 【详解】甲获胜的概率：甲获胜需局1胜乙且局2胜丙，概率为. 乙获胜的概率：乙获胜需局1胜甲且局2胜丙，概率为. 丙获胜的概率： 丙获胜包含两种情况： ①.局1甲胜乙，局2丙胜甲，局3丙胜乙， 概率为； ②.局1乙胜甲，局2丙胜乙，局3丙胜甲， 概率为； 故. 比较得，即. 故选：C 8．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 【答案】A 【分析】利用条件概率公式化简. 【详解】1.化简. 已知， 则， 由条件概率公式， 所以 ， 2.根据列联表计算概率 由列联表可知，， 所以 9．（多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型直接计算；当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球，根据古典概率模型得到；分别计算出再根据条件概率公式即可得到的值；由，再分别计算出对应的每个概率即可. 【详解】表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型，选项A正确； 当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球， 根据古典概率模型，选项B错误； 表示和同时发生，，当发生，即从甲袋取出一个红球放入乙袋， 此时乙口袋中装有3个红球，1个白球，， 根据条件概率公式可得，选项C正确； 综合以上分析得到 ，选项D正确. 故选：ACD 10．（多选）在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】BCD 【分析】根据A与B相互独立，则,再由可判断A选项；由条件概率的运算 可判断B选项；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；通过计算得，得B与C互斥即可判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，则, ，故A错误； 对于B，因为与互斥，所以，所以， 所以，， 所以,故B正确； 对于C，因为与互斥，所以，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，显然，即， 由，得， 解得，所以与互斥，故D正确. 故选：BCD 11．（多选）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】ABD 【分析】A：根据概率的性质即可判断；B：求条件概率即可；CD：分别讨论奖品在1，2，3，4号箱子中时，根据全概率计算公式求出，根据条件概率计算公式求出，，从而可以判断． 【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此，，，的概率均为，即A正确； 对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确； 对于C、D选项， 奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故， 由全概率公式可得：， ， ，故C错误，D正确． 故选：ABD． 12．某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式列式求解. 【详解】设“抽到的产品来自A生产线”，“抽到的产品来自B生产线”，“抽到的一件产品是次品”， 则，， 由全概率公式得， 所以它来自A生产线的概率是. 故答案为： 13．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为 ． 【答案】 【分析】利用全概率公式求出事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”，事件“第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”，“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”的概率，最后将它们相加即可求得结果. 【详解】设事件“3次之内（含3次）停止摸球”， 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到红球”； 事件 “第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”； 事件“第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”； 事件“在第次摸球时首次选择甲袋”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则． ． ． 因此． 故答案为：. 14．三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则 ；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 . 【答案】 /0.375 【分析】根据条件概率即可求得第一空答案；结合全概率公式即可求得第二空答案. 【详解】奖品在2号门后，嘉宾选择了2号门，主持人可打开1，3，4号门，则； 若奖品在2号门后，其概率为，嘉宾更改了选择，则其选中奖品的概率为0； 若奖品不在2号门后，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两扇门中的1个， 若此时嘉宾更改选择，其选中奖品的概率为； ∴若嘉宾更改选择，其中奖的概率为. 故答案为：； 15．贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 【答案】 【分析】根据题意，记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”，利用全概率及贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”， 则，，， ， 故， 所以． 故答案为：. 16．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件公式计算概率； （2）应用全概率公式结合独立事件概率乘积公式计算求解. 【详解】（1）记事件为“甲成功破译密码”、事件为“乙成功破译密码”、事件为“丙成功破译密码”，则 记恰有两人成功破译的概率为，则 （2）记事件为“丁成功破译密码，则， 设密码能被成功破译为事件E， . 17．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式，结合计算即可. 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 18．某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”，利用全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 19．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【答案】(1) (2)①；②方案二 【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论． 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01条件概率与事件的独立性5类题型归纳 （压轴题专项训练） 目录 类型一、条件概率的计算 类型二、条件概率性质的运用 类型三、乘法公式与全概率公式的应用 类型四、利用贝叶斯公式求概率 类型五、独立事件与条件概率的关系 压轴专练 类型一、条件概率的计算 1、条件概率的计算方法 （1）定义法（通用方法）：先分别计算“事件A发生的概率P(A)”，以及“事件A与B同时发生的概率P(AB)”，再通过公式(P(B|A)=P(AB)P(A)（要求P(A)>0）得到“在A发生的前提下B发生的概率”。 （2）古典概型专属法（缩小样本空间法）：若问题属于古典概型（所有基本事件等可能发生），可先确定“事件A包含的基本事件数量n(A)”，再统计“在A发生的前提下，事件B包含的基本事件数量n(AB)”，最后通过P(B|A)=n(AB)n(A)计算——本质是将“事件A发生”作为新的样本空间，直接在这个限定范围内计算B的概率。 2、条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 例1．一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 变式1-1．现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （2） 利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 类型二、条件概率性质的运用 1、条件概率的基本性质 条件概率可理解为“限定在‘A发生’这个新样本空间内的概率”，因此具备与普通概率一致的核心性质（需满足P(A)>0）： （1）必然事件的条件概率为1：在A发生的前提下，整个样本空间对应的事件一定发生 （2）互斥事件的条件概率可加：若B、C是不能同时发生的互斥事件，则“B或C在A前提下发生”的概率，等于“B在A前提下发生的概率”加“C在A前提下发生的概率”,P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A) （3）对立事件的条件概率互补：若是B的对立事件（B与必发生其一且不同时发生），则“B不发生”的条件概率，等于1减去“B发生”的条件概率，即P(|A)=1-P(B|A)。 例2．已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3（多选）已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B． C．若B和C是两个互斥事件，则 D．当时， 类型三、乘法公式与全概率公式的应用 1.概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 2.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. 易错提醒：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 例3.（1）（多选）袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． （2）某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 . 变式3-1．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（多选）现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则（ ） A. B. C. D. 变式3-3．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 类型四、利用贝叶斯公式求概率 解题技巧 1、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 易错提醒：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即 例4．托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设小红口袋中有4个白球和4个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现从小红自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 变式4-1．已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 变式4-3．人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 类型五、独立事件与条件概率的关系 解题技巧 1、相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． （3）相互独立事件的性质 如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 2、事件的独立性 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 3、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：事件，相互独立⇔． （2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （3）条件概率法：当时，可用判断． 4、求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2） 使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的 （3）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 例5．（1）已知A，B为两个随机事件，且，则“A，B相互独立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）（多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（    ）    A． B．与相互独立 C． D． 变式5-1．设随机事件A，B相互独立，已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（多选）已知.若事件相互独立，则（ ） A． B． C． D． 变式5-3．多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项． (1)求该同学第10题得6分的概率； (2)求该同学两个题总共得分不小于10分的概率． 压轴专练 1．天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（   ） A．0.44 B．0.5 C．0.56 D．0.6 2．根据2025年最新旅游数据和权威推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游，记事件“乙恰好选择了三座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（   ） A． B． C． D． 3．已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 5．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机事件相互独立，，则（   ） A． B． C． D． 7．甲､乙､丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观.每局比赛的胜者与旁观者进行下一局比赛，先赢两局者获胜.规定不管是否决出胜者，至多三局结束比赛.根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局.经抽签，甲､乙首先对战，丙旁观，设甲､乙､丙在三局内成为胜者的概率分别为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 9．（多选）已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（多选）在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，与互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 11．（多选）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开j号箱子，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 12．某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是 ． 13．已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和2个白球，乙袋内有2个红球和1个白球，根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球，若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球，若摸到2次红球则停止摸球，求3次之内（含3次）停止摸球的概率为 ． 14．三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则 ；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 . 15．贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 16．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 17．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 18．某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 19．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $