精品解析：辽宁省葫芦岛市龙港区2025-2026学年上学期第四次联考八年级数学试卷

2025—2026学年度上学期第四次限时性作业八年级数学学科 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，作对称轴．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择即可． 【详解】解：A、图形沿任何直线折叠后，两侧无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、蝴蝶图形沿竖直中线折叠，两侧能完全重合，是轴对称图形，符合题意； C、图形无对称轴，折叠后两侧无法重合，不是轴对称图形，不符合题意； D、叶子图形的纹路和形状不对称，无对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式的计算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 3. 如图，在中，．是边上的中线，点E在边上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 4. 如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 75° D. 85° 【答案】B 【解析】 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 7. 如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 即． 故选：D． 8. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米， 根据题意，可列方程：2， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 10. 如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，结合角平分线得出，求出，，从而得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选： B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 【详解】解：根据科学记数法的表示形式，数0.000000022用科学记数法表示为： 故答案为 【点睛】此题考查了科学记数法的表示形式，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，则分母不为0． 根据分式有意义的条件得到，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 解得， 故答案为：． 13. 若，，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；利用平方差公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：由平方差公式，得． 代入已知条件，，解得． 故答案为4． 14. 如图，是的中线，E，F分别为，的中点，若的面积为，则的面积是_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积，熟练掌握三角形的中线与面积是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵F为的中点，是的中线，且的面积为， ∴，，即， ∵E为的中点， ∴， ∴； 故答案为：24． 15. 如图，在中，，，，D为的中点，E为线段上任意一点（不与端点重合），当E点在线段上运动时，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】过C作，过C作，过D作的垂线交于点F交于点E，即可得到答案； 【详解】解：过C作，过D作的垂线交于点F， ∵，，， ∴， ∴即为最小值， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：3； 【点睛】本题考查角所对直角边等于斜边一半及平行线间距离处处相等且最短． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）化简：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算及因式分解；熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式的混合运算法则和运算顺序进行计算即可； （2）先根据平方差公式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再代值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别为，． （1）在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标______； （2）画出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得周长最小，请在图中标出点的位置． 【答案】（1）画出平面直角坐标系如图， （2） 关于y轴对称的，如图所示， （3） 在图中标出点的位置如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化轴对称，轴对称求最短路径，正确根据题意建立坐标系是解题的关键． （）依据点的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，再结合 网格直接读出点的坐标； （）根据轴对称的特征画出的对应点，然后依次连接即可； （）利用轴对称求最短路径． 【小问1详解】 点的坐标为（-1，1）； 以点为依据， 以网格交点为原点，水平向右为轴正方向， 竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系， 结合网格可得点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 的对称点； 的对称点； 的对称点； 依次连接，即可得到． 【小问3详解】 作点关于轴的对称点； 连接，该线段与轴的交点即为所求的点， ∵，的周长， ∴根据“两点之间线段最短”， 为的最小值，而为定值，因此此时周长最小． 19. 若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． （1）若，求x的值． （2）若，求x的值． （3）已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用幂的乘方法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有和的式子，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴． 20. 如图是某实验中学旁边的一条小河对岸的一排树木，几名同学在国庆节假期，想利用所学知识测量这条河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点B，使AB垂直于河岸（如图），因河边不安全，在该岸同侧平地上取点C、D、使A，B，C三点在同一直线上，且，，测得，在CD的延长线上取一点E，使，这时测得DE的长就是该段河流的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 【答案】 解：这几名同学的测量方案可行．理由如下： ，， ， ，， ， ， ， ， 因此这几名同学的测量方案可行． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段的和差等知识点，掌握三角形的判定与性质成为解题的关键．由三角形内角和定理可得，即，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】略 21. 某学校计划从商店购进A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费600元购买A商品和花费200元购买B商品的数量相等． （1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元； （2）根据学校实际情况，该学校需要购买B种商品的个数是购买A种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个A种商品？ 【答案】（1）购买一个商品需要15元，一个商品5元． （2）该学校最多可购买35个种商品． 【解析】 【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量总价单价结合花费600元购买商品和花费200元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该学校可购买个种商品，则可购买个种商品，根据总价单价数量结合总费用不超过1000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：购买一个商品需要15元，一个商品5元． 【小问2详解】 解：设该学校可购买个种商品，则可购买个种商品， 依题意，得：， 解得：． 答：该学校最多可购买35个种商品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 23. 【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】 （1）①证明：是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②；理由如下： 是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴； （2）（1）中与间的数量关系成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据证明即可．②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）解：在和中， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期第四次限时性作业八年级数学学科 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※考生注意： 请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，．是边上的中线，点E在边上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AE=AF，AB=AC，EC与BF交于点O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 75° D. 85° 5. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 7. 如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，为的角平分线，，于点E，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为____________． 12. 若分式有意义，则x的取值范围是_______． 13. 若，，则_______． 14. 如图，是的中线，E，F分别为，的中点，若的面积为，则的面积是_______． 15. 如图，在中，，，，D为的中点，E为线段上任意一点（不与端点重合），当E点在线段上运动时，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列各题： （1）化简：； （2）因式分解：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别为，． （1）在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标______； （2）画出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得周长最小，请在图中标出点的位置． 19. 若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． （1）若，求x的值． （2）若，求x的值． （3）已知，，用含p，q的式子表示． 20. 如图是某实验中学旁边的一条小河对岸的一排树木，几名同学在国庆节假期，想利用所学知识测量这条河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点B，使AB垂直于河岸（如图），因河边不安全，在该岸同侧平地上取点C、D、使A，B，C三点在同一直线上，且，，测得，在CD的延长线上取一点E，使，这时测得DE的长就是该段河流的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 21. 某学校计划从商店购进A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费600元购买A商品和花费200元购买B商品的数量相等． （1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元； （2）根据学校实际情况，该学校需要购买B种商品的个数是购买A种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个A种商品？ 22. 八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 23. 【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②写出与间的数量关系并说明理由； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $