2026年中考数学复习：直线与圆的位置关系

2026年中考数学复习：直线与圆的位置关系 一、单选题 1．直角三角板与一个量角器按如图所示的方式放置，量角器的中心点为O，直角顶点C在零刻度线所在直线上，三角板与量角器只有一个公共点N．若点N处的读数为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线与过点B的⊙O的切线交于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是（    ） A．70° B．50° C．45° D．20° 3．已知OA平分∠BOC，P是OA上任一点，如果以P为圆心的圆与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是(  ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（   ） A．64° B．120° C．122° D．128° 5．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（　　） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．=PC•PO 6．下列命题中的真命题是（　　） ①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 7．已知如图所示，等边△ABC的边长为2cm，下列以A为圆心的各圆中， 半径是3cm的圆是(     ) A． B． C． D． 8．如图，、切于A、B，及其延长线分别交于C、D，为⊙O的直径，连接、，下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 9．如图，点I为△ABC的内心，且∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，则∠BIC＝ . 10．在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 11．如图，I是的内心，，则 ． 12．如图，是的直径，分别切于，分别与交于点，若，，则的半径为 . 13．如图所示，的半径为，直线，垂足为，则直线沿射线方向平移 时与相切． 14．如图：P是的直径的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则 ． 三、解答题 15．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm． （Ⅰ）求证：OB⊥OC； （Ⅱ）求CG的长． 16．小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 17．如图，在中，，以AB为直径的分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线与的切线AF交于点F． （1）求证：； （2）若，，求CE，AF的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C D D C A 1．A 【分析】本题考查了切线的性质，解决本题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 利用切线的性质，求出可得结论. 【详解】解：是切线， 故选：A ． 2．B 【详解】试题分析：因为OA=OB,所以∠A=∠ABO=20°,所以∠BOC=2∠A=40°,又因为BC是切线，所以∠CBO=90°,所以∠C=50°,故选B． 考点：1．切线的性质；2．直角三角形的性质． 3．A 【分析】能够根据角平分线的性质，得到角平分线上的点到角两边的距离相等；再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断：若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离. 【详解】由以为圆心的圆与相离，得点到的距离大于圆的半径， 再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点到的距离也是大于圆的半径， 所以与的位置关系是相离. 故选. 【点睛】此题综合运用了角平分线的性质，以及能够根据数量关系判断直线和圆的位置关系. 4．C 【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数． 【详解】在⊙O中， ∵∠CBD=32°， ∴∠CAD=32°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC=64°， ∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°， ∴∠BEC=180°-58°=122°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数． 5．D 【详解】连接OA、OB，AB， ∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B， 由切线长定理知，∠1=∠2，PA=PB， ∴△ABP是等腰三角形， ∵∠1=∠2， ∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一）， 故A，B，C正确， 根据切割线定理知：=PC•（PO+OC），因此D错误． 故选D． 6．D 【分析】根据对顶角、矩形的性质、切线的判定、中点四边形有知识逐一进行判断即可得. 【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误； ②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确； ③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误； ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确， 所以正确的是②④， 故选D． 【点睛】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握切线判定、矩形的性质、中点四边形等相关知识是解决此题的关键. 7．C 【分析】过点O作AB的垂线OC，根据等边三角形的性质求出OC的长，然后与圆的半径比较确定选项． 【详解】如图，过点O作OC⊥AB于C， 则在Rt△AOC中，OA=2，∠A=60°， ∴OC=2×sin60°=3． 所以OC=3cm，与圆的半径相等． 故选C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据等边三角形的性质，求出等边三角形的高，把等边三角形的高与圆的半径比较，只有点C在圆上，线段AB上的其它点在圆外． 8．A 【分析】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质： ①在圆中相等圆心角所对应弧相等，，连接，，则． ②，，则，正确． ③根据角的互余关系证明即可； ④条件不足，无法确定． 【详解】解：连接，如图， 由切线性质知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，①正确； 由切线性质知，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，③正确； ④若，则，即是等边三角形， 根据已知条件无法得到这一结论，故④错误． 故选：A． 9．125° 【分析】根据内心的性质得到IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，则∠IBC=∠ABC=20°， ∠ICB =∠ACB=35°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠BIC的度数． 【详解】∵点I为△ABC的内心， ∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∴∠IBC=∠ABC=×40=20, ∠ICB =∠ACB =×70=35， ∴∠BIC =180−∠IBC −∠ICB =125. 故答案为125. 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心. 10．相交 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B， ∵点， ∴，， ∵的半径为4， ∴与y轴相交， 故答案为：相交． 11．/115度 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：， ， 点I是的内心， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】过点作于点根据切线长定理以及圆切线的性质可得，，易得四边形是矩形，根据勾股定理求出的长度，进而得出答案． 【详解】解：过点作于点， ∵是的直径，分别切于，分别与交于点， ∴,， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点正确作出辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 13． 【分析】根据直线和圆相切，需要满足OD=5．又此时OD=0，则需要沿射线OD方向平移5cm． 【详解】∵直线l与⊙O相切， ∴OD=5， 又∵此时l过圆心，故需平移5cm． 故答案为5． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系，关键是掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相切，则应满足d=R． 14． 【分析】如图，连接，由是的切线，可得，则，由圆周角定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 15．（Ⅰ）证明见解析  （Ⅱ）6.4cm 【分析】（Ⅰ）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°； （Ⅱ）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到CG的长. 【详解】解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBE+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴OB⊥OC； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°． ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm， ∴ 即 ∴OF＝4.8cm． ∴ ＝6.4cm， ∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G， ∴CG＝CF＝6.4cm．    【点睛】本题综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． 16．(1)12里 (2)里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 17．（1）见解析；（2）， 【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB＝90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF＝∠ABD．然后由BA＝BC，证得：∠ABC＝2∠CAF； （2）首先连接AE，设CE＝x，由勾股定理可得方程：（2）2＝x2＋（3x）2．然后由，求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB为的直径， ∴， ∴, ∵是的切线， ∴，即, ∴, ∵，， ∴, ∴； （2）如图，连接， ∴， 设， ∵， ∴，，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴，解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角函数以及勾股定理，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 18．（1）证明见解析；（2）6． 【详解】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案； （2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案． 试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6． 考点：切线的判定与性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $