精品解析：江苏省宿迁市沭阳县如东高级中学和沭阳如东高级中学联考2025-2026学年高二上学期12月阶段测试数学试题

高二第一学期12月份阶段测试试题 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请将自己的姓名､考试号用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置. 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程，确定的值，然后可直接得出渐近线方程. 【详解】因为双曲线 ，所以， 即渐近线方程为：， 故选：B. 2. 已知等差数列的前项和为，且，则公差为（   ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的公式及性质即可求得公差. 【详解】由等差数列公式得：， 可得，即公差为， 故选：D． 3. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 84 D. 105 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 4. 若圆与直线相切，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线和圆相切得出圆心到直线距离为半径得出参数. 【详解】圆的圆心为，半径为不为， 因为圆与直线相切， 则， 则. 故选：D. 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 6. 设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（ ） A. 1 B. 0 C. 100 D. 10 000 【答案】C 【解析】 【分析】设数列，的公差分别为，根据等差数列的通项公式列式求解即可. 【详解】因为数列，是项数相同的等差数列，设公差分别为， 则， 所以数列是公差为的等差数列， 又，，，所以， 所以数列是常数列， 所以数列的第100项， 故选：C 7. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据椭圆与双曲线的定义可得，从而可得，于是可得的取值范围. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则， 由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. (多选)下列说法中正确的是（ ） A. 是共线的充要条件 B. 若，共线，则AB∥CD C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可. 【详解】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确； 若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确； 由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确. 故选：CD 10. 已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对B：求得到直线的距离，结合圆的半径，即可判断；对C：求得的参数表达形式，结合三角函数的最值，即可求得结果；对D：利用勾股定理可判断正误. 【详解】对A：圆和圆相交于两点， 故直线的方程为：，即，故A正确； 对B：到直线的距离，又圆的半径， 所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确； 对C：圆，即， 因为在圆上，故可设， 则， 又的最大值为， 故的最大值为，C错误； 对D：将直线方程变形为， 由，解得，所以，直线过定点， 所以，圆心到直线的距离为最大值为， 因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（ ） A. 为递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 没有最大项 D. 当时，取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可得到，并确定，可判断A，再利用求和公式并代入，得到二次函数可判断B，利用的通项公式可讨论正负取值，并结合函数单调性，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为，则由， 可得， 再由， 所以有，即为递减数列，故A正确； 因为， 由于开口向下，对称轴为，因为为正整数，所以当时，取得最大值，故B正确； 由 ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为， 所以当时，取得最大值，故D正确； 令，则构造 所以函数在上单调递增， 即当时，数列单调递增，此时是最大值， 而，即， 结合当或时，，所以是数列的最大项，故C错误； 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线平行求得，根据两平行直线之间的距离公式求得正确答案. 【详解】由于直线和直线平行， 所以，解得， 所以两条直线之间的距离为. 故答案为： 13. 等差数列的前项和分别是，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据下标和性质及求和公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 14. 已知直线与抛物线相交于两点，线段的中点的横坐标为，点为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设点，联立直线与抛物线，利用韦达定理以及中点坐标，设点关于轴的对称点为，可得，代入计算即可求出实数的值. 【详解】设点， 联立，消去整理得， 则， 因为线段的中点的横坐标为， 所以，即， 设点关于轴的对称点为，则， 所以 ， 所以，即， 解得或，满足. 故答案为：或. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）由空间向量的坐标运算法则，列出关于的方程，从而求得的值； （2）根据向量垂直的坐标表示，求得的值. 【小问1详解】 由， 得，可得. 【小问2详解】 因为，所以. 即，解得. 16. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，，数列前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：， ， ， ，，. 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列定义可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式可求得； （2）由（1）可求得，采用裂项相消法可求得，结合可证得结论. 【小问1详解】 当且时，，； 当时，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列，. 【小问2详解】 略 17. 如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. （1）若，求； （2）若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合对称性即可求解； （2）根据向量的坐标运算，求点的坐标，即可求出的坐标，从而求出直线的斜率； 【小问1详解】 由条件可知， 因为，所以, 由对称性可知，； 【小问2详解】 设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1） 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的左右两支相交，交点分别记为，过点的直线与双曲线相交于两点. （1）当时，过点，点位于第二象限，直线交于点，且分别与轴相交于点.求证： ①直线斜率之差为定值； ②的面积为定值. （2）当直线运动变化时，与始终保持垂直，且恒为定值，求动点所在曲线的方程. 【答案】（1）①定值为，证明见解析；②定值为，证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据已知求出直线方程为，再求出点坐标与点坐标为，用坐标表示出直线斜率之差，结合韦达定理证明该值为定值； ②根据①结合双曲线的对称性证明出位于定直线上，从而证明面积为定值； （2）将表示为，再利用弦长公式结合韦达定理分别求出，通过为定值从而推出动点所在曲线的方程. 【小问1详解】 ①当时，过点，此时方程为，联立双曲线，解得，由于点位于第二象限， 可知点坐标为，点坐标为，设， 直线，故直线斜率分别为：，， 而 ， 联立直线与双曲线得： ，因为直线与双曲线的左右两支相交， 故，且，解得， 根据韦达定理可知， 将其代入， 故直线斜率之差为定值，定值为. ②设，由①知， 解得，故位于定直线上，而的面积为， 故的面积为定值，定值为. 【小问2详解】 由题知恒为定值，即为定值， 对于：因为三点共线，所以 ， 由①知， 故，而， 故，所以， 对于： ，则直线的方程为：，设，， 直线与双曲线方程联立可得， 即， 所以， 所以，，， 得， 又因为， 所以， 当时，即时，为定值， 所以或, 故动点所在曲线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一学期12月份阶段测试试题 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请将自己的姓名､考试号用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置. 3.选择题答案用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，且，则公差为（   ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 2 3. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 49 B. 63 C. 84 D. 105 4. 若圆与直线相切，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（ ） A. 1 B. 0 C. 100 D. 10 000 7. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. (多选)下列说法中正确的是（ ） A. 是共线的充要条件 B. 若，共线，则AB∥CD C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 10. 已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 11. 已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（ ） A. 为递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 没有最大项 D. 当时，取得最大值 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为_____. 13. 等差数列的前项和分别是，且，则__________. 14. 已知直线与抛物线相交于两点，线段的中点的横坐标为，点为轴上的动点.若的最小值为，则实数的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，，数列前项和为，求证：. 17. 如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. （1）若，求； （2）若点的坐标为，且，求直线的斜率. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19. 已知双曲线的左焦点为，过的直线与双曲线的左右两支相交，交点分别记为，过点的直线与双曲线相交于两点. （1）当时，过点，点位于第二象限，直线交于点，且分别与轴相交于点.求证： ①直线斜率之差为定值； ②的面积为定值. （2）当直线运动变化时，与始终保持垂直，且恒为定值，求动点所在曲线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $