期末易错压轴题型（24易错+10压轴）（专项训练）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版）

期末易错压轴题型（24易错+10压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、相似多边形的性质 易错题型二、位似图形的概念 易错题型三、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 易错题型四、比例的性质 易错题型五、黄金分割 易错题型六、由平行判断成比例的线段 易错题型七、利用平行判定相似 易错题型八、利用相似三角形的性质求解 易错题型九、利用相似求坐标 易错题型十、重心的有关性质 易错题型十一、实数与向量相乘 易错题型十二、向量的线性运算 易错题型十三、正弦的概念 易错题型十四、余弦的概念 易错题型十五、正切的概念 易错题型十六、求角的正弦、余弦、正切值 易错题型十七、已知正弦、余弦、正切值求边长 易错题型十八、特殊角三角函数值的混合运算 易错题型十九、已知角度比较三角函数值的大小 易错题型二十、解直角三角形的相关计算 易错题型二十一、根据二次函数的定义求参数 易错题型二十二、二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 易错题型二十三、二次函数与方程及不等式 易错题型二十四、已知二次函数的函数值求自变量的值 压轴题型一、黄金分割压轴题型 压轴题型二、相似三角形的经典模型问题 压轴题型三、相似三角形的动点问题 压轴题型四、相似三角形的判定与性质综合应用 压轴题型五、三角函数综合 压轴题型六、二次函数的平移问题 压轴题型七、二次函数的最值问题 压轴题型八、二次函数与几何问题 压轴题型九、解直角三角形的应用 压轴题型十、二次函数的实际综合应用 易错题型一、相似多边形的性质 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，两动点，都以的速度分别从点，出发沿，向点，运动．当矩形与矩形相似时，点，运动的时间为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，进行分类讨论是解题的关键．设矩形与矩形相似时，运动时间为，分矩形矩形和矩形矩形两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设矩形与矩形相似时，运动时间为， 当矩形矩形时，， ∴ 解得， 当矩形矩形时， ∴， 解得：． 故选：． 2．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，四边形四边形，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．根据相似多边形的对应角相等可求解． 【详解】解：四边形四边形， ，， 四边形的内角和为， 已知， 则， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级·上海闵行·期中）如图，四边形和四边形相似，，，，，，． （1）求、的长度； （2）求、的大小； （3）若，求四边形和四边形的周长的比． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）根据相似多边形对应边成比例列出比例式，代入数据即可求解； （2）根据相似多边形对应角相等和四边形内角和即可求解； （3）根据相似多边形的周长比等于对应边之比即可得出答案. 【详解】（1）∵四边形∽四边形， ∴即，即． ∴，． （2）∵四边形∽四边形， ∴． ∵， ∴，即． （3）∵ ∴四边形和四边形的周长的比=． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比是解决本题的关键. 易错题型二、位似图形的概念 4．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图,已知BC∥DE，则下列说法不正确的是(  ) A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．AE∶AD是相似比 D．点B与点E，点C与点D是对应位似点 【答案】C 【分析】直接利用位似图形的性质与定义分别进行分析可得答案. 【详解】解：A.∵BC∥DE，且BE与CD相交于点A， ∴两个三角形是位似图形，正确，不符合题意； B.点A是两个三角形的位似中心，正确，不符合题意； C. AE︰AB是相似比，故此选项错误，符合题意； D. 点B与点E，点C与点D分别是对应点，正确，不符合题意. 故选C. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义与性质是解题的关键. 5．（2025·上海宝山·一模）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为，且三角尺的一边长为4cm，则投影三角尺的对应边长为 cm． 【答案】10 【分析】投影三角尺的对应边长为cm，根据位似比等于相似比即可列出方程求解． 【详解】解：投影三角尺的对应边长为cm，依题意得， 解得， ∴投影三角尺的对应边长为cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记位似比等于相似比是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海闵行·期中）相似多边形都是位似多边形吗？若不是，请举反例；若是，请说明理由． 【答案】相似多边形不都是位似多边形，反例：任何相似多边形只要对应边不平行就不是位似多边形． 【分析】根据位似图形的定义和相似图形的定义，由位似图形的定义可知每组对应点的连线都经过同一点的相似图形才是位似图形即可解答． 【详解】相似多边形不都是位似多边形，因为由位似图形的定义可知每组对应点的连线都经过同一点的相似图形才是位似图形． 如图：正方形ABCD和正方形EFGH相似，但是对应边不平行，所以不是位似多边形 【点睛】本题考查的是位似图形的定义和相似图形的定义，熟练掌握位似图形的定义和相似图形的定义是解题关键． 易错题型三、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 7．（2025·上海静安·一模）如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G 【答案】A 【分析】作射线，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可． 【详解】解：作射线， ， 射线经过点D和点G，且，， ∴点A的对应点为点D或点G， 故选：A． 【点睛】本题考查位似变换，正确记忆位似图形的特征是解题关键． 8．（2025·上海崇明·一模）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ． 【答案】(4，2) 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，B（8，4），∴端点D坐标为（8，4），即（4，2）． 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 9．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，以原点为位似中心，在直线上方，画出的位似图形，使它与的相似比为．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图中的位似变化，根据题干要求：以原点为位似中心，在直线上方，画出的位似图形，使它与的相似比为，进行作图即可． 【详解】解：如图所示，为所求：    易错题型四、比例的性质 10．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知，那么的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质．根据已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求表达式直接计算，即可作答． 【详解】∵ ， ∴设， ∴． 故选：B． 11．（25-26九年级上·上海虹口·月考）若，求 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，将所求分式 拆分为，然后代入计算即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海崇明·月考）已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足．求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)6，9，12 【分析】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）设，则，分别代入计算求值即可． （2）设，则，结合．列式解答即可． 【详解】（1）解：设，则， 故． （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 易错题型五、黄金分割 13．（2025·上海松江·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 14．（24-25九年级上·上海静安·期中）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：因为C、D两点都是线段的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 15．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在线段上有一点，若，则称点为的黄金分割点，现已知，点是线段的黄金分割点，求的长. 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，代入数据即可得出的值． 【详解】解：为线段的黄金分割点，且，为较长线段， 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中是需要熟记的内容． 易错题型六、由平行判断成比例的线段 16．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段． 【详解】解：如图：∵直线， ∴，，， ∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立， 故选：C． 17．（24-25九年级·上海闵行·期中）如图，在中，点、分别在、上，已知，，，，由此判断与的位置关系是 ，理由是 ． 【答案】 平行 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可. 【详解】∵AE=2，EC=， ∴AC=AE+EC=2+=， ∴==， ∵AD=3，AB=5， ∴=， ∴=， ∴ DE∥BC， ∴DE和BC的位置关系是：平行， 理由是：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 故答案为平行；如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确得到成比例线段是解题关键. 18．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，求证：AM2＝AB•AD． 【答案】详见解析. 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后利用比例的基本性质变形即可． 【详解】证明：∵MN∥BC， ∴， ∵DN∥MC， ∴， ∴， 即AM2＝AD•AB． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式并根据比例的基本性质变形是解决此题的关键. 易错题型七、利用平行判定相似 19．（25-26九年级上·上海宝山·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 20．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，则与的面积比为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 由可知与相似，由可知相似比，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 又， ． 故答案为：9． 21．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 易错题型八、利用相似三角形的性质求解 22．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，已知；，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即，解得：． 故选：D． 23．（2026九年级·上海·专题练习）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示） (1)已知，测得的面积为，则的面积为 ． (2)在上述条件下，若和的周长之和为35cm，则的周长是 cm. 【答案】(1)9 (2)15 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活应用． 根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：， , ∵的面积为， 的面积为． 故答案为：9． 24．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，．求： (1)与的相似比． (2)BD的长． 【答案】(1) 与的相似比为 (2) 的长为 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例得到的相似比即为的值； （2）根据相似三角形的对应边成比例可得，据此求出的长． 【详解】（1）解：， 与的相似比是为． （2）， ，即， 解得． 易错题型九、利用相似求坐标 25．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    26．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 27．（2025·上海松江·模拟预测）（1）尺规作图：如图，、是平面上两个定点，在平面上找一点，使构成等腰直角三角形，且为直角顶点.（画出一个点即可） （2）在（1）的条件下，若，，则点的坐标是________. 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）如图作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交直线MN于C，C′，连接AC，BC，AC′BC′，点C或C′即为所求； （2）如图，由勾股定理求出AB的长，再证明△NAE∽△BAO，求出AN，EN的长，再证明△NCD∽△NBE，求出CD，OD的长，进行可求点C的坐标，同理可求点的坐标. 【详解】（1）如图作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交直线MN于C，C′，连接AC，BC，AC′BC′，点C或C′即为所求． （2）建立平面直角坐标系如图，CD⊥AN，EG⊥OB，,EG⊥OB，垂足分别为D，F，G. ∵A（0，2），B（4，0）， ∴OA=2，OB=4， ∴AB= ∵E是圆心，AB是直径， ∴AE=AB=，CE= 在△AOB和△AEN中， ∵∠NAE=∠BAO，∠AEN=∠AOB， ∴△AOB∽△AEN ∴ ∴NE=，CN=, ∴AN= 同理可证，△NCD∽△NAE， ∴， ∴, ∴CD=1，ND=2， ∴OD=5-2-2=1， ∴点C的坐标为（1，-1）； ∵AO=2， ∴EG=1， 易证△EGH∽△NOH， ∴，即 ∴EH=， ∴HG=,OH= ∵ ,EG⊥OB， ∴△EHG∽△， ∴，即， ∴, ∴GF=1， ∴OF=2+1=3， ∴点的坐标为（3，3）. 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 易错题型十、重心的有关性质 28．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵点P是的重心， ∴， ∴，， ∴的面积的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，结合重心性质得出三角形的面积公式找到三角形的面积比是解题的关键． 29．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是 ． 【答案】4 【分析】连接，并延长交于点F，根据三角形的重心可得，从而有，，，进而求得，于是即可求得四边形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点F， ∵点O是的重心， ∴， ∴，， ∴即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了重心，理解重心是三角形三边中线的交点是解题的问题． 30．（2025·上海金山·模拟预测）如图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)在图①中，作出△ABC的重心O． (2)在图②中，在△ABC的边AC上找一点P，连接BP，使△ABP的面积为△ABC面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，即可求解； （2）如图，连接EF交AC于点P，根据△AEP∽△CFP，可得点P即为所求，即可求解． 【详解】（1）解：如图①中，点O即为所求； （2）解：如图②中，点P即为所求； 理由如下∶∵AE∥CF， ∴△AEP∽△CFP， ∴， ∴， ∴△ABP的面积为△ABC面积的． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 易错题型十一、实数与向量相乘 31．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．与方向相反 D． 【答案】A 【分析】根据非零向量、，有，即可推出，，与方向相反，，由此即可判断． 【详解】解：∵非零向量、，有， ∴，，与方向相反，， 所以B、C、D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 32．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ． 【答案】 【分析】根据运算法则可得，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查的是平面向量，掌握平面向量法则是解决此题的关键． 33．（2025·上海闵行·一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC,；(2)求作向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】(1)=+；(2)取点AB的中点M，作=，连接 ，则即为所求． 【详解】试题分析：（1）由DE∥BC，AD:DB＝2:3，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE：AC=2：5，又由 ＝,＝，利用三角形法则，即可求得，继而求得答案； （2）取点AB的中点M，作=，连接，则即为所求． 试题解析：（1）∵DE∥BC， ∴AE:AC＝AD:AB="2:5" ， ∵＝，＝， ∴=+ =+， ∴==（）=+； （2）取点AB的中点M，作=，连接 ，则即为所求． 考点：平面向量 易错题型十二、向量的线性运算 34．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，设， ，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是利用三角形法则解决问题． 利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可． 【详解】四边形是平行四边形 ， ，故A选项不符合题意 ，故B选项符合题意 ，故C选项不符合题意 ，故D选项不符合题意 故选：B 35．（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先根据，，，得出，然后利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 36．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，已知在梯形中，，点在边上，联结，． (1)填空：______；______； (2)化简并求作：______．（不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1)， (2)，作图见详解 【分析】（1）利用三角形法则求解即可； （2）利用三角形法则求解即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：，； （2）解：． 图形如图所示： 故答案为：． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，梯形，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型． 易错题型十三、正弦的概念 37．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．即． 根据α是锐角，判断出的取值范围，进而完成解答． 根据α是锐角，判断出sinα的取值范围，即可判断出sinα的值不可能为选项中的哪个数． 【详解】解：∵ α为锐角， ∴， ∴． ∴选项A、B、C符合题意，选项D的值为，即的值不可能为2． 故选D． 38．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ． 【答案】60° 【分析】利用正弦定义计算即可． 【详解】解：如图， ∵sinB＝， ∴∠B＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义． 39．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 易错题型十四、余弦的概念 40．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由， ∴是， 故选：． 41．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 42．（24-25九年级上·上海普陀·月考）如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF． （1）求证：△CDE是等腰三角形； （2）求∠BFC的度数； （3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFC的度数为45°；（3）EF的长为4． 【分析】（1）由题意可以得到CD=CE，从而得证； （2）设BF交AD于Q，则可以证得∠FDP+∠FQP=90°，从而得到∠QFD=90°，进一步可得∠BFC的度数； （3）连结BE，交CF于点H，交CD于N，可得△BCN≌△CPD，从而得到CN、BN的值，再根据cos∠NBC=BH：BC=BC：BN可以得到BH与EH的值，从而最终得到EF的长． 【详解】解：（1）∵B、E关于CP对称，C点为CP上的点， ∴CB、CE关于CP对称， ∴CE=CB=CD， ∴△CDE是等腰三角形； （2）如图，设BF交AD于Q， 则由题意可得： ∠E=∠FBC，∠FBC=∠FQP， ∴∠E=∠FQP， 又CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∴∠FQP=∠CDE， ∵由正方形的性质可得：∠FDP+∠CDE=90°， ∴∠FDP+∠FQP=90°， ∴∠BFD=90°， 又可知BF与EF关于CF对称， ∴∠BFC=∠BFD=45°； （3）如图，连结BE，交CF于点H，交CD于N， ∵点B与点E关于直线CP对称， ∴CP⊥BE，∠CBH+∠HCB=90°， 又∠BCH+∠DCH=90°， ∴∠HBC=∠DCP， 又BC=CD，∠ADC=∠BCD=90°， ∴△BCN≌△CPD（AAS）， ∴CN=PD=5， ∴BN=， ∵cos∠NBC=BH：BC=BC：BN， ∴BH=， ∴EH=BH=， ∵CF⊥BE，∠EFC=45°， ∴EF=． 【点睛】本题考查正方形与轴对称的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定、直角三角形的性质、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理与三角函数的意义是解题关键． 易错题型十五、正切的概念 43．（24-25九年级上·上海·月考）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握余切函数的定义即可解答． 根据余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：在中，，， ∴，即． 故选D． 44．（2025·上海杨浦·模拟预测）坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 【答案】30° 【分析】根据坡比=坡角的正切值，进而可求出的值． 【详解】解：因为， 所以∠α＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了坡比、坡角的关系，解题的关键是掌握坡角的正切值等于坡比． 45．（2025·上海松江·一模）如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且 （1）使tan∠AOB的值为1； （2）使tan∠AOB的值为． 【答案】（1）如图1所示：见解析；（2）如图2所示；见解析 【分析】根据tan∠AOB的值分别为1、，构造直角三角形进而得出答案． 【详解】如图1所示： ∵OA=,且tan∠AOB=1，∴AB=OB=,∴可找到格点B. 如图2所示； 同上一问的解法，可以求得AB=,OB=.即可找到点B. 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键． 易错题型十六、求角的正弦、余弦、正切值 46．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理先求出，再根据正弦的定义解答即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 47．（24-25九年级上·上海静安·月考）已知在中，，，，求的正切值． 【答案】 【分析】此题考查了利用三角函数的定义求解直角三角形，涉及了勾股定理，根据三角函数的定义，由，设，，再根据勾股定理求得即可求解，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【详解】解：在中，，， ∴， 设，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， ∴． 48．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值，首先表示出各边长，进而求出锐角三角函数值即可． 【详解】解：∵a、b、c分别为的对边，且， ∴设，，， ∴， ∴最小， ∴，，． 易错题型十七、已知正弦、余弦、正切值求边长 49．（24-25九年级上·上海徐汇·月考）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 【答案】(1)点P的纵坐标为8 (2) 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，求角的余弦值，掌握三角函数值转化为边的比是解题的关键． （1）由，可设，，利用勾股定理列方程，求出x的值即可． （2）由余弦的定义即可求解； 【详解】（1）如图，过点P作轴于点M， 则， ∵点P的横坐标为6， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得（负数舍去）， ， 点P的纵坐标为8． （2）由（1）知，， ， 故答案为：． 50．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据，即可求出，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解； （2）本题考查了解直角三角形，根据，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴根据勾股定理可得， （2）解：在中，， ∴． 51．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）某数学兴趣小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过两栋建筑物的顶部和．示意图中点，，，，，，均在同一平面内，点在上，．测得．．请求出建筑物的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用．由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 易错题型十八、特殊角三角函数值的混合运算 52．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）计算（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 利用特殊角的三角函数值计算法则计算即可； 【详解】解： 故选：B． 53．（24-25九年级上·上海嘉定·月考） 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数， 根据，再计算即可. 【详解】解：原式. 故答案为：. 54．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算； 代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 易错题型十九、已知角度比较三角函数值的大小 55．（24-25九年级上·上海闵行·单元测试）若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可． 【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 56．（24-25九年级上·上海静安·月考）比较大小（用连接），，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 57．（24-25九年级上·上海闵行·单元测试）已知：如图，，、是上的两点，． （1）求证：； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而________． 【答案】（1）证明见解析；（2）增大． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义进行比较即可； （2）由（1）可总结出规律． 【详解】解：（1）∵， ∴ 和均为直角三角形， ∴ ，， ∴ ； （2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大． 【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性. 易错题型二十、解直角三角形的相关计算 58．（2025·上海宝山·一模）春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键． 根据正弦的定义即可直接作答． 【详解】解：，高为10丈， ， ， 故选：A． 59．（24-25九年级上·上海松江·月考）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了构造直角三角形和勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 【详解】解：如图； 延长 ，作的延长线交于点 ， 根据勾股定理得：，， ∴在中， 故答案为：. 60．（24-25九年级·上海闵行·期中）如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 易错题型二十一、根据二次函数的定义求参数 61．（24-25九年级上·上海杨浦·月考）当函数是二次函数时，a的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 62．（25-26九年级上·上海闵行·期中）若函数是关于的二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如可得且然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， 即：， 解得． ． 故答案为：． 63．（25-26九年级上·上海松江·月考）关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙说法正确，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做二次函数”进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 易错题型二十二、二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 64．（25-26九年级上·上海嘉定·月考）设直线是函数（，，是实数，且）的图像的对称轴（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键． 根据二次函数对称轴公式得出b与a的关系，代入表达式化简，结合和m的取值范围判断符号． 【详解】解：二次函数对称轴， 则，即， ， 当时，，当时，， 若，则时，，即， 若，则时，，时，， 则选项B、C、不一定成立，选项D一定不成立， 故选：A． 65．（25-26九年级上·上海闵行·月考）已知二次函数中，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，该二次函数的对称轴为直线，开口向上，则当时，函数有最小值为，又，故当时，函数有最大值为，从而得出的取值范围，熟练运用二次函数的性质求解函数值的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 66．（25-26九年级上·上海松江·月考）已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2)当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查二次函数的有关知识点，了解二次函数的图像及性质；熟知相关知识是正确解答此题的关键． （1）运用二次函数的顶点式即可求出对称轴和顶点坐标； （2）由二次函数开口向上，运用二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 易错题型二十三、二次函数与方程及不等式 67．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【答案】或 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图像，体现了数形结合的思想方法． 方程的根是函数与x轴交点的横坐标．先作出二次函数的图像，观察图像可知方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间．再根据精确度求出方程的解即可． 【详解】解：方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 作出二次函数的图像，如图所示： 由图像可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间． 先求0和之间的根， 当时，；当时，， 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 所以方程的两个近似根是：或． 68．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，根据图中信息解答下列问题：    (1)直接写出关于的不等式的解集； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数与不等式，一次函数与不等式组，解题的关键是： （1）找到的图象在下方时对应的x的范围即可； （2）根据图象找到当两函数图象都在x轴上方，且图象在上方时，x的范围即可． 【详解】（1）解：如图，的图象与y轴交于， ∴当时，的图象在下方， 即不等式的解集为； （2）由图可知：当两函数图象都在x轴上方，且图象在上方时， x的范围是：， ∴当时，． 69．（25-26九年级上·上海普陀·期中）画出二次函数的图象并利用图象回答： (1)方程的根是________________； (2)函数值大于0时，x的取值范围是________________． 0 1 2 3 4 3 0 0 3 【答案】(1)画图见解析， (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象，学会利用图象法解方程和不等式是解题的关键． （1）先画出二次函数的图象，根据二次函数与x轴的交点，即可求解方程的根； （2）当函数值大于0时，图象在x轴的上方，结合图象即可得到x的取值范围． 【详解】（1）解：列表得： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 在坐标系描出点，再用平滑的曲线连接它们，如图则二次函数的图象为所求； 由图象得，二次函数与x轴的交点为和， 方程的根是． 故答案为：． （2）解:当函数值大于0时，图象在x轴的上方， 由图象得，x的取值范围是或． 故答案为：或． 易错题型二十四、已知二次函数的函数值求自变量的值 70．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：由表格可知，在内，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 在内，必有一个x的值对应的函数值， 方程（，为常数）一个根x的范围是， 故选：D． 71．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是 ． 【答案】2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 72．（24-25九年级上·上海静安·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系. （1）根据待定系数法即可求得； （2）令求出x的值，即可求解. 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得： . （2）令即， 解得：， 抛物线开口向上， 时，。 压轴题型一、黄金分割压轴题型 1．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 【答案】见解析 【分析】先求得，即可得到，结论得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴点A是的黄金分割点． 【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的． 2．（24-25九年级上·上海闵行·单元测试）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？(精确到1 cm) (参考数据：黄金分割比为，≈2.236) 【答案】她应穿10 cm高的鞋子. 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 【详解】设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得：． 解得：x＝10cm． 【点睛】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·上海闵行·单元测试）折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点： 第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF. 第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD） 【答案】见解析 【分析】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF=，则A′F=﹣1．设AG=A'G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变得出A′F2+A′G2=DF2+DG2，列出关于x的方程，解方程求出x=，即可说明点G是AD的黄金分割点． 【详解】如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=． 在Rt△BCF中，BF==， 则A′F=BF﹣BA′=﹣1． 设AG=A′G=x，则GD=1﹣x， 在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2， 即， 解得x=， 即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）． 【点睛】本题考查黄金分割的概念：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．熟记黄金分割的概念是解题关键. 4．（2025九年级上·上海·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 5．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【答案】(1)满足的矩形是黄金矩形 (2)见解析 (3)直线是的黄金分割线，理由见解析 (4)无数条 【分析】（1）仿照题意进行定义即可； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条． 【详解】（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形， 故答案为：满足的矩形是黄金矩形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （3）解：直线是的黄金分割线，理由如下： ∵点P是线段的黄金分割点， ∴， 设的边上的高为h，则 ， ∴ ∴直线是的黄金分割线． （4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条． 【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键． 压轴题型二、相似三角形的经典模型问题 6．（25-26九年级上·上海崇明·月考）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 8．（2025·上海静安·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·上海崇明·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①或；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； （3）解：由（2）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； ②如图所示， ∵绕顶点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接， 在中，， 当点三点共线时，，此时线段的值最小， ∵和都是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（2025·上海松江·模拟预测）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】 设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 同理可得， ∴，即 ① ， ∴ ② ， ∴， ∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)； (2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 【答案】(1)①② (2)20 (3)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）分别证明，，由相似三角形的性质可得，整理可得，等号两边同时除以，即可获得答案； （2）结合（1），首先解得，结合，代入数值求解即可； （3）设与交于点，证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，结合（1）可得，等号两边同时加1，整理可得，结合可得出，即可说明这一物理现象． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：①；②； （2）由（1）可知，，， 当，，时， 可得，解得， ∴可有，解得， 即物体所成的像的高度为． 故答案为：20； （3）如下图，设与交于点， 根据题意，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点． 压轴题型三、相似三角形的动点问题 11．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在等边三角形中，点P是边上一动点（P点不与端点重合），作，交边于点E，交边于点D． (1)写出一对相似三角形，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长是 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形外角性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得． 【详解】（1）解：，理由： 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵等边三角形，， ∴ ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴的长是． 12．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或时，与相似 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定； （1）由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长度； （2）当时，，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论，当时，利用建立方程求解；当时，利用建立方程求解. 【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米， ∴，厘米， ∴在中，厘米 （2）解：由题意得：， ∵厘米，厘米 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： （3）解：当时，， ∴ 解得： 当时，， ∴ 解得：. 综上所述：或时，与相似. 13．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是相关知识的灵活运用． （1）由勾股定理求出，再由动点得到，，过点Q作，证明，求出， 最后根据计算即可； （2）①当时，， ②当时，，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得， ∴， 过点Q作，交于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∴， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， ∴， 当或时，与相似． 14．（25-26九年级上·上海金山·月考）综合与探究： (1)问题情景：如图1，，连接交于点O，，，，则________． (2)拓展延伸：如图2，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N．当时，求线段的长． (3)延伸探究：在（2）的条件下，P，Q在运动的过程中始终保持，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)是定值，为定值 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）根据，可得，再由相似三角形的性质解答即可； （2）证明，，可得，，即可求解； （3）设．由（2）可知，，，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为：6 （2）解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （3）解：是定值． 设． 由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴为定值． 15．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）已知：如图，C为线段上一动点，过点C作，截取，过点A、B分别作的垂线，分别在两垂线上截取，连接． (1)问题发现： ①当点C与点A重合时，的度数为 ，的度数为 ． ②当点C与中点重合时，与数量关系为 ． (2)猜想证明： 若点C位于线段上一位置时，猜想与数量关系，并给予证明． (3)拓展探究： 请直接写出三角之间的数量关系．（用一个等式表示） 【答案】(1)①；；②； (2)，见解析 (3) 【分析】（1）①当点C与点A重合时，画出图形即可得到答案；②根据题意可得，从而得到均是等腰直角三角形，即可解答； （2）证明，可得，即可解答； （3）延长到点G，使，连接，证明，可得，再证明，可得到，从而得到是等腰直角三角形，，同理可得，再由是等腰直角三角形，，即可得，得，即可解答． 【详解】（1）解：①当点C与点A重合时，如图： 根据题意得：点C靠近点A时，逐渐增大，重合时，达到， 此时点F与点B重合， ∴的度数为， 故答案为：；； ②当点C与中点重合时，如图： ∵点C与中点重合． ∴， ， ∴， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ， ∵ ； （3）解：，理由如下： 延长到点G，使，连接， 由（2）知， ∴， ∴，即， ∵， ，即， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，可得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ，即， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形三边关系等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题． 压轴题型四、相似三角形的判定与性质综合应用 16．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 【答案】(1)； (2)相似，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度． （2）根据相似三角形的判定定理：对应边成比例，夹角相等，即可证明与相似． 【详解】（1）， ； 故答案为：；． （2）相似，理由如下: ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根据图形得到两个三角形的边与边、角与角的关系是解题关键． 17．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 【详解】证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 18．（24-25九年级·上海静安·月考）（1）操作：如图，点为线段的中点，直线与相交于点，请利用图画出一对以点为对称中心的全等三角形，（不写画法）. 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动： （2）探究一：如图，在四边形中，为边的中点，与的延长线相交于点，试探究线段与，之间的等量关系，并证明你的结论. （3）探究二，如图，相交于点，交于点，且，若，求的长度. 【答案】（1）如图所示见解析；（2），理由见解析；（3）DF=9. 【分析】（1）根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据，来画出全等三角形． （2）通过作辅助线将AB，FC，AF构建到一个相关联的三角形中，延长交的延长线于点.不难证明△ABE≌△GCE，那么AB=CG，根据，即可得出与，之间的等量关系. （3）本题的作法与（2）类似，延长DE、CF交于点G，不难得出△ABE∽△GCE， 可根据线段的比例关系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG是等腰三角形，那么DF=GF，即可求出DF的值． 【详解】（1）如图所示 连接，过点作交于点. （2）解：，理由如下：如图，延长交的延长线于点. ，，，， . 为中点， ， ， （3）延长交的延长线于点，如图 ， ， ， ， 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握辅助线的作法是解题的关键. 19．（25-26九年级上·上海宝山·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【详解】（1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 20．（24-25九年级上·上海虹口·期中）定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”． （1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______． （2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长． （3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长． 【答案】（1）四边形ABCE；（2）13或10；（2）2 【分析】（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断； （2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明； （3）AM⊥BC，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB表示出AM，根据三角形的面积公式得到BC×AB＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4， ∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝， AE＝＝2，CE＝＝5， ∴＝＝＝， ∴ABC∽EAC， ∴四边形ABCE是“友爱四边形”， ∵≠， ∴ABC与ACD不相似， ∴四边形ABCD不是“友爱四边形”， 故答案为：四边形ABCE； （2）∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， 当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC， 则＝＝， ∵，，， ∴＝＝， 解得AD＝，CD＝， ∴友爱四边形的周长为； 当∠B=∠D时，ABC∽ADC， 则＝＝＝1， ∵，，， ∴＝＝1， 解得AD＝2，CD＝3， ∴友爱四边形的周长为， 综上所述，友爱四边形的周长为13或10； （3）如图3，过点A作AM⊥BC于M， 则∠AMB＝90°， ∵， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB， ∴在Rt△ABM中，AM＝ ＝ ＝AB， ∵ABC的面积为3， ∴BC×AB＝3， ∴BC×AB＝12， ∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，且AB≠BC， ∴ABD∽DBC ∴， ∴BD2＝AB×BC＝12， ∴BD＝＝2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键． 压轴题型五、三角函数综合 21．（2025九年级·上海闵行·专题练习）如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为10，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解． 【详解】小正方形面积为20，大正方形面积为100， 小正方形的边长是，大正方形的边长是10， 即，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角形函数的定义，利用三角函数的定义表示直角三角形的边解题的关键． 22．（24-25九年级上·上海松江·月考）如图所示，，上有一点，，， (1)用含的表达式表示出AC的长度 (2)用含的表达式表示出点D到AC的距离 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正切和余弦定义分别表示、即可； （2）再利用正切定义表示出、，然后利用三角形的等面积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 在中，，， ∴； （2）解：在中，，， ∴， 则， 设点D到AC的距离为h， 由得 ． 【点睛】本题考查锐角三角函数、三角形的面积公式，熟练掌握锐角三角函数的定义以及应用是解答的关键． 23．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，过点作，分别交、于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形： （2）设，，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，则有AB∥CD，然后可证△DOF≌△BOE，进而问题可求解； （2）由题意易得AD=4，AB=8，则有∠ABD=30°，∠DAB=60°，进而可得是等边三角形，是等边三角形，然后可得，则有，最后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴， ∵， ∴△DOF≌△BOE（ASA）， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）由（1）可得四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴∠ABD=30°，∠DAB=60°， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形、平行四边形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形、平行四边形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 24．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图1，直线y＝x和直线y＝﹣x+5相交于点A，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y＝x于点Q． （1）点A的坐标为　 　； （2）当QP＝OA时，求Q点的坐标及△APQ的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M． ①直接写出点M的坐标　 　； ②点N在直线y＝x的上方，当OQN和OQM全等时直接写出N点坐标　 　． 【答案】（1）；（2）；10；（3）， 【分析】（1）把两个函数解析式联立方程组计算即可； （2）设P的横坐标n，根据勾股定理求出P，Q的坐标，计算即可； （3）①作，根据勾股定理和三角函数值求出M的坐标计算即可；②当四边形NOMQ为平行四边形和当△NOQ与△MOQ关于OQ对称时分别计算即可得到结果； 【详解】（1）由题意可得： ， 化简得：， 解得：， 把代入y＝x中，得， ∴； 故答案是； （2）如图，把代入中，得到， ∴， 设P的横坐标n，把代入得， ∴， 把代入得， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作轴， 则； （3）①作， ∵MQ平分， ∴， 设（m＞0）， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当四边形NOMQ为平行四边形时，， 则NQ由OM平移得到，平移到点，则，则横坐标加上3，，则纵坐标加上6， ∵， ∴； 当△NOQ与△MOQ关于OQ对称时，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作轴， 则， ∴， ， ， ∴； 综上所述，符合条件的N点的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合应用，结合三角函数定义、勾股定理、三角形全等计算是解题的关键． 25．（25-26九年级上·上海长宁·月考）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 压轴题型六、二次函数的平移问题 26．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上， ∴， ，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得 ， 解得． 27．（25-26九年级上·上海杨浦·月考）如图，直线与抛物线相交于点A和点B．将抛物线向上平移2个单位长度后的图象与y轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标并写出抛物线平移后的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与一次函数图象的交点问题、坐标与图形等知识，正确求得点A、B坐标是解答的关键． （1）联立方程组求解可得点A、B坐标；根据函数图象平移规则“上加下减”可得平移后的表达式； （2）先求得直线与y轴的交点D的坐标，再求得点C坐标，然后根据坐标与图形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组， 解得，， ∴，； 将抛物线向上平移2个单位长度的抛物线表达式为； （2）解：对于，当时，，则， 设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴，又，； ∴． 28．（25-26九年级上·上海宝山·月考）如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴和的最大值，并求的值． (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及拋物线的一段、分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)的对称轴为，的最大值为4， (2)点移动的最短路程为 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键． （1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值； （2）由，得出抛物线平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度，即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：， 的对称轴为，的最大值为4， 把点代入抛物线的表达式，得， 解得，． 又因为在对称轴的右侧 ． （2）所在抛物线的表达式为， 抛物线平移过程为向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度， 点移动的最短路程为． 29．（2025九年级上·上海·专题练习）一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，图象对应的函数表达式为_________． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标，可设顶点式，然后把点代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图像； （3）根据“左加右减，上加下减”写出平移后的函数解析式，并化简即得． 【详解】（1）由表格知：当时，； 当时，，故设这个二次函数的表达式为． 将代入，得， 解得，所以二次函数的表达式为， 即． （2）解：在平面直角坐标系中描出， 用平滑的曲线顺次连接起来，得到函数的图像，如图所示． （3）解：二次函数为， 将这个二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，描点法画函数图像，函数的平移，是解题的关键． 30．（25-26九年级上·上海松江·月考）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围； (3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）已知顶点坐标，设顶点式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可； （2）令，代入函数解析式求出两个的值，结合该二次函数图象开口的方向即可确定的取值范围； （3）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可． 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 将函数与轴正半轴交点的坐标代入得， 解得， 则该二次函数的解析式为． （2）当时，， 整理得，解得， ∵二次函数中， ∴函数图象开口向上，当时，的取值范围是． （3）由题意，平移后的函数解析式为， 将点代入得，解得． 压轴题型七、二次函数的最值问题 31．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知关于的二次函数图象经过． (1)求的值； (2)设抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，点是直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解与最短路径问题（利用抛物线对称性转化线段），解题关键是通过抛物线对称轴转化线段，结合两点之间线段最短求最值． （1）把已知点的坐标代入中可求出的值； （2）抛物线与轴的负半轴的交点为，连接交直线于点，如图，先解方程得，，再确定，求出抛物线的对称轴为直线，接着根据两点之间线段最短得到此时的值最小，然后求出的长即可． 【详解】（1）把代入得， 解得， ． （2） 抛物线解析式为 抛物线与轴的负半轴的交点为，连接交直线于点，如图， 当时，， 解得 ， 当时，， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 此时的值最小， ， 的最小值为． 32．（25-26九年级上·上海虹口·月考）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2)函数的最小值为 【分析】（1）先根据抛物线与x轴交于点，，设出抛物线解析式的交点式，再将点代入，即可求得抛物线的解析式； （2）根据抛物线的开口向下可知函数有最大值，再分别求出当时和当时y的值，即可求出y的最小值． 本题主要考查了求二次函数的表达式，及求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：∵，对称轴为直线，开口向下， ∴时，y的值最大为9， 当时，， 当时，， 当时，函数的最小值为． 33．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为，此时． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． 【详解】（1）解：当时 ， ∴； （2）解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； （3）解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 34．（25-26九年级上·上海虹口·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，图见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）从表格中选择两个坐标，用待定系数法求解即可； （2）根据顶点公式求得顶点坐标，通过（1）中函数解析式，利用描点法画出函数图象即可； （3）分类讨论，在对称轴左侧或在对称轴右侧，结合图象，找出函数最大值与最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入二次函数得， 解得 因此，二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴， 令得， 则顶点坐标为， 函数图象如下： （3）解：由（2）可知，二次函数顶点坐标为，且开口向下， 由于时，二次函数的最大值与最小值的差为9， 当时，随的增大而增大， 令时，函数最大值为， 令时，函数最小值为， 则， 解得， 此时无解； 当时，最大值为， 令时，， 令时，， 若， 解得， 此时，的取值范围为， 若， 解得或， 此时，最小值为 则 解得或 此时无解， 综上所述，的取值范围为． 35．（25-26九年级上·上海青浦·月考）如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差； (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2) (3)当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键. （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数的对称性可知当时，y随x值的增大而减小，则当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，再求解即可； （3）由题意分别求出，，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，是抛物线上的点， ， 解得， 拋物线的表达式为， ， 抛物线顶点的坐标为； （2）解：抛物线顶点的坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，在处，取得最大值， 在处，取得最小值， 当时，二次函数的最大值与最小值的差为； （3）解：设直线的表达式为， 点，， 解得， ∴直线的表达式为， 设点（且），则点， 当点在点的下方，即时，； 当时，线段的长随的增大而增大； 当点在点的上方时，， 当时，线段的长随的增大而增大， 综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或. 压轴题型八、二次函数与几何问题 36．（25-26九年级上·上海松江·月考）已知二次函数的图像经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点P，使的面积为3，求P点坐标 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据待定系数法计算求解即可； （2）过点P作轴交于点H，确定直线的解析式为，设点，则，结合图形得出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入得： ， 解得：， ∴； （2）过点P作轴交于点H，如图所示： 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得：点P的坐标为或 ． 37．（25-26九年级上·上海金山·月考）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为_____． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求的最大值，并直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线交轴于点和点，交轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为； （3）解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 38．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 39．（2025九年级上·上海虹口·专题练习）如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为轴上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或，理由见解析． 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及求抛物线解析式，线段最值，平行四边形的判定与性质，平移，勾股定理，二次函数与角度问题等知识点． （1）由面积求出，根据得到，，再代入列方程计算即可； （2）过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接，先设，则，得到，当时，最大，此时，由，，得到四边形是平行四边形，则，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则，，当、、三点共线时取等号，由垂线段最短可得最小值为，即可求出的最小值； （3）先求出平移后解析式为，当在直线下方时，取点，则，则是直线与新抛物线的交点，求出直线解析式，再与新抛物线联立即可得到；当在直线上方时，取一点，使，，则，得到是直线与新抛物线的交点，设，由距离公式列方程求出，再求出直线解析式再与新抛物线联立即可得到． 【详解】（1）解：令，则，即， ， ， ， ， ，， 抛物线与轴交于，两点， ，， 把，代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接， ，， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， 直线解析式为， 轴，交于点，交轴于点， 设， 则， ， ， 当时，最大， 此时， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点， ，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点， 则 ， 当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为， 的最小值为； （3）解：将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， 将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， 平移后解析式为， 当在直线下方时，如图， 取点，则， ，， ， ， 与互补， ， ， 是直线与新抛物线的交点， ，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， 直线解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ； 当在直线上方时，如图， 取一点，使，， ， ， 是直线与新抛物线的交点， 设， ，， 两方程相减整理得， 代入得， 解得， 当时，， 此时与重合， ，， ， ，， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， 直线解析式为， 联立， 得， 解得， 在和之间， ， 此时 ； 综上所述，当与互补时，的坐标为或． 40．（24-25九年级上·上海长宁·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【答案】（1）成立；（2）成立 理由见解析；（3） 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证； （2）与（1）的证明思路相同； （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作轴于C，设与y轴相交于D，然后求出，再根据（2）的结论求出，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标． 【详解】解：（1）成立， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）仍然成立．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设抛物线解析式为（）， ∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点P的坐标为， 过点P作轴于C， 设与y轴相交于D， 则， 根据（2）的结论，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为（）， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（为点A坐标，舍去）， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题型．主要考查了“三垂图”，相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，余角性质，熟练掌握是解题的关键． 压轴题型九、解直角三角形的应用 41．（25-26九年级上·上海普陀·月考）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点，在处测得大树底端的仰角，沿水平地面前进30米到达处，测得大树顶端的仰角，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．求这棵大树的高度．（结果取整数．参考数据：） 【答案】20米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用． 根据题意可得米，根据三角形的外角性质可求出，从而得出米．在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：由题意得，米， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 在中，，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴(米)， ∴（米）， ∴这棵大树的高度约为20米． 42．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）倡导“低碳环保”、让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图①所示．图②是该自行车的车架示意图，已知立管，上管，且它们互相垂直．座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，． (1)填空：下管的长为__________cm； (2)已知座管伸长到，求座垫到后下叉的距离．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】(1)45 (2) 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，其他问题（解直角三角形的应用），解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点E作，垂足为F，根据已知可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ， ∴（）， ∴下管的长为， 故答案为：45； （2）过点E作，垂足为F， ∵， ， ∴（）， 在中，， ∴（）， ∴座垫到后下叉的距离为． 43．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1) (2)5.4米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键． （1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角； （2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高． 【详解】（1）解：米，米， ， ， 是的外角， ， 斜坡的坡角为． （2）解：如图， ，，米， （米）， 在中，， ，解得米， 米， （米）， 小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米， 太阳光与地面的夹角为， ， 米， （米）． 答：古塔的高约为5.4米． 44．（25-26九年级上·上海闵行·月考）将一款台灯放置在水平桌面上，其平面示意图如图1、图2所示，台灯支架可绕点A，B，C转动，底座与桌面垂直，，支撑杆． (1)如图1，当，且点A，C，D在一条直线上，求点到桌面的距离； (2)如图2，在转动台灯的支撑杆的过程中，当点A，B，C在一条直线上，且时，求点到桌面的距离． （参考数据：取，取，取，取1.7，计算结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解三角形，需通过构造直角三角形，利用三角函数（正弦）求解垂直高度，关键在于根据已知角度确定直角三角形中的锐角，进而结合边长计算垂直分量，最后加上底座的高度得到点到桌面的距离． （1）先根据已知等腰，结合三线合一的性质，求出当时的长度，再利用点、、共线及桌面的条件，即可求出到桌面的距离； （2）当A、B、C共线时，先确定长度，再根据求出与竖直方向的夹角，利用三角函数计算垂直高度，加上得到结果． 【详解】（1）过点作，垂足为， ∵ ，， ∴，， ∴， ． 即点到桌面的距离． （2）过点作于点 当点，，在一条直线上时，． ∵， ∴， ∴． ∴ 即：点A到桌面的距离为． 45．（25-26九年级上·上海静安·月考）【阅读理解】如图1，在中，、、所对的边分别为、、，可以得到：． 【证明】：过点作，垂足为．在中，， ∴， ∴， 同理， ∴； 【学以致用】 (1)如图2，在中，，，，求的长． (2)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择、、三个测量点，在点测得在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶到达点，测得在北偏西方向上，根据以上信息，求、、三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：，，，结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据阅读理解中的三角形面积公式求解即可得到结论； （2）先计算的长，然后由可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 解得：， 即的长为； （2）∵在点测得在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶到达点，测得在北偏西方向上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 答：、、三点围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，三角形内角和定理，三角形面积，比例的性质，解题的关键是理解并运用公式解决问题． 压轴题型十、二次函数的实际综合应用 46．（25-26九年级上·上海宝山·月考）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于32元． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】(1) ，； (2) 当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据总利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； 销售单价不低于成本价20元，而每件的利润不高于32元，即销售单价不高于（元）， ； （2）解：由于 则，，， ∴， ，， 当时，每月获得最大利润，每月的最大利润是（元） 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元． 47．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据勾股定理求出，设边上的高为h，，用三角形面积法求出h，然后证明，对应边成比例可以求出，进而用三角形面积公式即可解决问题； （2）结合（1）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 设边上的高为h， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴,即 ∴， ∴的面积； （2）解：由（1）可知：； ∴， ∵， ∴当时，阴影部分面积有最小值，且最小值为； 48．（25-26九年级上·上海虹口·月考）如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为1.5m的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为， (1)求的值； (2)若在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．求弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离的值； (3)在（2）的条件下，现在地上摆放一个底面直径为，高为的圆柱形水桶（水桶厚度不计），若要弹力球从处弹起后落入水桶内（落在边缘算作进桶），请直接写出水桶底面最左端与原点距离的取值范围是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数应用，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程关系等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据第一次落地前抛物线解析式为，求出点B坐标为；根据 第二次弹起时抛物线最大高度为着地前的最大高度的，且与第一次弹起时抛物线形状相同，得到第二次弹起的最大高度为，待定系数法求出 第二次弹起时抛物线解析式为，把代入即可求出的值为5m； （3）把代入，求出（不合题意，舍去），根据圆柱形水桶底面直径为，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴第一次落地前抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点B坐标为； ∵第二次弹起时抛物线最大高度为着地前的最大高度的，且与第一次弹起时抛物线形状相同， ∴第二次弹起的最大高度为， ∴设第二次弹起时抛物线解析式为， ∵抛物线经过点B ， ∴， 解得（舍去）， ∴ 第二次弹起时抛物线解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵圆柱形水桶高度为， ∴当时，， 解得（不合题意，舍去）， ∵圆柱形水桶底面直径为， ∴， 即． 故答案为： 49．（25-26九年级上·上海松江·月考）回民区秋实学校为举办校园文化节，计划在操场入口处搭建一个装饰性拱门．拱门形状为抛物线形，底部宽度为8米，最高点距地面6米．为稳固结构，需要在拱门内侧安装两条对称的支撑杆，支撑点位于距离拱门中心线2米处．同时，要在拱门顶部下方悬挂一幅文化节徽标，徽标中心距离地面5米． 已知条件 1．以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点在y轴上． 2．支撑杆与地面垂直，上端固定在拱门内侧，下端固定在地面． 3．徽标中心位于拱门中垂线上． 问题 (1)根据以上条件，求拱门抛物线的函数解析式． (2)计算支撑杆的长度 (3)学校宣传部要求徽标中心到拱门顶部的距离为1米，徽标为圆形，直径为米．判断当徽标悬挂后，其最高点是否会被拱门遮挡？请通过计算说明． (4)由于场地调整，拱门底部宽度需改为10米，但保持最高点高度不变．此时拱门的最大水平跨度（即拱门底部宽度）增加了多少百分比？新拱门的函数解析式是什么？ 【答案】(1) (2)支撑杆长度为米 (3)徽标最高点不会被拱门遮挡 (4)； 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握知识点是解题的关键． （1）以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点坐标为，且过点，设抛物线解析式为，将代入求解即可； （2）将代入解析式，求出y的值即可； （3）求出徽标最高点距地面的距离为（米），徽标在中垂线上，拱门在处的高度为6米，，则徽标最高点不会被拱门遮挡，即可解答； （4）根据题意求出增加百分比为，新拱门的顶点仍为，设新拱门解析式，由新拱门过点，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图 由题意，抛物线顶点坐标为，且过点， 设抛物线解析式为，将代入，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）支撑杆支点距中心线2米，即， 当时， ， ∴支撑杆长度为米． （3）徽标中心距地面5米，到拱门顶部距离1米，徽标直径米，则徽标最高点距地面： （米） 徽标在中垂线上，拱门在处的高度为6米，． ∴徽标最高点不会被拱门遮挡． （4）跨度增加百分比： 原跨度8米，新跨度10米，增加量为米， 增加百分比：． ∵新拱门的顶点仍为， ∴设新拱门解析式， ∵新跨度10米，端点横坐标为5，即新拱门过点， ∴， 解得， ∴新解析式为． 50．（25-26九年级上·上海虹口·月考）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置．点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由．      【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）灭火器喷射时能覆盖着火点 【分析】本题主要考查二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （１）运用待定系数法求解即可； （２）先确定点C坐标，求出干粉形成的抛物线表达式为，得出所有干粉喷射抛物线解析式为，把点代入表达式，求出，得点在干粉喷射点D距地面的高度为的抛物线上，因此灭火器喷射时能覆盖着火点． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 又抛物线过点， ∴， 解得， 所以，抛物线的解析式为； （2）已知，点D离地面的高度为，则点C的纵坐标为 3.41， ∴， ∴ ∴或 ∵点C在顶点左侧， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为， 设此时抛物线解析式为， 又对地面的保护半径为． ∴抛物线与轴交于点，， 把代入解析式，得， 解得， 所以，所有干粉喷射抛物线解析式为， 当干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，设顶点D的坐标为，则喷射抛物线解析式为， 把点代入表达式得： 解得（负值舍去）， 说明点在干粉抛物线上，因此灭火器喷射时能覆盖着火点． $期末易错压轴题型（24易错+10压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、相似多边形的性质 易错题型二、位似图形的概念 易错题型三、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 易错题型四、比例的性质 易错题型五、黄金分割 易错题型六、由平行判断成比例的线段 易错题型七、利用平行判定相似 易错题型八、利用相似三角形的性质求解 易错题型九、利用相似求坐标 易错题型十、重心的有关性质 易错题型十一、实数与向量相乘 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A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G 8．（2025·上海崇明·一模）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD，则端点D坐标为 ． 9．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，以原点为位似中心，在直线上方，画出的位似图形，使它与的相似比为．    易错题型四、比例的性质 10．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知，那么的值是（    ） A． B． C．1 D． 11．（25-26九年级上·上海虹口·月考）若，求 ． 12．（24-25九年级上·上海崇明·月考）已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足．求a、b、c的值． 易错题型五、黄金分割 13．（2025·上海松江·模拟预测）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·上海静安·期中）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 （结果保留根号）． 15．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，在线段上有一点，若，则称点为的黄金分割点，现已知，点是线段的黄金分割点，求的长. 易错题型六、由平行判断成比例的线段 16．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级·上海闵行·期中）如图，在中，点、分别在、上，已知，，，，由此判断与的位置关系是 ，理由是 ． 18．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC，求证：AM2＝AB•AD． 易错题型七、利用平行判定相似 19．（25-26九年级上·上海宝山·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 20．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，则与的面积比为 ． 21．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 易错题型八、利用相似三角形的性质求解 22．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，已知；，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 23．（2026九年级·上海·专题练习）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示） (1)已知，测得的面积为，则的面积为 ． (2)在上述条件下，若和的周长之和为35cm，则的周长是 cm. 24．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，．求： (1)与的相似比． (2)BD的长． 易错题型九、利用相似求坐标 25．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A． ①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 26．（24-25九年级上·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 27．（2025·上海松江·模拟预测）（1）尺规作图：如图，、是平面上两个定点，在平面上找一点，使构成等腰直角三角形，且为直角顶点.（画出一个点即可） （2）在（1）的条件下，若，，则点的坐标是________. 易错题型十、重心的有关性质 28．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 29．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若的面积是2．则四边形的面积是 ． 30．（2025·上海金山·模拟预测）如图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)在图①中，作出△ABC的重心O． (2)在图②中，在△ABC的边AC上找一点P，连接BP，使△ABP的面积为△ABC面积的． 易错题型十一、实数与向量相乘 31．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．与方向相反 D． 32．（24-25九年级上·上海崇明·期中）已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ． 33．（2025·上海闵行·一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC,；(2)求作向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 易错题型十二、向量的线性运算 34．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，设， ，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 35．（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 36．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，已知在梯形中，，点在边上，联结，． (1)填空：______；______； (2)化简并求作：______．（不要求写作法，但要写出结论） 易错题型十三、正弦的概念 37．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 38．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ． 39．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 易错题型十四、余弦的概念 40．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 42．（24-25九年级上·上海普陀·月考）如图1，正方形ABCD边长为10，P为边AD上一点，点B与点E关于直线CP对称，直线CP与ED交于点F，连接CE，BF． （1）求证：△CDE是等腰三角形； （2）求∠BFC的度数； （3）如图2，若点P为AD中点，求EF的长． 易错题型十五、正切的概念 43．（24-25九年级上·上海·月考）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 44．（2025·上海杨浦·模拟预测）坡比是1：，坡角为α，则∠α＝ ． 45．（2025·上海松江·一模）如图，射线OA放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B，并连接OB、AB使△AOB为直角三角形，并且 （1）使tan∠AOB的值为1； （2）使tan∠AOB的值为． 易错题型十六、求角的正弦、余弦、正切值 46．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，．求的值． 47．（24-25九年级上·上海静安·月考）已知在中，，，，求的正切值． 48．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，a、b、c分别为的对边，且．试求最小角的三角函数值． 易错题型十七、已知正弦、余弦、正切值求边长 49．（24-25九年级上·上海徐汇·月考）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 50．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 51．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）某数学兴趣小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过两栋建筑物的顶部和．示意图中点，，，，，，均在同一平面内，点在上，．测得．．请求出建筑物的高度． 易错题型十八、特殊角三角函数值的混合运算 52．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）计算（   ） A． B．2 C． D． 53．（24-25九年级上·上海嘉定·月考） 54．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）计算： (1)； (2)． 易错题型十九、已知角度比较三角函数值的大小 55．（24-25九年级上·上海闵行·单元测试）若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 56．（24-25九年级上·上海静安·月考）比较大小（用连接），，，，则 ． 57．（24-25九年级上·上海闵行·单元测试）已知：如图，，、是上的两点，． （1）求证：； （2）锐角的正切函数值随角度的增大而________． 易错题型二十、解直角三角形的相关计算 58．（2025·上海宝山·一模）春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（   ） A．丈 B．丈 C．丈 D．丈 59．（24-25九年级上·上海松江·月考）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 60．（24-25九年级·上海闵行·期中）如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 易错题型二十一、根据二次函数的定义求参数 61．（24-25九年级上·上海杨浦·月考）当函数是二次函数时，a的取值为（    ） A． B． C． D． 62．（25-26九年级上·上海闵行·期中）若函数是关于的二次函数，则的值是 ． 63．（25-26九年级上·上海松江·月考）关于的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 易错题型二十二、二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 64．（25-26九年级上·上海嘉定·月考）设直线是函数（，，是实数，且）的图像的对称轴（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 65．（25-26九年级上·上海闵行·月考）已知二次函数中，若，则的取值范围是 ． 66．（25-26九年级上·上海松江·月考）已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 易错题型二十三、二次函数与方程及不等式 67．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 68．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，根据图中信息解答下列问题：    (1)直接写出关于的不等式的解集； (2)当时，直接写出的取值范围． 69．（25-26九年级上·上海普陀·期中）画出二次函数的图象并利用图象回答： (1)方程的根是________________； (2)函数值大于0时，x的取值范围是________________． 易错题型二十四、已知二次函数的函数值求自变量的值 70．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 71．（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是 ． 72．（24-25九年级上·上海静安·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 压轴题型一、黄金分割压轴题型 1．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 2．（24-25九年级上·上海闵行·单元测试）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？(精确到1 cm) (参考数据：黄金分割比为，≈2.236) 3．（24-25九年级上·上海闵行·单元测试）折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点： 第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF. 第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD） 4．（2025九年级上·上海·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 5．（2025九年级上·上海闵行·专题练习）如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 压轴题型二、相似三角形的经典模型问题 6．（25-26九年级上·上海崇明·月考）如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积． 7．（24-25九年级上·上海松江·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 8．（2025·上海静安·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 9．（24-25九年级上·上海崇明·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 10．（2025·上海松江·模拟预测）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】 设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 同理可得， ∴，即 ① ， ∴ ② ， ∴， ∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)； (2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 压轴题型三、相似三角形的动点问题 11．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，在等边三角形中，点P是边上一动点（P点不与端点重合），作，交边于点E，交边于点D． (1)写出一对相似三角形，并说明理由； (2)若，求的长． 12．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 13．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，动点Q从B点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动．设点Q，P移动的时间为t秒，且． (1) ， ，   (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，与相似? 14．（25-26九年级上·上海金山·月考）综合与探究： (1)问题情景：如图1，，连接交于点O，，，，则________． (2)拓展延伸：如图2，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿射线运动，动点Q从点D出发，在线段上运动，连接，交于点M，交于点N．当时，求线段的长． (3)延伸探究：在（2）的条件下，P，Q在运动的过程中始终保持，此时是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 15．（24-25九年级上·上海奉贤·期末）已知：如图，C为线段上一动点，过点C作，截取，过点A、B分别作的垂线，分别在两垂线上截取，连接． (1)问题发现： ①当点C与点A重合时，的度数为 ，的度数为 ． ②当点C与中点重合时，与数量关系为 ． (2)猜想证明： 若点C位于线段上一位置时，猜想与数量关系，并给予证明． (3)拓展探究： 请直接写出三角之间的数量关系．（用一个等式表示） 压轴题型四、相似三角形的判定与性质综合应用 16．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 17．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 18．（24-25九年级·上海静安·月考）（1）操作：如图，点为线段的中点，直线与相交于点，请利用图画出一对以点为对称中心的全等三角形，（不写画法）. 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动： （2）探究一：如图，在四边形中，为边的中点，与的延长线相交于点，试探究线段与，之间的等量关系，并证明你的结论. （3）探究二，如图，相交于点，交于点，且，若，求的长度. 19．（25-26九年级上·上海宝山·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 20．（24-25九年级上·上海虹口·期中）定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”． （1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______． （2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长． （3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长． 压轴题型五、三角函数综合 21．（2025九年级·上海闵行·专题练习）如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求． 22．（24-25九年级上·上海松江·月考）如图所示，，上有一点，，， (1)用含的表达式表示出AC的长度 (2)用含的表达式表示出点D到AC的距离 23．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，过点作，分别交、于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形： （2）设，，，求的长． 24．（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图1，直线y＝x和直线y＝﹣x+5相交于点A，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y＝x于点Q． （1）点A的坐标为　 　； （2）当QP＝OA时，求Q点的坐标及△APQ的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M． ①直接写出点M的坐标　 　； ②点N在直线y＝x的上方，当OQN和OQM全等时直接写出N点坐标　 　． 25．（25-26九年级上·上海长宁·月考）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 压轴题型六、二次函数的平移问题 26．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值． 27．（25-26九年级上·上海杨浦·月考）如图，直线与抛物线相交于点A和点B．将抛物线向上平移2个单位长度后的图象与y轴交于点C． (1)求点A、点B的坐标并写出抛物线平移后的表达式； (2)求的面积． 28．（25-26九年级上·上海宝山·月考）如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴和的最大值，并求的值． (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及拋物线的一段、分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 29．（2025九年级上·上海·专题练习）一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，图象对应的函数表达式为_________． 30．（25-26九年级上·上海松江·月考）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围； (3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值． 压轴题型七、二次函数的最值问题 31．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知关于的二次函数图象经过． (1)求的值； (2)设抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，点是直线上的动点，求的最小值． 32．（25-26九年级上·上海虹口·月考）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求函数的最小值． 33．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 34．（25-26九年级上·上海虹口·期中）已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，请直接写出的取值范围． 35．（25-26九年级上·上海青浦·月考）如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点和点，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差； (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点．当线段的长随的增大而增大时，请求出的取值范围． 压轴题型八、二次函数与几何问题 36．（25-26九年级上·上海松江·月考）已知二次函数的图像经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点P，使的面积为3，求P点坐标 37．（25-26九年级上·上海金山·月考）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为_____． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求的最大值，并直接写出此时的面积． 38．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 39．（2025九年级上·上海虹口·专题练习）如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为轴上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 40．（24-25九年级上·上海长宁·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 压轴题型九、解直角三角形的应用 41．（25-26九年级上·上海普陀·月考）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点，在处测得大树底端的仰角，沿水平地面前进30米到达处，测得大树顶端的仰角，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．求这棵大树的高度．（结果取整数．参考数据：） 42．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）倡导“低碳环保”、让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图①所示．图②是该自行车的车架示意图，已知立管，上管，且它们互相垂直．座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，． (1)填空：下管的长为__________cm； (2)已知座管伸长到，求座垫到后下叉的距离．（结果精确到，参考数据，，） 43．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 44．（25-26九年级上·上海闵行·月考）将一款台灯放置在水平桌面上，其平面示意图如图1、图2所示，台灯支架可绕点A，B，C转动，底座与桌面垂直，，支撑杆． (1)如图1，当，且点A，C，D在一条直线上，求点到桌面的距离； (2)如图2，在转动台灯的支撑杆的过程中，当点A，B，C在一条直线上，且时，求点到桌面的距离． （参考数据：取，取，取，取1.7，计算结果精确到） 45．（25-26九年级上·上海静安·月考）【阅读理解】如图1，在中，、、所对的边分别为、、，可以得到：． 【证明】：过点作，垂足为．在中，， ∴， ∴， 同理， ∴； 【学以致用】 (1)如图2，在中，，，，求的长． (2)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择、、三个测量点，在点测得在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶到达点，测得在北偏西方向上，根据以上信息，求、、三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：，，，结果取整数） 压轴题型十、二次函数的实际综合应用 46．（25-26九年级上·上海宝山·月考）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于32元． (1)设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 47．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图，中，，P在边上，于D，点E在P的右侧． (1)若设为x，则的面积是多少． (2)若P是边上的动点，P从点A出发，沿方向运动，始终有，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积的最小值． 48．（25-26九年级上·上海虹口·月考）如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为1.5m的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为， (1)求的值； (2)若在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．求弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离的值； (3)在（2）的条件下，现在地上摆放一个底面直径为，高为的圆柱形水桶（水桶厚度不计），若要弹力球从处弹起后落入水桶内（落在边缘算作进桶），请直接写出水桶底面最左端与原点距离的取值范围是_____． 49．（25-26九年级上·上海松江·月考）回民区秋实学校为举办校园文化节，计划在操场入口处搭建一个装饰性拱门．拱门形状为抛物线形，底部宽度为8米，最高点距地面6米．为稳固结构，需要在拱门内侧安装两条对称的支撑杆，支撑点位于距离拱门中心线2米处．同时，要在拱门顶部下方悬挂一幅文化节徽标，徽标中心距离地面5米． 已知条件 1．以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点在y轴上． 2．支撑杆与地面垂直，上端固定在拱门内侧，下端固定在地面． 3．徽标中心位于拱门中垂线上． 问题 (1)根据以上条件，求拱门抛物线的函数解析式． (2)计算支撑杆的长度 (3)学校宣传部要求徽标中心到拱门顶部的距离为1米，徽标为圆形，直径为米．判断当徽标悬挂后，其最高点是否会被拱门遮挡？请通过计算说明． (4)由于场地调整，拱门底部宽度需改为10米，但保持最高点高度不变．此时拱门的最大水平跨度（即拱门底部宽度）增加了多少百分比？新拱门的函数解析式是什么？ 50．（25-26九年级上·上海虹口·月考）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置．点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由．      $