精品解析：广东省汕头市潮南区司马浦镇2025-2026学年九年级上学期期末统考数学试卷

2025-2026学年度第一学期 九年级期终考试数学试卷C． 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程解是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（　　） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（　　） A. 6 B. C. D. 4. 如图，是半圆的直径，，是弧上两点，连接，并延长交于点，连接，．如果，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则值为（　　） A. B. C. 8 D. 58 6. 如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（　　） A. 4 B. C. D. 8. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ） A. a＞0 B. a＋b＝3 C. 抛物线经过点（－1，0） D. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 9. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的图象的对称轴是___________· 12. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为______． 13. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为_____________． 14. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，若点B的对应点恰好落在线段上，则点C的运动路径长是___________ 15. 如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点，与轴交于点，点的坐标为，点是直角坐标系平面内一动点，且，则的最大值为___________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分）（第15题） 16. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题； （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）分别写出点两点的坐标； 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 18. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率． 19. 如图，线段与圆O相切于点B，交圆O于点M，其延长线交圆O于点C，连接，，D为圆O上一点，且的中点为M，连接. （1）求的度数； （2）四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； 20. 用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示． （1）若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值； （2）设矩形菜园的面积为平方米， ①列出与的函数关系式； ②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 21. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C． （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线BC函数关系式； （3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标． 23. 如图，已知半径为5的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分， （1）判断与轴位置关系，并说明理由； （2）求的长； （3）连接并延长交圆于点，连接，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 九年级期终考试数学试卷C． 说明：1、本卷满分120分；2、考试时间120分钟；3、答案请写在答题卷上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即 ， ． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ， ∴点在第四象限． 故选：D． 3. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，已知概率求数量，掌握相关知识是解决问题的关键．根据频率稳定估计概率，计算白球的概率后乘以总球数． 【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在，黑色球的频率稳定在， ∴摸到白色球的频率为， ∴白色球的个数为 故选：C． 4. 如图，是半圆的直径，，是弧上两点，连接，并延长交于点，连接，．如果，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据三角形的内角和定理可得，根据圆周角定理可得，，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：C． 5. 已知，则值为（　　） A. B. C. 8 D. 58 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，由已知方程变形得出，再将所求表达式提取公因式后代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． ∴ ． 故选：B． 6. 如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可． 【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a， ∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2， ∴阴影部分的面积为， ∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是． 故选：B 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之． 7. 圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】如图（一）， ∵圆内接正六边形边长为2， ∴，， ∵， ∴可得是等边三角形，圆的半径为2， 如图（二）， 连接，过O作于D， 则根据内接正三角形的性质，可得， 即， 故． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键． 8. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ） A. a＞0 B a＋b＝3 C. 抛物线经过点（－1，0） D. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，该说法正确，故该选项不符合题意； B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，该说法正确，故该选项不符合题意； C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意； D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键． 9. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，根据平行线的判定可对①进行判断；由绕点B逆时针旋转得到，那么，，根据等边三角形的判定方法得到为等边三角形，可对③进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，可对②进行判断；最后利用，和三角形周长定义,可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴，①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形，③正确， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，②错误； ∵，， ∴的周长，④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握并运用旋转的性质是关键． 10. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的图象的对称轴是___________· 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数对称轴公式直接求解即可． 【详解】解：对于二次函数 ， 对称轴方程为 ， 本题中 ，， 代入得 ， 故答案为 ． 12. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵1到9的自然数中偶数有2，4，6，8一共4个， ∴从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． 13. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为_____________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根以及解一元二次方程，把代入，进而即可求解 详解】解：将代入得： ， 解得： 或． 14. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，若点B的对应点恰好落在线段上，则点C的运动路径长是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到点C的运动路径是圆弧的长度，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：以为圆心作圆弧，如图所示， 在中，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， 点的运动路径长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是明确点的运动轨迹． 15. 如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点，与轴交于点，点的坐标为，点是直角坐标系平面内一动点，且，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质及应用，勾股定理的应用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．根据点的位置，需分情况讨论，再根据垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到答案． 【详解】解：由题意需分情况讨论： 如图， 过点作于点，以为边在上方作等边，以点为圆心，的长为半径作，连接并延长交于点， 为等边三角形， ， 当点在上时，， 点在上运动，当点运动到点时，取最大值， 最大值即是的长度． 经过平面直角坐标系原点，与轴交于点， 点在的垂直平分线上． 点的坐标为，， ． 半径为1， 所以，． 是等边三角形， ， 点在的垂直平分线上， 点，，，共线， ， ． ， ； 如图，过点作于点，以为边在下方作等边，以点为圆心，的长为半径作，连接并延长交于点， 同理可知，此时点在上运动，当点运动到点时，取最大值， 最大值即是的长度． 同理可得，，，， ， ， 即最大值为． 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分）（第15题） 16. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【解析】 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题； （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）分别写出点两点的坐标； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、点B和点C关于原点的对称点A1、B1、C1顺次连接各点即可得到图形； （2）直接根据图形写出点的坐标. 【详解】（1）作图如图1， （2）A1（1，0），B1（2，2）； 【点睛】本题主要考查了作图的知识，利用中心对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键. 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 18. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案； （2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件； 【小问2详解】 画树状图： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2， 所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率． 【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键． 19. 如图，线段与圆O相切于点B，交圆O于点M，其延长线交圆O于点C，连接，，D为圆O上一点，且的中点为M，连接. （1）求的度数； （2）四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； 【答案】（1） （2）是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，圆周角定理的推论， 对于（1），连接，根据切线性质得即可求出． 再根据“等边对等角”得出答案； 对于（2），先根据等弧所对的圆周角相等得，再根据等角对等边得，然后根据“弧，弦之间的关系”得，接下来根据“边角边”证明 ，最后根据“四边相等的四边形是菱形”得出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵线段与相切于点B， ∴且， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵的中点为M，， ∴，即，而， ∴， ∴． ∵的中点M，为直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是菱形． 20. 用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为米，设矩形菜园的一边长为米，如图所示． （1）若矩形菜园的面积为平方米，求此时的值； （2）设矩形菜园的面积为平方米， ①列出与的函数关系式； ②当为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）的值为 （2）当时，菜园面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，应注意配方法求最大值在实际中的应用． （1）设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米，根据矩形菜园的面积为平方米列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）①根据题意和（1）可得与的函数关系式； ②求出的取值范围，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设矩形菜园的一边长为米，则矩形菜园的另一边长为米， 由题意可得， 解得，， 当时，， 当时，， ∵墙长为米， ∴， 即的值为． 【小问2详解】 解：①由题意可得， 即与的函数关系式为：； ②∵墙长为米， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 即当时，菜园面积最大，最大面积是平方米． 21. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； 【小问2详解】 ； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C． （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线BC的函数关系式； （3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）A、B两点坐标为和 （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）令得解得方程的解即为A、B两点坐标； （2）令，解得抛物线与y轴交点C的坐标，设直线的函数关系式，解得k和b的值即可得出直线的函数关系式； （3）求得抛物线的对称轴，设对称轴与直线的交点记为D，求得D点坐标，设点P的坐标，表示出，再根据三角形的面积公式得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：当时， 则：， 解得或， 所以A、B两点坐标为和； 【小问2详解】 解：抛物线与y轴交点C坐标为， 由（1）得，， 设直线的函数关系式， ， 解得， ∴直线的函数关系式为； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为， 对称轴与直线的交点记为D，则D点坐标为， ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴设点P的坐标为， ， ， ， 或． ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键． 23. 如图，已知半径为5的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分， （1）判断与轴的位置关系，并说明理由； （2）求的长； （3）连接并延长交圆于点，连接，求点的坐标． 【答案】（1）与轴相切，理由见解析 （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先推出，得到轴，再推出，得到轴，即可说明； （2）过点作，交于点，证四边形是矩形，得，，设，则，， 利用勾股定理求出值，即可求得值，再由垂径定理得即可求解； （3）连接，，过点作于点，得直角，由（2）知：，，，所以，，在中，，由勾股定理，求得，在中，，由勾股定理，即可求得，在和在中，由勾股定理，求得，，从而得出点坐标． 【小问1详解】 解：与轴相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴轴， ∵是的半径，点在轴上， ∴与轴相切； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，交于点， 由（1）知，， ∵， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得，， 解得，，（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，，过点作于点， 由（2）知，，，， ∴，， 在中，， 由勾股定理得，， ∵是的直径， ∴，， 在中，， 由勾股定理得，， 即， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴，即点的横坐标为， ∵点在第四象限， ∴． 【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握直线与圆相切的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $