精品解析：广东省惠州市惠阳区第七中学附属小学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

惠阳区第七中学2025至2026学年第一学期 第三次拓展训练 九年级数学试卷 满分：120分  考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）． A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 9. 如图，正六边形内接于，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，结合图象分析如下结论：；当时，y随x的增大而增大；；．其中正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 12. 将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式是__________． 13. 有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是___． 14. 如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为_______． 15. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为2的正方形的顶点分别在半径、和弧上．则阴影部分的面积为__________． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 17. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，确定点的坐标为． （1）用树状图或列表法列举点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 18. 如图，是的弦，C是外一点，是的切线，交过C点的直径于点D，，试判断的形状，并说明你的理由． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为元． （1）请你写出销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式． （2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价应为多少元？ 20. 在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． （1）建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； （2）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 21. 如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 五、解答题（三）（第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 23. 综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况． 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【任务二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【任务三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳区第七中学2025至2026学年第一学期 第三次拓展训练 九年级数学试卷 满分：120分  考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断，即可求解．只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A. ，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D. ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A．选项图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，符合题意； D．选项图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据求概率的公式即可得到结果. 【详解】因为抽取1000个进行质量检验，结果发现有10个次品，所以从中抽取一个是次品的概率约为， 故选B. 【点睛】本题考查的是概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线方程为顶点形式，其中为顶点坐标，直接比较即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选D． 5. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染，根据经过两轮传染后有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染． 依题意得， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：． 故选：D． 7. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图所示，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则的周长为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，AC相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 故选：A． 9. 如图，正六边形内接于，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，结合图象分析如下结论：；当时，y随x的增大而增大；；．其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到，即可判断①；根据函数性质即可判断②；根据抛物线经过点和时，，得到，，即可判断③；根据图象对称轴为直线，可知，即可求得，根据二次函数的图象顶点坐标为，求得，得到，即可判断④． 【详解】解：①∵函数开口方向向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大；故②错误； ③∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴，， ∴，即；故③正确； ④∵图象对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．故④错误； 综上所述，正确的有①③共2个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故答案为：1． 12. 将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，得到； 再向下平移2个单位长度，得到． 故答案为：． 13. 有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2、3、4；2、3、7；2、4、7；3、4、7四种情况，而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况， ∴能组成三角形的概率是． 故答案为：． 14. 如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用垂径定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径，弦于点E， ∴， ∴， ∴的半径为； 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 15. 如图，扇形的圆心角为直角，边长为2的正方形的顶点分别在半径、和弧上．则阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和扇形面积的计算，根据正方形的性质得，，再根据割补法进行计算即可． 【详解】解：连接，则， ∵正方形边长为2， ∴，， ∴扇形的面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）移项后利用直接开平方法求解即可； （2）原方程利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：原方程即为， 两边开平方，得， 解得：，； 【小问2详解】 解：原方程可变形为， ∴或， 解得：，． 17. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，确定点的坐标为． （1）用树状图或列表法列举点所有可能的坐标； （2）求点在函数的图象上的概率． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法和画树状图是解答关键． （1）利用列表法列举点所有可能的坐标来求解； （2）根据（1）的统计情况，利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：列表如下： 共有9种等可能出现的结果：、、、、、、、、． 【小问2详解】 解：由（1）可知，满足点在函数的图象上的结果有和共2种， ∴点在函数的图象上的概率为． 18. 如图，是的弦，C是外一点，是的切线，交过C点的直径于点D，，试判断的形状，并说明你的理由． 【答案】△BCD为等腰三角形，理由如下： 连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定．连接，如图，根据切线的性质得，则，再由得，加上，所以，然后根据对顶角相等得到，于是有，最后根据等腰三角形的判定定理判断的形状． 【详解】解：略． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为元． （1）请你写出销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式． （2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价应为多少元？ 【答案】（1） （2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价应为50元或80元 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用： （1）根据销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件求出销售量即可； （2）根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 答：若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价应为50元或80元． 20. 在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． （1）建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； （2）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 【答案】（1） （2）通过隧道的车辆应限制高度为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，求得的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m． ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：依题意，当时，， ∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有． ∴通过隧道的车辆应限制高度为， 答：通过隧道的车辆应限制高度为 21. 如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）的半径为． 【解析】 【分析】此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义结合等边对等角求得，推出，据此即可证明结论成立； （2）作，设的半径为，证明四边形是矩形，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，垂足为， 设的半径为，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 五、解答题（三）（第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系： （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【答案】（），； （）解：（）中得到的结论仍然成立，在图中证明如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （）或． 【解析】 【分析】（）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （）（）中得到的结论仍然成立，同理（）证明即可求证； （）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解； 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （）略 （）当正方形绕点旋转到如图位置时， 连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 连接， 由（）（）可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 23. 综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况． 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【任务二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【任务三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点的坐标； （2）先根据抛物线确定点，再确定A，B的坐标，得到是等腰直角三角形，且，由对称的性质得，再根据等腰直角三角形的性质得到，进行计算求解即可； （3）设的坐标为，则，过点作轴的平行线，过点作于点，由，得，即，求解即可； 【详解】解：（1） 二次函数的图象过原点， ， 解得， 抛物线的解析式为，其顶点坐标为． （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， 令，得，解得， ， 直线与坐标轴交于两点， 当时，，当时，， ， 是等腰直角三角形，且， 是关于直线的一对对称点， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3） 点在抛物线上，点坐标为， 设的坐标为，则， 过点作轴的平行线，过点作于点，依题意有， ，即， 解得（舍去）， ， 幼苗叶片的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $