精品解析：湖南省邵阳市新邵县小塘镇联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025年八年级（上）第二次数学学情监测 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 以下列各组线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 4cm，5cm，9cm C. 3cm，4cm，5cm D. 3cm，5cm，10cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系进行计算即可． 【详解】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不合题意； B、4+5=9，不能组成三角形，故此选项不合题意； C、3+4＞5，能组成三角形，故此选项符合题意； D、3+5＜10，不能组成三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 5. 下列命题是真命题的有（ ） ①同一平面内，如果直线，，则； ②三角形的任意两边之和大于第三边； ③全等三角形对应边上的高相等； ④面积相等的两三角形全等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的判断，熟练掌握平行与垂直的性质，三角形三边关系，全等三角形的性质是解题的关键． 逐一判断命题真假：①利用平行与垂直的性质；②三角形三边关系；③全等三角形的性质；④通过反例说明． 【详解】①∵ ， ， ∴， 故错误，为假命题； ②三角形的任意两边之和大于第三边，正确，为真命题； ③全等三角形对应边上的高相等，正确，为真命题； ④面积相等的两三角形不一定全等（如底为4高为3与底为6高为2的三角形面积均为6但不全等），故为假命题； 综上，真命题有2个， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的除法运算，化为最简二次根式，再逐一分析各选项即可，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 【详解】解：，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是令最简公分母为0，求出增根． 首先分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，确定x的值，把x的值代入整式方程计算即可． 【详解】 整理得：， 去分母，得：， 即， 原分式方程有增根， ，即， 当时，， ， 故选：A 8. 如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可． 【详解】解：∵∠B=67°，∠C=33°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80° ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD=∠BAC=×80°=40° 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 9. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项计算即可判断求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、原变形错误，该项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原式 原变形正确，该选项符合题意； 故选：． 10. 设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出和的值，将值代入即可求出答案. 本题考查了无理数整数部分的有关计算、代数式求值，二次根式的运算以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式. 【详解】解：， . 的整数部分为，小整数部分为 ，. . 故答案为：A . 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知多项式x2﹣mx+25是完全平方式，则m的值为_____． 【答案】±10． 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵多项式x2﹣mx+25是完全平方式，x2﹣mx+25＝x2﹣mx+52， ∴﹣mx＝±2x•5， ∴m＝±10． 故答案为：±10． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， ∴且， 故答案为：且 14. 若最简二次根式利是同类二次根式，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． ∴ 故答案为：2． 15. 如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，若要使，需要添加的一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理解答，即可． 【详解】解：根据题意得：，， 添加，可利用角边角证明． 故答案为：（答案不唯一） 16. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝8，则△ABC的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据a，b，c的值求得p＝，然后将其代入三角形的面积S＝求值即可． 【详解】解：由a＝5，b＝7，c＝8， 得p＝＝． 所以三角形的面积S＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 17. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 18. 已知，，，，，即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的规律性问题．根据定义求出至，可得每6个一循环，结合，即可解答． 根据序列定义计算前若干项发现序列每6项循环一次利用周期性质求 【详解】解：， ， ， ， ， ……， 由此发现，每6个循环一次， ∵， ∴． 故答案为： 三、解答题（19、20题每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共计66分，解答题要有必要的文字说明） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查实数的混合运算，先计算负整数指数幂、零次幂、化简绝对值，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 【详解】解： 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解，即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值及二次根式的混合运算，分母有理化，解题的关键是熟练掌握实数和分式的混合运算顺序和运算法则． 先把括号里面的进行通分，再算除法化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 22. 如图，点、在上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．先利用线段的和差得出，再利用“边角边”判定定理证明，即可证明． 【详解】略 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等，A、B两种型号充电桩的单价各是多少？ 【答案】A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确列出分式方程是解题的关键． 设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，然后求解作答即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元． 24. 如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①，②，③，④．请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：______，结论：______；（填序号） （2）写出你的证明过程． 【答案】（1）②④，①．（答案不唯一） （2） 证明：∵，点E、F分别为OB、OD的中点， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质与判定组成真命题即可； （2）根据全等三角形的判定证明（1）中的命题即可． 【小问1详解】 ②④，①．（答案不唯一） 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，命题，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； 利用发现的规律解决下列问题： （1）化简式子：______； （2）直接写出式子的值：______； （3）计算：（为正整数）． 【答案】（1） （2）2024 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 故答案为：； 【小问2详解】 ． 故答案为：2024， 【小问3详解】 依题意， ． 26. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】 （1）证明：如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）证明：如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年八年级（上）第二次数学学情监测 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在代数式，，，，中，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm B. 4cm，5cm，9cm C. 3cm，4cm，5cm D. 3cm，5cm，10cm 5. 下列命题是真命题的有（ ） ①同一平面内，如果直线，，则； ②三角形的任意两边之和大于第三边； ③全等三角形对应边上的高相等； ④面积相等的两三角形全等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 9. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为____________． 12. 已知多项式x2﹣mx+25是完全平方式，则m的值为_____． 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 14. 若最简二次根式利是同类二次根式，则____________． 15. 如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，若要使，需要添加的一个条件是______． 16. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝8，则△ABC的面积为____． 17. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 18. 已知，，，，，即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，则______． 三、解答题（19、20题每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共计66分，解答题要有必要的文字说明） 19. 计算： 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，点、在上，，，．求证：． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等，A、B两种型号充电桩的单价各是多少？ 24. 如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①，②，③，④．请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明． （1）条件：______，结论：______；（填序号） （2）写出你的证明过程． 25. 观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； 利用发现的规律解决下列问题： （1）化简式子：______； （2）直接写出式子的值：______； （3）计算：（为正整数）． 26. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $