精品解析：湖南省长沙市浏阳市青草初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年下学期九年级第三阶段质量检测（数学） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的两根，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. y＝2x2+3 B. y＝2x2﹣3 C. y＝2(x+3)2 D. y＝2(x﹣3)2 4. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）. A. B. C. D. 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 8. 已知电流在一定时间段内正常通过某一个电子元件的概率是，则在如图所示的电路中，在一定时间段内，之间电流能够正常通过的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，与的两边分别相切，其中OA边与相切于点P．若，，则OC的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10. 将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A. ﹣或﹣12 B. ﹣或2 C. ﹣12或2 D. ﹣或﹣12 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是______． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 13. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 14. 如图，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要___________． 15. 如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，______． 16. 如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、.给出下列结论： ①；②；③；④不等式的解集是或. 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是_____． 19. 如图，已知一次函数与反比例函数与的图像交于，两点，与轴交于点，且点的横坐标是，点的横坐标是． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； 20. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 21. 作为湖南省最具有影响力的足球赛事，2025年“湘超”联赛激战正酣．为普及本土足球文化，某中学对全校学生关于“湘超”联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为_____； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； （4）在这次调查中，九年级（1）班共有4名学生对“湘超”联赛非常了解，4名学生中有2名男生和2名女生，班主任决定从这4名学生中随机选出2名学生参加学校的足球分享活动，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若∠BAC＝30°，OA＝4，求阴影部分的面积．（结果保留根号及π） 23. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元． 销售单价（元） 销售量（袋） （1）请直接写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？ （3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． （1）如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； （3）已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 25. 综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线和直线的函数解析式． （2）是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级第三阶段质量检测（数学） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 若是一元二次方程的两根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解． 【详解】解：是一元一次方程的两根， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 3. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. y＝2x2+3 B. y＝2x2﹣3 C. y＝2(x+3)2 D. y＝2(x﹣3)2 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案. 【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律. 4. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用待定系数法确定反比例函数的解析式，再验证选项中的点是否满足解析式即可，若满足函数解析式，则在函数图像上. 【详解】解：将点代入， ∴， ∴， ∴点在函数图象上， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式的求法及根据解析式确定点在函数图形上，会求反比例函数的解析式是解题的关键. 5. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是掌握垂径定理．由垂径定理可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 水位高为， 故选：B． 6. 如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 为的直径， ， ． 故选：C． 7. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 8. 已知电流在一定时间段内正常通过某一个电子元件的概率是，则在如图所示的电路中，在一定时间段内，之间电流能够正常通过的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率．如图所示的电路为并联电路，两个电子元件至少有一个正常工作，则电流就能通过．解题的关键是掌握：树状图法适合于两步或两步以上完成的事件、概率计算的公式为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是， 则该电子元件不正常工作的概率为， 画树状图如下： 共有种等可能性，之间电流能够正常通过的有种情况， ∴之间电流能够正常通过的概率是． 故选：D． 9. 如图，与的两边分别相切，其中OA边与相切于点P．若，，则OC的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接CP， ∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点， ∴∠CPO=90°，∠COP=45°， ∴∠PCO=∠COP=45°， ∴CP=OP=4， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键． 10. 将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A. ﹣或﹣12 B. ﹣或2 C. ﹣12或2 D. ﹣或﹣12 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解． 【详解】如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点， 令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0）， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0， △＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12， 综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣； 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）；P（不可能事件）是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键． 13. 圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的底面周长、母线长和侧面积的计算，熟练掌握相关公式是解题的关键．先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 底面半径为，高为，则底面周长等于， 由勾股定理得，母线长， 那么侧面面积， 故答案为：． 14. 如图，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正多边形的内角与外角、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 设正六边形的相邻四个顶点为、、、，延长、交于点，由，，得，而，所以，，则是等边三角形，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设正六边形的相邻四个顶点为、、、，延长、交于点， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ，即至少要， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，______． 【答案】4 【解析】 【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4 【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键． 16. 如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、.给出下列结论： ①；②；③；④不等式的解集是或. 其中正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【详解】分析：根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得到-2m=n故②正确；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y=-mx-m，求得P（-1，0），Q（0，-m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确． 详解：由图象知，k1＜0，k2＜0， ∴k1k2＞0，故①错误； 把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得-2m=n， ∴m+n=0，故②正确； 把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得 ， ∴, ∵-2m=n， ∴y=-mx-m， ∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点， ∴P（-1，0），Q（0，-m）， ∴OP=1，OQ=m， ∴S△AOP=m，S△BOQ=m， ∴S△AOP=S△BOQ；故③正确； 由图象知不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确； 故答案为②③④． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用公式法解一元二次方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是_____． 【答案】（1） 解：如图，即为所求 （2） 解：如图，即为所求，. 故答案为：. 【解析】 【分析】本题考查了作图----旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答的关键. （1）根据中心对称的性质作出各顶点关于原点的中心对称点，顺次连接各顶点即可求解； （2）根据旋转的性质作出各顶点顺时针旋转后各对应点，顺次连接各顶点即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，已知一次函数与反比例函数与的图像交于，两点，与轴交于点，且点的横坐标是，点的横坐标是． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依据点的横坐标是，点的横坐标是，代入一次函数，即可得到，，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式即可得到答案； （2）求出直线与轴的交点的坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标是，点的横坐标是，一次函数， ∴当时，，即；当时，，即， ∵一次函数与反比例函数与的图像交于，两点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 一次函数， 当时，，解得， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求反比例函数的解析式、平面直角坐标系中求三角形的面积等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数综合题型及相应解法是解此题的关键． 20. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 21. 作为湖南省最具有影响力的足球赛事，2025年“湘超”联赛激战正酣．为普及本土足球文化，某中学对全校学生关于“湘超”联赛的了解程度进行了一次抽样调查，将调查结果划分为4个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为_____； （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； （4）在这次调查中，九年级（1）班共有4名学生对“湘超”联赛非常了解，4名学生中有2名男生和2名女生，班主任决定从这4名学生中随机选出2名学生参加学校的足球分享活动，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 【答案】（1）50 （2） 补全条形统计图如图 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查条形图与扇形统计图，圆心角，画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）用A的人数除以A的百分比，即可解答； （2）求出C的人数，即可补全条形图； （3）求出C所占总数的百分比，再乘以即可； （4）画出树状图，得到共有12种等可能性结果，其中一男一女的情况有8种，即可解答． 【小问1详解】 解：（人）． 故答案为：50． 【小问2详解】 （人）， ∴等级C有8人； 【小问3详解】 ． 答：扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角为． 【小问4详解】 画树状图，如图 共有12种等可能结果，其中一男一女的情况有8种， ∴所选2名学生恰好是1男1女的概率为． 22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若∠BAC＝30°，OA＝4，求阴影部分的面积．（结果保留根号及π） 【答案】（1） 证明：连接， 平分， ， 又， ， ， ， 又， ， 是半径， 是圆的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，推出，，求出，得出，推出，根据切线的判定判断即可； （2）由直角三角的性质求出，，由扇形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质、直角三角形的边角关系，扇形的面积，掌握直角三角形的边角关系以及切线的判定、等腰三角形的性质是解题的关键． 23. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元． 销售单价（元） 销售量（袋） （1）请直接写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？ （3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120分别代入求出k、b的值即可得； （2）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出方程进行求解即可得； （3）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出函数关系式，然后利用二次函数的性质进行解答即可得． 【详解】解：（1）设y=kx+b，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入， 得， 解得， 则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560； （2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160， 整理，得x2﹣10x+24=0， 解得x1=4，x2=6， ∵3.5≤x≤5.5， ∴x=4， 答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元； （3）由题意得：w=（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80 =﹣80x2+800x﹣1760 =﹣80（x﹣5）2+240， ∵3.5≤x≤5.5， ∴当x=5时，w有最大值为240， 故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键． 24. 定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． （1）如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； （2）如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； （3）已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】（1） 证明：根据题意，得，，， ∴四边形是矩形， ∵， 根据垂径定理，得 ∴四边形是正方形． （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，设，交点为G， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，是的等垂弦． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，，，得证四边形是矩形，结合，根据垂径定理，得证明四边形是正方形． （2）证明，得出；连接，设，交点为G，证明，得出，是的等垂弦． （3）分两种情况：当等垂点P位于圆内，当等垂点P位于圆外时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 25. 综合与探究 如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线和直线的函数解析式． （2）是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点的坐标． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）；的最大值为 （3）或 或或 或 【解析】 【分析】（1）根据两点、的坐标解出二次函数的解析式，根据、两点的坐标解出直线的 解析式； （2）建立二次函数的关系式，求出面积的最大值及此时点D的坐标 （3）分三种情况讨论即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ， ， ， 设直线的解析式为， 把 代入得， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图， 过点 作 于点 交 于点， 设， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ， ； 【小问3详解】 解：二次函数的对称轴为：，设点的坐标为， ①当为等腰三角形的底边时，中点的坐标为 作直线且过，设的直线方程为 ， ，解得 方程为 令， ， ； ②当为等腰三角形的腰，为顶角时， ， 解得或， 或； ③当为等腰三角形的腰，为顶角时， ， 解得或， 或， 综上所述，点的坐标为或 或或 或． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与三角形的综合应用，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $