精品解析：江西省吉安市吉安市十一校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上． 一.选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴ ，，， ∴ 一次项系数为， 故选：C． 2. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是正确理解左视图．注意看不见的线用虚线表示. 根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看是矩形，两条看不见的线把矩形分成三个相邻的矩形． 故选：D． 3. 如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，E为上一点，与相交于点F，且，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴； 故选D． 5. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 对于关于x的一元二次方程， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 6. 如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先求出和的值，再代入表达式计算 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即． 由根与系数的关系，得． ∴． 故答案为0． 8. 学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，小道的宽为， ∴除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形， 由题意可得：， 化为一般式为：， 故答案为：． 9. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，把代入计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过计算前几个函数值，发现序列呈现周期性循环，周期为3，再根据2025除以3的余数确定对应循环中的值． 本题考查了反比例函数中坐标规律问题，根据解析式确定规律是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得 ， 将代入， 得 将代入， 得， 将代入， 得， 以此类推，序列为，，，，，，……，周期为3 ， 由于 余 0， 故 ， 故答案为：． 11. 如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，掌握知识点是解题的关键． 明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2． 【详解】解：如图所示，连接，，在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ，当、、三点同一直线上时，取得最小值， 最小值为：． 故答案为：2． 12. 如图，点E是矩形的对角线上的动点，过点E作于点F，已知，若上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则的长为_________． 【答案】3或1或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、，、，三种情况，分别根据题意作出图形，利用等腰三角形的定义、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：由题意可知，需分三种情况讨论∶ ①如图（1），当、时， 此时点G与点B重合， 即； ②如图(2)，当，时， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． ③如图（3），当时，过点G作于点H，则四边形是矩形， ∵，， ∴ ∴四边形是正方形， ∴．，即，． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 综上，的长为3或1或． 三.解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13. （1）解方程： （2）已知：，且，求，，的值． 【答案】（1），；（2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程、比例的性质，熟练掌握因式分解法解一元二次方程、比例的性质是解决本题的关键． （1）利用提公因式法解一元二次方程即可； （2）根据比例的性质，求得a、b与c，进而解决此题． 【详解】解：（1）， ， ， ，； （2） ， 设，，， ， ， 解得， ，，． 14. 如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求： （1）小明的影长 （2）旗杆高度． 【答案】（1） （2）旗杆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵此时测得高的杆在地上的影长为． ∴小明的影长为； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴米， 即旗杆的高度为米． 15. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张大小、质地完全相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小西任意抽取一张卡片，他诵读材料A：《论语》的概率是________； （2）小明和小亮参加“经典诵读”比赛活动，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮诵读的材料不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，列举法求概率是解题的关键． （1）利用概率公式计算求解即可； （2）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，小西任意抽取一张卡片的结果有A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》，共3种等可能性结果， ∴小西诵读《论语》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料有6种等可能的结果， ∵， ∴小明和小亮诵读两个不同材料的概率为． 16. 如图，是的中线，四边形为平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作的中线： （2）若，请在图2中作一个菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，与交于点M，因为四边形为平行四边形，则是的中点，连接，故是的中线，即可作答． （2）连接，与交于点P，因为四边形为平行四边形，则P是的中点，连接，故是的中线，即与的交点记为，根据三角形的中线交于一点，则连接并延长与的交点记为，即是的中线，故，结合等腰三角形的三线合一得，运用斜边上的中线等于斜边的一半得，故，此时四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 解：如图1所示，即为所求 【小问2详解】 解：如图2所示，四边形即为所求（答案不唯一） 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围即可； （2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，即， ∴或， ∵； ∴． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”“甜瓜采摘基地”“水上童话梦工厂”“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收入从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率； （2）该村还积极创新农业发展模式．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬，2025年五月份，甜瓜成熟，大棚基地开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证甜瓜每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为 （2）每千克甜瓜应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， 根据题意，得， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克甜瓜应涨价y元， 根据题意，得， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． （1）求的值和反比例函数解析式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集______； （3）若点是轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1）1， （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先求出，得到反比例函数的解析式为，再将代入反比例函数的解析式可得，解得，即可解答； （2）由（1）可得，再结合函数图象即可得解； （3）先求出一次函数的解析式为，得到故，即， 由，得到，即，求出，即可解答． 小问1详解】 解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得， 解得； 的值为1． 【小问2详解】 ∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴当或时，． 故答案为：或． 【小问3详解】 一次函数经过点， ， ， 一次函数的解析式为， 当时，， 故，即， 又，， ； ，即， ． 点在轴上， 点的坐标为或． 20. 如图，中，点，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为16，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先三角形中位线证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接交于点，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，求得菱形的对角线的长，后利用菱形的性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了三角形中位线，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：，分别是，的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， 即菱形的周长为． 五.解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 【答案】（1）六 （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“六倍根方程”； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 当点P在的内部时，则 由条件可知． 22. （1）如图（1），正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，重叠部分为四边形，证______；______（填“”“”或“”）． （2）如图（2），在中，，，点为边的中点，点为边上任意一点，连接，过点作交边于点．求证：． （3）如图（3），在（2）的条件下，将沿折叠，得到，连接． ①______； ②若，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①90；② 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、矩形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、折叠的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、折叠的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，，然后可得，进而根据等积法可进行求解； （2）方法一：连接．由题意易得，，，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解； 方法二：连接，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，由题意易得，四边形是矩形，然后可得四边形是正方形，进而问题可求解； （3）①由折叠的性质，得，，，则有，然后可得，进而问题可求解； ②方法一：由折叠的性质，得，，则有，连接，由（2）可知，，然后根据等积法可进行求解； 方法二：过点作的垂线，与过点作的垂线交于点，则四边形是矩形，连接，由折叠的性质，得，，则有，设，交于点，由①知，，进而问题可求解． 【详解】解：（1），是正方形的对角线， ，，， ． 又在正方形中，， ， ∴， ，， ； 故答案为，； （2）证法一：如图（1），连接． ，，点为边的中点， ，，． 又， ， ， ， ． 证法二：如图（2），连接． ，点为边的中点， ． 过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，则四边形是矩形． ，， ． 同理，， ， ， 四边形是正方形， ，，． 又， ， ， ． 又， ． （3）①点为边的中点， ． 由折叠的性质，得，，， ． ， ， ． 又， ， ， ； 故答案为90． ②方法一：点为边的中点， ． 由折叠的性质，得，， ． ， ， ． ， ． 如图（3），连接，由（2）可知，， ， ， ； 方法二：如图（4），过点作的垂线，与过点作的垂线交于点，则四边形是矩形． 又，四边形是正方形． 连接， 点是边中点， 点是正方形的对角线的交点． 又， 同理（1）得，，． 由折叠的性质，得，． ， ． ， ， ． 又， ， ． 设，交于点，由①知，， ． 又， ， ． 六.解答题（共1小题，满分12分） 23. 在中，，，点是外一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，． 提出问题： （1）如图1，当时，则线段与的数量关系为______，直线与所成锐角的度数为______． 类比探究： （2）如图2，当时，线段与相交于点，请探究线段与的数量关系以及的度数，并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，在中，已知，，点是外一点，，，，求线段的长度． 【答案】（1），60；（2）；．理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得是等边三角形，由旋转知，，，则有，延长交于，于，则为直线与所成锐角，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （2）记线段与的交点为，由题意易得和是等腰直角三角形，，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，作交于点，如图：由题意得：，然后可得，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1），， 是等边三角形， ，， 由旋转知，，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 延长交于，于，则为直线与所成锐角， ， ， ； 故答案为，60． （2）如图，记线段与的交点为， ， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，， ，即， ， ，， ； ， ， ． （3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，作交于点，如图：由题意得：， ，， ，， ，， ， ，， ， ， 同理可得：， ，， ，即， ， ， ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上． 一.选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 1 2. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，E为上一点，与相交于点F，且，若的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 27 5. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（ ） A. B. C. 10 D. 二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 8. 学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是________． 9. 黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为______．（结果保留根号） 10. 将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为______． 11. 如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为______． 12. 如图，点E是矩形的对角线上的动点，过点E作于点F，已知，若上一点G能使以E，F，G为顶点的三角形是等腰直角三角形，则的长为_________． 三.解答题（共5小题，满分30分，每小题6分） 13 （1）解方程： （2）已知：，且，求，，的值． 14. 如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求： （1）小明的影长 （2）旗杆的高度． 15. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动．在不透明的盒子里放有3张大小、质地完全相同的卡片，分别写有材料A：《论语》；材料B：《三字经》；材料C：《弟子规》．活动规则如下：搅匀后从盒子中任意抽取一张卡片，记录后放回，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小西任意抽取一张卡片，他诵读材料A：《论语》的概率是________； （2）小明和小亮参加“经典诵读”比赛活动，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮诵读的材料不同的概率． 16. 如图，是的中线，四边形为平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作的中线： （2）若，请在图2中作一个菱形． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 18. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”“甜瓜采摘基地”“水上童话梦工厂”“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收入从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入年平均增长率； （2）该村还积极创新农业发展模式．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬，2025年五月份，甜瓜成熟，大棚基地开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证甜瓜每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，． （1）求的值和反比例函数解析式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集______； （3）若点是轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点的坐标． 20. 如图，中，点，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为16，求四边形的周长． 五.解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 21. 如果关于一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线L1：与轴交于点A，直线过点，且与相交于点，若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部(不包含边界)，求的取值范围． 22. （1）如图（1），正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，重叠部分为四边形，证______；______（填“”“”或“”）． （2）如图（2），在中，，，点为边的中点，点为边上任意一点，连接，过点作交边于点．求证：． （3）如图（3），在（2）条件下，将沿折叠，得到，连接． ①______； ②若，求四边形的面积． 六.解答题（共1小题，满分12分） 23. 在中，，，点是外一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，． 提出问题： （1）如图1，当时，则线段与的数量关系为______，直线与所成锐角的度数为______． 类比探究： （2）如图2，当时，线段与相交于点，请探究线段与的数量关系以及的度数，并说明理由． 拓展应用： （3）如图3，在中，已知，，点是外一点，，，，求线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $