精品解析：广东省廉江市第八中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期 八年级《数学》阶段训练题（三） 说明：1．本试卷共4页，考测范围：八上第13至17章，答题时间：120分钟，满分：120分； 2．请将答案正确填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 把多项式分解因式时，应提出的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．根据公因式的定义即可作答． 【详解】解：中的两项，系数部分有公因数，字母a部分都有，字母c部分都有， 故在因式分解时，提的公因式为， 故选：B． 3. 如图，，于，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的性质．先由平行线的性质得到，再由垂直的定义得到，最后由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及完全平方公式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项正确； B．，故B选项错误； C．，故C选项错误； D．，故D选项错误； 故选：A． 5. 若，，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 6. 如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 7. 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】∵CD⊥AB，∠ACB是直角，∠A=30°， ∴∠BCD=30°， ∴BC=2BD，AB=2BC， ∴AB=4BD=4×1=4， 故选A. 8. 已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（ ） A. 3， B. ，4 C. 20，4 D. 20， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 10. 我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（ ）． A. 53 B. 35 C. 47 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定——，解题关键是掌握全等三角形的判定——． 根据全等三角形的判定——求解． 【详解】解：在中，，，需要添加，可用“”证明， 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解：． 13. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答，即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为2，6， ∴， 即该三角形第三边长a的取值范围是． 故答案为：． 14. 如果，，那么______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方等知识，逆用同底数幂的除法法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：12． 15. 如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝1 【答案】-x2+3y2；2 【解析】 【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy ＝x2−y2−（2x2−4y2） ＝x2−y2−2x2＋4y2 ＝−x2＋3y2 把x＝－1，y＝1代入原式＝−1＋3＝2． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 17. 如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质；能熟练利用三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质进行求解是解题的关键． 由三角形内角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得，． 18. 如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，移项化简可得M的值，再由，可得P的值； （2）算出P的值，先提取公因数，再用公式法即可因式分解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 解得：， ， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，． 【点睛】本题考查多项式的加减、因式分解的计算，熟练掌握多项式的加减运算规则和因式分解的方法是解决本题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，作的平分线，交于点P．在射线上，截取线段，使． （1）用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 解：如图即为所求： （2） 证明：如图， 平分， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定及性质． （1）先作的平分线，再截取线段，使即可； （2）由角平分线的性质得，再根据证即可证出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 21. （1）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被整除． （2）若，求的值． 【答案】 （1）原式， 则当n为任意正整数时，能被整除． （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，会运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解后，即可求解． （2）运用完全平方公式进行因式分解后，即可求解． 【详解】（1）略 （2） ， ∴原式． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： 例2：若，求M的最小值． ∵ ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】（1）； （2），； （3）13． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c的最大值，可解得答案； 【小问1详解】 = = = 【小问2详解】 = = 当 ， 时，多项式有最小值为3 【小问3详解】 ， 变形为 ， 整理得， 根据两边之和大于第三边的判定， 又因为c是正整数，所以 所以周长的最大值= 23. 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）作，交于点，证明即可得到答案； （3）分，两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（1）的结论求解即可得到答案． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，，如图，作高线，过点作于， ，，， ，， 由（1）得：， ， ； 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期 八年级《数学》阶段训练题（三） 说明：1．本试卷共4页，考测范围：八上第13至17章，答题时间：120分钟，满分：120分； 2．请将答案正确填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式分解因式时，应提出的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，于，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的值为（　　） A. B. C. 2 D. 6. 如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（ ） A. 3， B. ，4 C. 20，4 D. 20， 9. 如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 10. 我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（ ）． A. 53 B. 35 C. 47 D. 68 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是________． 12. 分解因式：________． 13. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是______．（用“”连接） 14. 如果，，那么______． 15. 如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝1 17. 如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 18. 如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，作的平分线，交于点P．在射线上，截取线段，使． （1）用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 21. （1）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被整除． （2）若，求的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： 例2：若，求M的最小值． ∵ ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 23. 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】 （1）如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为________． 【方法应用】 （2）如图，在中，，，．求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $