精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二上学期第六次定时训练（12月）数学试题

2024级高二第六次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点到平面的距离为（    ） A. B. 5 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案. 【详解】点在平面上的射影是， 则点到平面的距离为， 故选：B. 2. 若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据离心率得出，再根据关系得出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的离心率为， 所以， 则它的渐近线方程为. 故选：D. 3. 抛物线：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线写成标准方程，即可根据准线方程的公式求解. 【详解】的标准方程为，故准线方程为， 故选：A 4. 设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为或 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，先根据题目条件得到，从而，，AB错误；C选项，由得到C错误；D选项，得到当时，，，当时，，故D正确. 【详解】AB选项，因为，所以， 因为数列是以为公差的等差数列，所以， 故，解得， 又，所以，，AB错误； C选项，，故C错误； D选项，由于，，，故当时，， 当时，，故的最大值为或，D正确. 故选：D 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与其前项和的性质求解即可. 【详解】设该等差数列中有项，其中偶数项有项，奇数项有项， 设等差数列的前项和为，则， 为等差数列，，，解得， ，此数列的项数是项. 故选：. 6. 在四面体中，点G是的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理求解. 【详解】如图所示： 取AC的中点H，则， 又， 所以， 故选：C 7. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 8. 一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车.假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息.每辆车行驶的速度都是80千米/小时，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2660千米，则该车队一共发出（ ）辆车 A. 14 B. 14或19 C. 15 D. 15或16 【答案】A 【解析】 【分析】设共发出n辆车，第n辆车行驶时间为，由题可得，又设前n项和为，则，据此可得答案. 【详解】设共发出n辆车，第n辆车行驶时间为，其中. 因第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车，则，即为等差数列. 又设前n项和为，则. 但注意到， ，则. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，则前六项适合的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件； 对于选项B，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C，取前六项得：，满足条件； 对于选项D，取前六项得：，不满足条件； 故选：AC 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（ ） A. B. 当时，数列的公差为2 C. 当时，是数列中的项 D. 若是数列的项，则正整数的取值为、、 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式判断A，根据题意与等差数列的通项公式判断B；利用等差数列的通项公式求得，进而求得，再进行检验可判断C；根据题意分析得，从而得到，再分析的取值即可判断D，从而得解. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，当时，数列的公差为，故B错误； 对于C，当时，数列的首项为2，公差为， 故，故， 令，解得，所以是数列的第8项，故C正确； 对于D，插入个数，则，，，，， 所以等差数列中的项在等差数列中对应的项的序号是 以1为首项，为公差的等差数列，即， 若是数列的项，则，即， 因为，所以的可能取值为， 则正整数的取值为、、，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线：，圆：，动点在直线上，过点作圆的两条切线；切点分别为、，则下列描述正确的有（ ） A. 若，则 B. 圆上有2个点到直线的距离为1 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用切线长公式求解判定A；圆心到直线的距离及点与圆的位置关系可判定B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】圆：的圆心，半径，连接， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，点到直线的距离，故直线与圆相离， 因为，所以圆上有2个点到直线的距离为1，故B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，故存在点，使得，故C正确； 对于D，设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由，解得， 即直线过定点，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的方程为，其面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果. 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 13. 已知两个等差数列2，6，10，，118及2，8，14，，116，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为__________. 【答案】560 【解析】 【分析】先求出新数列的公差及最后一项，再结合等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】等差数列2，6，10，…118中，公差，  等差数列2，8，14，…，116中，公差， ，6的最小公倍数是12， 由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差， 新数列最大项， ， 解得 ， 新数列中第10项 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，…，110 各项之和为  故答案为：560. 14. 如图，在正方体中，为线段上一点，则直线与所成的角的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，与所成的角为，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法分析即可求解 【详解】设正方体的棱长为1，与所成的角为， 以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设，所以， 所以，，， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分. 15. （1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由数列中与的关系即可求解； （2）首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当，，解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 16. 如图所示，已知平行六面体中，，，，为的中点. （1）求长度； （2）求异面直线与所成的角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得的长； （2）根据向量线性运算和数量积运算可求得，由此可得结果. 【小问1详解】 ； ，，， ， ，即的长为. 【小问2详解】 ， ，即与所成角为. 17. 在等差数列中，已知，. （1）求通项及前项和； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； 【小问2详解】 数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是棱（含端点）上一点． （1）若．求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）是否存在这样的点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以， 因为底面是正方形，所以， 平面 所以平面， 又因为平面，则有， 在中，，是的中点，故有， 因为，平面，所以平面， 平面，则， 又因为，EF，平面，且， 所以平面． （2）． （3）存在，0或, 【解析】 【分析】（1）根据平面，由线面垂直的性质得线线垂直，即可根据平面得，结合线面垂直的判定即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解； （3）求解平面法向量，根据直线的方向向量与平面法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以向量，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，． 设平面的法向量，则即 令，得，所以平面的法向量， 设平面的法向量，则即 令，得，所以平面的法向量， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，，，， ，，，， 假设存在这样的点F则有， ， 设平面的法向量，则即 令，得，，所以平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以的值为0或， 故有的值为0或． 19. 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出及，即可得解； （2）①设，.联立直线和椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出，再求出点O到直线的距离，即可得的面积，再利用基本不等式即可求出最大值；②设,由得到三点坐标之间的关系，再利用韦达定理转化成之间的关系，即可得证. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为2c， 依题意有，解得. 又因为，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设，. 由消去,得*. 因为直线与交于A，B两点， 所以方程*的，解得. 又由韦达定理可知，， 所以弦长 ， 又因为点O到直线的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以面积的最大值为； ②设， 由可得，即. 因为，所以，故， 于是有，所以点Q在定直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第六次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点到平面的距离为（    ） A. B. 5 C. 3 D. 1 2. 若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线：的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为或 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，点G是的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车.假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息.每辆车行驶的速度都是80千米/小时，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2660千米，则该车队一共发出（ ）辆车 A. 14 B. 14或19 C. 15 D. 15或16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，则前六项适合的通项公式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（ ） A. B. 当时，数列的公差为2 C. 当时，是数列中的项 D. 若是数列的项，则正整数的取值为、、 11. 已知直线：，圆：，动点在直线上，过点作圆的两条切线；切点分别为、，则下列描述正确的有（ ） A. 若，则 B. 圆上有2个点到直线的距离为1 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的方程为，其面积为，则______. 13. 已知两个等差数列2，6，10，，118及2，8，14，，116，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为__________. 14. 如图，在正方体中，为线段上一点，则直线与所成的角的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17题分别15分，第18、19题分别17分，共77分. 15. （1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 16. 如图所示，已知平行六面体中，，，，为的中点. （1）求长度； （2）求异面直线与所成的角的大小. 17. 在等差数列中，已知，. （1）求通项及前项和； （2）求数列的前n项和. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是棱（含端点）上一点． （1）若．求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）是否存在这样的点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $