湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三上学期月考（五）（12月）数学试题

长沙市一中2026届高三月考试卷（五） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A{-1,0.2),B={aa2=1),则 A.(0)∈A B.0∈B C.{-1)二B D.BCA 2.已知复数z= 斜则1+- 的 A.√2 B.2 拟 长 C.5 D,5 3.已知各项均为正数的等比数列(an》的前n项和为Sn,且满足a1auas= a2a1,S3=7,则S5= A.11 B.31 C.32 D.121 4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x,则x十y 能被3整除的概率为 1 A. 6 B 59 C. 5.已知点P是抛物线C:y2=12x上的一点，设点P到直线x=一3和x一 y十4=0的距离分别为a1,d山2，则d1十d山2的最小值为 A29 C.3+2√2 D.42 6.在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，点G在线段EF 上.若AG=λAB+uAD,则λ十u的最大值为 A B.1 c号 D.2 7.曲线y=e-1与y=x2的公切线的条数为 A.0 B.1 C.2 D.3 8.如图，现有棱长为8的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥 A1-EFG,且E,F,G分别为棱A1A,A1B1,A1D1上离A1最远的四等分 点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为 D A.4 B.3 C3V6-93 2 D.9-33 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选 错或不选得0分) 9.设O为坐标原点，已知对任意实数a,直线l:ax一y十2-2a=0与圆C: (x一4+（一1）2=2(r>0)都有两个交点M,N,则 :直线4过定点(2,1) Br∈(W5,+∞) C.当r=5时，CM·CN的最小值为一25 D.当r=3时，lMNI∈[5,6] 10.如图，曲线y=√x下有一系列正三角形，设第n个正三角形Qm-1PQ。 (Q。为坐标原点)的边长为an,则 A.a2=1 B记S为数列a.的前n项和，则P1为(S+岁，。 C记S,为数列(a.的前n项和，则5+1=a21+ah D.数列(a}的前n项和为S。=心十” 3 11.已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角板(Rt△ACD和 R1△BCD)组成的三角形，如图1所示，其中∠ACD=45°，∠BCD= 60°.现将Rt△ACD沿斜边AC进行翻折成△D1AC(D,不在平面ABC 上).若M,N分别为BC和BD,的中点，则在△ACD翻折过程中，下 列命题正确的是 图1 图2 A.在线段BD上存在一定点E,使得AD∥平面MNE B.存在某个位置，使得直线AD⊥平面BCD: C.存在某个位置，使得直线AD,与DM所成角为60° D.对于任意位置，二面角D1+BC一A始终不小于直线AD1与平面 ABC所成角 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.已知sin(a-B)=-3,tana=2tanB,则sin(a+)=】 13.从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数 个.（用数字作答） 数学试题（一中版）第3页（共8页） 14.如图，已知M,N为双曲线后-芹=1(a>0,6>0)上关于原点O对称 的两点，点M与点Q关于x轴对称，M应=号M,直线NE交双曲线 右支于点P.若∠NMP=,则双曲线的离心率e= 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.（本题满分13分) 如图，平面四边形ABDC中，∠ACD-,AC=3,CD=1.△ABC的 三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且csin A十√3 acos C=√5b. (1)求角A; (2)若AB=√7，求△BAD的面积 数学试题（一中版）第4页（共8页） 16.（本题满分15分) 如图1，在平面五边形PABCD中，△PAD为等腰直角三角形，AP⊥ PD,AD∥BC,AD⊥DC,AD=2DC=2BC=4,点E,F分别为PD,AB 的中点，将△PAD沿AD折到如图2的位置 B 图1 图2 (1)证明：EF∥平面PBC; (2)若二面角P-AD-C为，求平面PAB与平面PBC的夹角的余 弦值 17.(本题满分15分) 作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自2025年9月开赛 以来，凭借14个地州市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解某场湘 超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居 民，其中男性居民与女性居民的人数比为3：2，在抽取的男性居民中， 有号的人观看了这场湘超联赛，在抽取的女性居民申，有100人没有观 看这场湘超联赛。 1)在样本中，随机抽取5人，记5入审观看∫这场厢超联赛的人数为： X,求X的期望值； (2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的 方法在全市居民中随机抽取5人，求恰有2人观看了这场湘超联赛 的概率； (3)现定义：LR(B引A) P（8号，其中A,B是随机事件，从这50人 P(BA) 中任选1人，M表示“居民观看了这场湘超联赛”，N表示“居民是 女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标飞 一R,请利用样本数据求出女的值 LR(NM 18.(本题满分17分) 已知辅圆C荐+芳-1(Q>6>0)的离心率为号，0为坐标原点，椭圆C 上的点到两个焦点的距离之和为4： (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,过点N(1,0)且斜率不为0的直 线交椭圆C于P,Q两点，直线AP与直线BQ相交于点M. (ⅰ)求证：点M在定直线上； 《i)设△APB和△PBQ的面积分别为S1,S,求爱的取值花固， 19.（本题满分17分) 已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，其导函数为g(x),且g(x) _Inx (1)求g(x)的单调区间与最大值 (2)已知关于x的方程g(x)=a恰有两个实数根x1,x2,若x2≥2x1,求 lnx1+lnx2的取值范围； (3)证明：f(x+2)-fx)<名