30.2 二次函数的图像和性质同步练习题 2025-2026学年 冀教版（2012）九年级数学下册

30.2 二次函数的图像和性质同步练习题 一．选择题 1．抛物线y＝﹣3x2+2的顶点坐标是（　　） A．（0，2） B．（﹣3，2） C．（2，0） D．（0，﹣2） 2．抛物线y＝2（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 3．将抛物线y＝x2向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为（　　） A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2 4．定义：min{a，b}，若函数y＝min{2x﹣1，﹣x2﹣2x+4}，则该函数的最大值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．关于函数y＝4x2的表述正确的一项是（　　） A．无论x为任何实数，y的值总为正数 B．它的图象在第一、二象限内 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象关于y轴对称 6．若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A．B． C． D． 7．如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4 8．定义平面内任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）与点Q（2，2）之间的曼距dPQ＝|﹣3﹣2|+|﹣2﹣2|＝5+4＝9，若点A在直线上，点B为抛物线y＝x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（　　） A． B． C． D． 二．填空 9．将抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣6向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为　 　 ． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知点（n+1，y1），（n﹣2，y2），（n﹣1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为　 　 ．（用“＞”表示） 11．抛物线y＝x2﹣4x+4向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转180°，所得抛物线的解析式是　 　 ． 12．二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a，当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣2，则a的值为　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　 　 ． 三．解答题 14．二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣3 m ﹣3 … （1）该抛物线的顶点坐标为 　 　 ； （2）求m的值； （3）当x＞1时，y随值的x增大而 　 　 （填“增大”或“减小”）． 15．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（1，0）． （1）b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）该二次函数图象的顶点坐标为　 　 ； （3）请在网格中绘制出此二次函数的图象； （4）根据图象，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　 　 ． 16．已知抛物线G：y＝ax2+bx+c（a＞0）过点A（x1，2），点B（x2，2），点C（1，﹣3a+c）．直线l：y＝kx+n过点D（2，0），交线段AB于点E，记△ADE的面积为S1，△BDE的面积为S2，且S1＝S2+4． （1）用含a的式子表示b； （2）求直线l：y＝kx+n的解析式； （3）当x1＜x2，c＝3a时，已知点F（5，m）在直线l上，若抛物线G与线段DF有且只有一个交点，求a的取值范围． 17．如图，二次函数y1＝﹣x2﹣4x+5的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C．根据图象回答问题： （1）S△ABC＝　 　 ； （2）当﹣5≤x≤0时，二次函数y1的取值范围为　 　 ； （3）若一次函数y2＝x+b的图象经过点B，当y1＞y2时，x的取值范围为　 　 ． 18．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为0；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为2时，输出y的值为3． （1）求出k，a，b的值； （2）若m是抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝kx+2的交点的横坐标，求的值． 19．已知函数： （1）如表是y与x的几组对应值： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 10 … y 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 1 m … ①m＝　 　 ； ②若A（n，7），B（9，7）为该函数图象上不同的两点，则n＝　 　 ； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表格中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为　 　 ； ②该函数的另一条性质是　 　 ； （3）定义：，例{2，3}＝3，令，请在平面直角坐标系中画出的图象，通过图象，求得的最小值为　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B C 二．填空题 9．y＝﹣3（x+3）2﹣3． 10．y1＞y3＞y2． 11．y＝﹣x2+3． 12．2或． 13．1． 三．解答题 14．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx﹣3， 把（﹣1，0），（2，﹣3）代入得， 解得：， ∴解析式为：y＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y＝﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． 故答案为：（1，﹣4）． （2）把x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝1﹣2﹣3＝﹣4， 所以m＝﹣4． （3）∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随值的x增大而增大． 故答案为：增大． 15．解：（1）将（0，3）、（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：， 解得， 故答案为：﹣2，3； （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点坐标为（﹣1，4）， 故答案为（﹣1，4）； （3）如图： （3）由图象可知，当x满足﹣1＜x＜2时，﹣5＜y＜4， 故答案为﹣5＜y＜4． 16．解：（1）令x＝1，则y＝a+b+c＝﹣3a+c， ∴b＝﹣4a； （2）∵直线l：y＝kx+n过点D（2，0）， ∴0＝2k+n， ∴n＝﹣2k， ∵抛物线的对称轴为直线x2，A，B的纵坐标相等， ∴x1+x2＝4， 对于直线l：y＝kx﹣2k，令y＝2，则x， ∴E（，2）， ∵D（2，0），AB所在直线为：y＝2， ∴D到AB的距离为2， ∴S1﹣S2＝|2×AE2×BE|＝|AE﹣BE|＝4， ∴|x1﹣（x2）|＝4， 解得：k＝±1， ∴直线l的解析式为：y＝x﹣2或y＝﹣x+2； （3）∵c＝3a， ∴C（1，0），y＝ax2﹣4ax+3a， ∵F在直线l上， ∴F（5，3）， ∵对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴另一个交点为（3，0）， ∴当抛物线G与线段DF有且只有一个交点时，F在抛物线下方， ∴25a﹣20a+3a≥3， ∴a． 17．解：（1）令x＝0，则y1＝5， ∴C（0，5）， 令x＝0，则﹣x2﹣4x+5＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣5， ∴B（1，0），A（﹣5，0）， ∴OC＝5，AB＝1﹣（﹣5）＝6， ∴， 故答案为：15； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，9），最大值为9， 由（1）可知，当x＝0时，y1＝5，当x＝5时，y1＝0， ∴当﹣5≤x≤0时，0≤y1≤9， 故答案为：0≤y1≤9； （3）∵一次函数y2＝x+b的图象经过点B（1，0）， ∴1+b＝0，即b＝﹣1， ∴y2＝x﹣1， ， 解得x1＝1，x2＝﹣6， ∴一次函数y2＝x﹣1与二次函数的另一个交点的横坐标为﹣6， 由图象可知，当﹣6＜x＜1时，二次函数的图象在一次函数y2＝x﹣1的图象的上方， ∴当y1＞y2时，﹣6＜x＜1， 故答案为：﹣6＜x＜1． 18．解：（1）∵输入x的值为﹣2时，输出y的值为0， ∴把x＝﹣2，y＝0代入y＝kx+2得0＝﹣2k+2， 解得k＝1； ∵输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为2时，输出y的值为3． 把x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝3代入y＝ax2+bx+3得， ， 解得； （2）由（1）得直线为y＝x+2，抛物线为y＝x2﹣2x+3， 联立得x+2＝x2﹣2x+3， 整理得x2﹣3x+1＝0， ∵m是抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝kx+2的交点的横坐标， ∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1， ∴m2＝3m﹣1，m2+1＝3m，m2+2＝3m+1，m4﹣3m3＝﹣m2，m6﹣3m5＝﹣m4， ∴ ． 19．解：（1）①把x＝10代入可得： ． ②把y＝7代入可得： ，即， ∴x2＝81，解得：x1＝9，x2＝﹣9， ∵A（n，7），B（9，7）为该函数图象上不同的两点， ∴n＝﹣9． 故答案为：8，﹣9； （2）先描点，然后画图如下： ①根据函数图象可得：该函数的最小值是﹣2； ②当x＜0时，y随x的增大而减小，当x≥0时，y随x的增大而增大． 故答案为：﹣2；当x＜0时，y随x的增大而减小，当x≥0时，y随x的增大而增大． （3）如图，当x≥0时，当时， ∴x＝4，则B（4，2）， 当x＜0，时，解得：， ∴， 当时，结合图象可得：， ∴，此时函数没有最小值； 当，结合图象可得：， ∴， 此时函数的最小值为：， 当x＞4，结合图象可得：， ∴， 此时函数没有最小值， 综上：的最小值为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/26 18:16:24；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $