30.2　二次函数的图像和性质 第 课时作业 2024-2025学年冀教版数学九年级下册

30.2二次函数的图像和性质 第1课时　二次函数y=ax2的图像和性质 二次函数y=ax2的图像和性质 1.在平面直角坐标系中,抛物线y=2x2的开口方向是 (　　) A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.抛物线y=-3x2的顶点坐标为 (　　) A.(0,0) B.(0,-3) C.(-3,0) D.(-3,-3) 3.已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是(　　) A.a>0 B.a>1 C.a≠1 D.a<1 4.若二次函数y=ax2的图像经过点P(-2,4),则该图像必经过点(　　) A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2) 5.二次函数y=3x2,y=-3x2,y=x2共有的性质是 (　　) A.图像开口向下 B.图像的对称轴是y轴 C.图像都有最高点 D.y随x的增大而增大 6.函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(a,8),则a的值为 (　　) A.±2 B.-2 C.2 D.3 7.如图,四个二次函数的图像分别对应的是①y=ax2,②y=bx2,③y=cx2,④y=dx2.则a,b,c,d的大小关系是 (　　) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 8.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图像可能是 (　　) A　　 　　B　　　 　C　　 　　D 9.已知二次函数y=x2,当-1≤x≤2时,求函数y的最小值和最大值.小王的解答过程如下: 解:当x=-1时,y=1; 当x=2时,y=4. 所以函数y的最小值为1,最大值为4. 小王的解答过程正确吗?如果不正确,写出正确的解答过程. 1.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s=gt2(g=9.8),则s关于t的函数图像大致是 (　　) A　　　　B　　 　　C　　　　D 2.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图像大致是 (　　) A　　 　　B　　　 　C　 　　　D 3.如图,正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限的图像上,若点B的横坐标与纵坐标之和等于6,则对角线AC的长为(　　) A.2 B.2 C.2 D. 4.已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m-n)(n>0)在同一个函数的图像上,则这个函数可能是 (　　) A.y=x B.y=- C.y=x2 D.y=-x2 5.若点A(-2,y1),B(-1,y2),C(8,y3)都在二次函数y=ax2(a<0)的图像上,则y1,y2,y3从小到大的关系是　　 　　　.(用“<”连接)  6.如图,在正方形ABCD中,点A、点B在抛物线y=2x2上,点C、点D在x轴上. (1)求点A的坐标. (2)连接BD交抛物线于点P,求点P的坐标. 7.(运算能力)如图,点A,B在y=x2的图像上.已知A,B的横坐标分别为-2,4,直线AB与y轴交于点C,连接OA,OB. (1)求直线AB的函数表达式. (2)求△AOB的面积. (3)若函数y=x2的图像上存在点P,使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半,则这样的点P共有　　　　个.  【详解答案】 课堂达标 1.A　解析:∵抛物线y=2x2,2>0,∴抛物线y=2x2的开口向上.故选A. 2.A　解析:∵y=-3x2,∴抛物线的顶点坐标为(0,0).故选A. 3.B　解析:∵二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x的增大而增大,∴a-1>0.∴a>1.故选B. 4.A　解析:∵二次函数y=ax2图像的对称轴为y轴,∴若图像经过点P(-2,4),则该图像必经过点(2,4).故选A. 5.B　解析:抛物线y=3x2的开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点;抛物线y=-3x2的开口向下,对称轴为y轴,有最高点,顶点为原点;抛物线y=x2的开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点.故选B. 6.C　解析:把点(a,8)代入y=ax2,得a3=8,解得a=2.故选C. 7.A　解析:函数y=ax2(a≠0)的图像的开口越大,|a|越小.故选A. 8.D　解析:由一次函数y=ax+a可知,一次函数的图像与x轴交于点(-1,0),排除A,B;当a>0时,二次函数图像开口向上,一次函数图像经过第一、二、三象限;当a<0时,二次函数图像开口向下,一次函数图像经过第二、三、四象限,排除C.故选D. 9.解:小王的解答过程是错误的,正确的解答过程如下: ∵二次函数y=x2, ∴该函数图像开口向上,对称轴是y轴. ∵-1≤x≤2, ∴当x=0时,y取得最小值,此时y=0; 当x=2时,y取得最大值,此时y=4. 由上可得,当-1≤x≤2时,函数y的最小值是0,最大值是4. 课后提升 1.B　解析:∵s=gt2是二次函数的表达式,∴函数的图像是一条抛物线.又∵g>0,∴图像开口向上.∵自变量t为非负数,∴图像是抛物线在第一象限的部分.故选B. 2.D　解析:∵ab>0,∴a,b同号.当a>0,b>0时,抛物线开口向上,顶点在原点,一次函数图像过第一、二、三象限,没有图像符合要求;当a<0,b<0时,抛物线开口向下,顶点在原点,一次函数图像过第二、三、四象限,D选项符合要求.故选D. 3.C　解析:设点B的横坐标为a.∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6,∴点B的纵坐标为6-a.∵点B在抛物线y=x2的第一象限的图像上,∴6-a=a2.解得a1=-3(不合题意,舍去),a2=2,∴6-a=4.∴点B的坐标为(2,4).连接OB,如图,则OB==2.∵四边形OABC是正方形,∴AC=OB=2.故选C. 4.D　解析:∵A(-1,m),B(1,m),∴点A与点B关于y轴对称.由于y=x,y=-的图像都关于原点对称,因此选项A,B不符合题意;∵n>0,∴m-n<m.由B(1,m),C(2,m-n)可知,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,对于二次函数只有a<0时,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,∴选项D符合题意.故选D. 5.y3<y1<y2　解析:∵二次函数y=ax2(a<0)的图像的对称轴为y轴,开口向下,∴当x=8时和x=-8时对应的y值是相等的.∵当x<0时,y随x的增大而增大,-8<-2<-1,∴y3<y1<y2. 6.解:(1)由题意可设A(a,2a),则B(-a,2a). ∵点A在抛物线y=2x2上, ∴2a=2a2. ∴a=1或a=0(舍去).∴A(1,2). (2)设直线BD的函数表达式为y=kx+b(k≠0). ∵B(-1,2),D(1,0), ∴解得 ∴直线BD的函数表达式为y=-x+1. 由解得(舍去)或 ∴点P的坐标为. 7.解:(1)∵点A,B在y=x2的图像上,A,B的横坐标分别为-2,4, ∴A(-2,1),B(4,4). 设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0), ∴解得 ∴直线AB的函数表达式为y=x+2. (2)在y=x+2中,令x=0,则y=2, ∴点C的坐标为(0,2).∴OC=2. ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6. (3)4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　二次函数y=a(x-h)2 与y=a(x-h)2+k的图像和性质 二次函数y=a(x-h)2的图像和性质 1.下列关于二次函数y=(x+3)2的说法正确的是 (　　) A.图像是一条开口向下的抛物线 B.图像与x轴没有交点 C.当x<-3时,y随x的增大而增大 D.图像的顶点坐标是(-3,0) 2.将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度,所得抛物线的表达式是 (　　) A.y=2x2+3 B.y=2x2-3 C.y=2(x+3)2 D.y=2(x-3)2 3.已知抛物线y=2(x-1)2上有两点(2,y1),(,y2),则y1　　　y2.(填“<”或“>”)  4.已知抛物线y=-5(x+2)2,当x>-2时,y随x的增大而　　　　.  5.已知二次函数y=-(x-2)2,不画图像,回答下列问题. (1)确定抛物线y=-(x-2)2的开口方向、对称轴和顶点坐标. (2)当x取何值时,y有最大(小)值?最大(小)值是多少? (3)当x取何值时,y随x的增大而增大? (4)抛物线y=-(x-2)2是由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到的? 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 6.已知二次函数y=-3(x-2)2-3,则下列说法正确的是 (　　) A.对称轴为直线x=-2 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是-3 D.函数的最小值是-3 7.若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为 (　　) A.m>1 B.m>0 C.m>-1 D.-1<m<0 8.已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 (　　) A.2>y1>y2 B.2>y2>y1 C.y1>y2>2 D.y2>y1>2 9.把二次函数y=-(x+1)2-3的图像沿着x轴翻折后,得到的二次函数有 (　　) A.最大值y=3 B.最大值y=-3 C.最小值y=3 D.最小值y=-3 10.已知抛物线y=a(x-1)2+h经过点(0,-3)和(3,0). (1)求a,h的值. (2)将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新的抛物线,直接写出新的抛物线相应的函数表达式. 1.二次函数y=+n的图像如图所示,则一次函数y=mx+n的图像经过 (　　) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 2.若二次函数y=(x-m)2-1,当x<3时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是(　　) A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3 3.如图,已知抛物线y1=(x+1)2-3向右平移2个单位长度得到抛物线y2的图像,则阴影部分的面积为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图像上.若y1<y2,则m的取值范围为 (　　) A.m>2 B.m> C.m<1 D.<m<2 5.已知二次函数y=-(x-h)2(h是常数),且自变量取值范围是2≤x≤5. (1)当h=3时,函数的最大值是　　　　.  (2)若函数的最大值为-1,则h的值是　　　　　.  6.如图,在平行四边形ABCD中,边BC在x轴上,且BC=6,平行四边形ABCD的面积为12,C是抛物线顶点,A,D在抛物线上,求抛物线的表达式. 7.某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1 m的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3 m,此时距喷水管的水平距离为 m,求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的表达式.(不要求写出自变量的取值范围) 8.(推理能力)如图,顶点为M的抛物线y=a(x+1)2-4 分别与x轴相交于点A, B(点A在点B的右侧),与y轴相交于点C(0, -3). (1)求抛物线的表达式. (2)连接MC,BM,BC,判断△BCM是否为直角三角形,并说明理由. (3)抛物线上是否存在点N(不与点C重合),使得以点 A,B,N为顶点的三角形的面积与△ABC 的面积相等?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 【详解答案】 课堂达标 1.D　解析:A.∵1>0,∴图像的开口向上,故此选项不符合题意;B.∵y=(x+3)2=x2+6x+9,∴b2-4ac=36-36=0,即图像与x轴有1个交点,故此选项不符合题意;C.∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-3,∴当x<-3时,y随x的增大而减小,故此选项不符合题意;D.∵y=(x+3)2,∴图像的顶点坐标是(-3,0),故此选项符合题意.故选D. 2.C　解析:将抛物线y=2x2向左平移3个单位长度所得的抛物线的表达式为y=2(x+3)2.故选C. 3.<　解析:根据抛物线y=2(x-1)2,可得其开口向上,对称轴为直线x=1,当x>1时,y随x值的增大而增大,∵2<,∴y1<y2. 4.减小　解析:抛物线y=-5(x+2)2,开口向下,对称轴为直线x=-2,∴当x>-2时,y随着x的增大而减小. 5.解:(1)∵抛物线的表达式为 y=-(x-2)2,且-<0, ∴抛物线y=-(x-2)2开口向下,对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0). (2)∵抛物线y=-(x-2)2开口向下, ∴二次函数有最大值,且当x=2时,y有最大值,最大值是0. (3)∵抛物线y=-(x-2)2开口向下,对称轴是直线x=2, ∴当x<2时,y随x的增大而增大. (4)由平移规律可知,抛物线y=-(x-2)2是由抛物线y=-x2向右平移2个单位长度得到的. 6.C　解析:二次函数y=-3(x-2)2-3图像的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-3).∵-3<0,∴二次函数图像开口向下,函数有最大值,为y=-3.∴A,B,D选项错误,C选项正确.故选C. 7.B　解析:抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点坐标为(m,m+1),根据题意,得解得m>0.故选B. 8.D　解析:∵y=(x+1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点为抛物线最低点,坐标为(-1,2). ∵2-(-1)>1-(-1),∴y2>y1>2.故选D. 9.C　解析:根据题意,将二次函数图像沿x轴翻折,开口方向由向下改为向上,顶点的横坐标不变,纵坐标变为相反数,即得到新二次函数为y=(x+1)2+3,有最小值y=3.故选C. 10.解:(1)将点(0,-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)2+h,得 解得 所以a=1,h=-4. (2)新抛物线的表达式为y=(x-2)2-2. 课后提升 1.D　解析:∵y=(x+m)2+n,∴抛物线的顶点坐标为(-m,n).由题中二次函数y=(x+m)2+n的图像,可得-m>0,n<0. ∴m<0.∴一次函数y=mx+n的图像经过第二、三、四象限.故选D. 2.C　解析:∵1>0,∴在对称轴的左侧,y随x的增大而减小.∵y=(x-m)2-1的对称轴是直线x=m,当x<3时,y随x的增大而减小,∴m≥3.故选C. 3.D　解析:如图,设点M为抛物线y1的顶点,点N为抛物线y2的顶点,连接MA,NB,则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等.∵AB∥MN,AB=MN=2,∴四边形AMNB是平行四边形.∵抛物线y1=(x+1)2-3,∴该抛物线的顶点M的坐标为(-1,-3),∴点M到x轴的距离为3.∴四边形AMNB的面积是2×3=6.∴阴影部分的面积是6.故选D. 4.B　解析:∵点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图像上,∴y1=(m-1-1)2+n=(m-2)2+n,y2=(m-1)2+n. ∵y1<y2,∴(m-2)2+n<(m-1)2+n.∴(m-2)2-(m-1)2<0,即-2m+3<0.∴m>.故选B. 5.(1)0　(2)6或1　解析:(1)当h=3时,二次函数为y=-,∴当x=3时,函数有最大值0.(2)∵二次函数y=-(x-h)2(h是常数),当自变量x满足2≤x≤5时,其对应函数y的最大值为-1,∴若5<h,则当x=5时,y最大,即-(5-h)2=-1,解得h1=4(舍去),h2=6;若h<2,则当x=2时,y最大,即-(2-h)2=-1,解得h3=1,h4=3(舍去);若2<h<5,则最大值为0,与题意不符.综上所述,h的值是6或1. 6.解:∵平行四边形ABCD的面积为12, ∴OA·BC=12,∴OA==2. ∴A(0,2). ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD=BC=6,AD∥BC. ∴A,D为抛物线上的对称点. ∴抛物线的对称轴为直线x=3. ∴顶点C的坐标为(3,0). 设抛物线的表达式为y=a(x-3)2,把A(0,2)代入, 得a·(-3)2=2,解得a=, ∴抛物线的表达式为y=(x-3)2. 7.解:∵点是抛物线的顶点, ∴可设抛物线的表达式为y=a+3. ∵抛物线经过点(0,1), ∴1=·a+3,解得a=-8. ∴抛物线水柱的表达式为 y=-8+3. 8.解:(1)抛物线y=a(x+1)2-4与y轴相交于点C(0,-3),∴-3=a-4.解得a=1.∴抛物线的表达式为y=(x+1)2-4=x2+2x-3. (2)△BCM是直角三角形. 理由:由(1),知抛物线的顶点M的坐标为(-1,-4).令y=0,得 x2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3, ∴A(1,0), B(-3,0). 又∵C(0,-3),M(-1,-4), ∴BC2=18,BM2=20,MC2=2. ∵BM2=BC2+MC2, ∴△BCM为直角三角形. (3)存在. 由点C的坐标,知OC=3.∵以点A, B,N为顶点的三角形的面积与△ABC的面积相等, ∴|yN|=OC=3,即x2+2x-3=±3,解得 x=0(舍去)或x=-2或x=-1±. ∴点N的坐标为(-2,-3)或(-1,3)或(--1,3). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 二次函数y=ax 2+bx+c的图像和性质 1.二次函数y=x2+bx+c的图像上有(3,4)和(-5,4)两点,则此抛物线的对称轴是直线 (　　) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=3 2.当y=x2-6x-3 的值最小时,x的值是 (　　) A.0 B.-3 C.3 D.-9 3.已知二次函数 y=-x2+2x+4,则下列说法正确的是 (　　) A.该函数的图像开口向上 B.该函数图像与y轴的交点坐标为(0,5) C.当x=1时,y有最大值5 D.当x>1时,y随x的增大而增大 4.抛物线y=-x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是 (　　) A.y=-x2+x B.y=-x2-4 C.y=-x2+2 024x-2 025 D.y=-x2+x+1 5.若二次函数y=x2-2x+m的图像经过A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)三点,则关于y1,y2,y3的大小关系正确的是(　　) A.y2<y1<y3 B.y1<y2<y3 C.y2<y1=y3 D.y1=y3<y2 6.如图所示是二次函数y=ax2-x+a2-1的图像,则 (　　) A.a=-1 B.a= C.a=1 D.a=1或a=-1 y=ax2+bx+c的表达式 7.若二次函数y=ax2+bx-3的图像经过点(-1,0),(3,0),则其表达式为y=　　　　　　.  8.把抛物线y=x2+2x-1化成y=a(x-h)2+k的形式是　　　　　　,该图像的对称轴是　　　　,顶点坐标是　　　　.  9.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A(1,-2)和B(0,-5). (1)求该二次函数的表达式及图像的顶点坐标. (2)当y≤-2时,请根据图像直接写出x的取值范围. 1.若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3),则2c-4b-7的值是 (　　) A.6 B.7 C.8 D.20 2.将抛物线y=x2-4x+3绕原点O顺时针旋转180°,则旋转后的函数表达式为 (　　) A.y=x2+4x-3 B.y=-x2+4x+3 C.y=-x2-4x-3 D.y=-x2+4x-3 3.如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图像与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图像相交于A,B两点,已知点A的横坐标为-4,AC=8BC,当ax2+bx+c<kx+m时,x的取值范围是 (　　) A.-4<x<1 B.x<-4或x> C.x<4或x>1 D.-4<x< 4.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-2,3),抛物线与x轴的一个交点在点(-4,0)和点(-3,0)之间,其部分图像如图所示,有下列说法:①4a-b=0;②a-b+c=0;③若(-4,y1),(1,y2)是抛物线上的两点,则y2>y1;④b2+3b=3ac.其中正确的是 (　　) A.① B.①② C.①③ D.①②③④ 5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角边BC在x轴上,其内切圆的圆心I的坐标为(0,1),抛物线y=ax2+2ax+1的顶点为A,则a的值为 (　　) A.-2 B.- C.- D.-3 6.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于点A和B(4,6),与x轴交于点E,P是线段AB上异于A,B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的表达式. (2)当C为抛物线的顶点时,求△BCE的面积. 7.(运算能力)在平面直角坐标系中,已知直线y=x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在线段AB上(点C不与点A,B重合),以点C为顶点的抛物线M:y=ax2+ bx +c 经过点B. (1)求点A,B的坐标. (2)求b,c的值. (3)平移抛物线M至N,点C,B分别平移至点P,D,连接CD,且CD∥x轴,如果点P在x轴上,且新抛物线过点B,求抛物线N的表达式. 【详解答案】 课堂达标 1.A　解析:∵二次函数y=x2+bx+c的图像上有(3,4)和(-5,4)两点,∴这两点关于对称轴对称.∴对称轴为直线x==-1.故选A. 2.C　解析:当y=x2-6x-3 的值最小时,x=-.把a=1,b=-6代入x=-,得x=3.故选C. 3.C　解析:∵-1<0,∴函数图像开口向下,故A选项错误;令x=0,代入y=-x2+2x+4,得y=4,故B选项错误;当x= -=1时,y有最大值5,故C选项正确;∵函数图像开口向下,∴当x>1时,y随x的增大而减小,故D选项错误.故选C. 4.D　解析:∵将抛物线y=-x2+x+1经过平移后开口方向不变,开口大小也不变,∴抛物线y=-x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y=-x2+x+1.故选D. 5.C　解析:∵y=x2-2x+m,∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-=1.∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大.∵=>,∴y2<y1=y3.故选C. 6.C　解析:由题中图像,得此二次函数过原点(0,0),把点(0,0)代入函数表达式,得a2-1=0,解得a=±1.又因为此二次函数的图像开口向上,所以a>0.所以a=1.故选C. 7.x2-2x-3　解析:把(-1,0),(3,0)代入y=ax2+bx-3,得解得∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 8.y=(x+2)2-3　直线x=-2 (-2,-3)　解析:y=x2+2x-1=(x+2)2-3,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,-3). 9.解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A(1,-2)和B(0,-5), ∴解得 ∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5=(x+1)2-6. ∴图像的顶点坐标为(-1,-6). (2)当y≤-2时,-3≤x≤1. 课后提升 1.B　解析:把点(-2,3)代入y=-x2+bx+c,得c-2b=7,∴2c-4b-7=2(c-2b)-7=2×7-7=7.故选B. 2.C　解析:设P(x,y)为旋转之后所得抛物线上的一点,P绕原点O顺时针旋转180°得到点P'(-x,-y).由题意,可知P'(-x,-y)在抛物线y=x2-4x+3上,即-y=x2+4x+3,化简,得y=-x2-4x-3.故选C. 3.B　解析:如图,过点A作AM⊥y轴,过点B作BN⊥y轴,则∠AMC=∠BNC=90°. ∵∠ACM=∠BCN,∴△AMC∽△BNC.∴==8.∵点A的横坐标为-4,即AM=4,∴BN=.∴ax2+bx+c<kx+m时x的取值范围是x<-4或x>.故选B. 4.A　解析:∵抛物线的对称轴为直线x=-=-2,∴4a-b=0,所以①正确.∵与x轴的一个交点在和之间,∴由抛物线的对称性,知另一个交点在(-1,0)和(0,0)之间.∴当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,所以②错误.由抛物线的对称性,知(-4,y1)与(0,y1)关于对称轴对称,∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=-=-2,∴当x>-2时,y随x的增大而减小.∵-2<0<1,∴y1>y2.所以③错误.∵抛物线的顶点坐标为(-2,3),∴=3.∴b2+12a=4ac.∵4a-b=0, ∴b=4a.∴b2+3b=4ac.所以④错误.故选A. 5.B　解析:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,其内切圆的圆心I的坐标为(0,1),∴CE=OC=OI=1,OB=BD, AE=AD.∴AB=AD+BD=AE+OB.设AE=x,OB=y,∴AC=x+1,BC=y+1.∵∠ABC=30°,∴AB=2AC,即AB=2(x+1),2(x+1)=x+y, 化简得y=x+2.① 由勾股定理,得(x+1)2+=, 化简得3x2+6x-y2-2y+2=0.② 把①代入②,解得x=(负值不符合题意,已舍去),∴AC=x+1=+1.∴A(-1,+1).∵y=ax2+2ax+1=a(x+1)2+1-a, ∴抛物线y=ax2+2ax+1的顶点为.∵抛物线y=ax2+2ax+1的顶点为A,∴+1=1-a.∴a=-.故选B. 6.解:(1)∵点A和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上, ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=2x2-8x+6. (2)∵二次函数的表达式为y=2x2-8x+6, ∴顶点C的坐标为(2,-2). ∵PC⊥x轴,点P在直线y=x+2上, ∴点P的坐标为(2,4).∴PC=6. ∵E为直线y=x+2与x轴的交点, ∴点E的坐标为(-2,0). ∵S△BCE=S△PCE+S△PCB=PC(xC-xE)+PC(xB-xC)=PC(xB-xE), ∴S△BCE=×6×6=18. 7.解:(1)在y=x+6中,令x=0,得y=6,∴B(0,6). 令y=0,则x+6=0,解得x=-8, ∴A( -8,0). (2)设C,抛物线的表达式为y=a(x-m)2+ m+6. ∵抛物线M经过点B, ∴将B(0,6)代入,得am2+m+6=6.解得m=0或m=-,易得m≠0,∴m=-. 将m=-代入y=a(x-m)2+ m+6,整理得y=ax2+x+6, ∴b=,c=6. (3)∵CD∥x轴,点P在x轴上,C, ∴设 P(p,0),点D的纵坐标为m+6. ∵点C,B分别平移至点P,D, ∴点 B、点C向下平移的距离相等. ∴m+6=6-.解得m=-4. 由(2),知m=-,解得a=. ∴抛物线N的表达式为 y=(x-p)2. 将 B(0,6)代入N的表达式,解得p=±4. ∴抛物线N的表达式为 y=(x-4)2或y=(x+4)2. 学科网（北京）股份有限公司 $$