精品解析：安徽省十校联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2024级高二12月学情检测 数学（人教A版）试题A 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直时，直线与平面的法向量共线，即可得解. 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 2. 若首项为2的数列满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据递推关系数列的第四项可得结果. 【详解】因为，. 当，当， 当. 故选：B. 3. 若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线垂直得出直线，再应用点到直线距离计算求解. 【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线距离为. 故选：C. 4. 在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件得出相关向量关系，再利用三棱柱的性质结合向量加减法计算求解． 【详解】 ，分别是线段，上靠近，的三等分点， ，， ，， 又，， ，即 ，故A正确． 故选：A． 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的性质结合已知条件求出焦点及点坐标，进而得出相关向量，利用垂直关系得出数量积为0，构造方程求出的关系，最后利用离心率公式计算求解． 【详解】椭圆左、右焦点，轴，把代入椭圆方程，得， 点位于第二象限内， ，则，故， 又，， ，，即， ，解得， ，故D正确． 故选：D． 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. 60 B. 62 C. 64 D. 66 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系得到，再求出，结合等差数列的通项公式求出即可. 【详解】因为，所以， 两式作差得， 故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列， 又，，得， 故为偶数时，故. 故选：A 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设与轴的切点为，由三角形内切圆切线长性质知，即，计算可解. 【详解】已知双曲线，则， 因为，即， 所以点在双曲线左支上， 因为直线为内切圆的一条切线， 而也是内切圆的一条切线， 所以可设内切圆的圆心为，半径为， 设与轴的切点为， 由内切圆切线长性质可知，， 而，即，解得. 故选：C 8. 已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，利用圆外切线的几何性质得出四点共圆，求出辅助圆的方程，联立两圆方程求出切点弦方程，再通过联立所在直线方程求出定点． 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 是等差数列 B. 不是等差数列 C. 是等差数列 D. 不是等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的定义可判断A、B、C，利用等差数列的函数特性可证明D. 【详解】对于A：，因此是等差数列，故A正确； 对于B：，故是等差数列，故B错误； 对于C： ，故是等差数列，故C正确； 对于D：，，故，易知是等差数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知动点满足，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】易知动点的轨迹为圆.对于A，利用圆的周长公式即可判断；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为，设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的轨迹长度即为圆的周长，，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时，此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为，故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时，动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故，， 因此的最大值为，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离，再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点到轴的距离为6 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为或 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由焦点坐标解得，确定抛物线方程.再延长，分别与抛物线交于与，分别将直线与与抛物线联立，由韦达定理可推出与 关于轴对称，故平分，继而得，因此直线确定，则点依次确定.对于A，由两点坐标计算斜率可判断，再由对称性可得另一解；对于B，由点坐标可判断；对于C，由抛物线的焦半径公式结合三角形的面积公式可判断；对于D，由的大小可判断. 【详解】由题可知，，得，故抛物线. 设，由对称性，不妨设直线与抛物线交于第一象限. 连接并延长，与抛物线交于点，连接并延长，与抛物线交于点. 直线，将直线与抛物线方程联立， 得，由韦达定理可知，，得. 直线，将直线与抛物线方程联立， 得，由韦达定理可知，，得. 故，又因为均在抛物线上，故与关于轴对称，则. 同理可得，与关于轴对称，故. 由与关于轴对称可知平分，故有， 又易知（对顶角相等），且， 故，又因为， 可得，，因此直线. 与抛物线联立，得， 结合图象以及，可知，故， 将代入抛物线，可得，即. 对于A：，由对称性可知，也符合题意，故A正确； 对于B：由前分析可知，由对称性可知也符合题意，两种情况下点到轴的距离均为，故B正确； 对于C：由前分析可知，，故 ，故C正确； 对于D：由前分析可知，直线的倾斜角，由对称性可知，直线的倾斜角为时 （即位于时，此时），也符合题意，故D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件得出圆心和半径，再利用公切线条件得出两圆相交，进而列不等式求出实数的取值范围． 【详解】圆，圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 又两圆有且仅有2条公切线， 两圆相交，即， ， ，即，由恒成立， 只需解不等式，即，解得， 实数的取值范围为． 故答案为：． 13. 在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应点和向量坐标，再求出平面法向量，最后利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ，若点为线段上靠近的三等分点， ， ，， 设平面的法向量为， ，令，则， 点到平面的距离． 故答案为：． 14. 已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】分，，，，几种情况，结合双勾函数性质分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 当时，，由双勾函数性质可知， 随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，，，由双勾函数性质可知， 随着的增大而增大，而，满足题意； 当时，， 此时随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，， 随着的增大而增大，而，满足题意； 当时， ，，由双勾函数性质可知， 当时，随着的增大而减小， 当时，随着的增大而增大， 而，所以当，即，符合题意； 当时，，此时数列的最小项为或， 由题意可得，解得，所以， 当时，即时，必有，不符合题意舍去； 综上，实数的取值范围为，即最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，其中，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求满足条件的的值构成的集合. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）运用等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式求出，再解一元二次不等式，结合为正整数，即可得解. 【小问1详解】 由可知，，， 联立两式，解得，故， 因此数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 故即， 解得，故， 即满足条件的的值构成的集合为. 16. 已知椭圆，点，，在椭圆上，且，关于原点对称. （1）若直线，的斜率存在，求直线，的斜率之积； （2）若直线的方程为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点，根据题意表示出，再运用“点差法”即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，再利用弦长公式即可得解. 【小问1详解】 设，则，由题易知，即. . 因为点均在椭圆上，故有，两式相减得， 整理得，因此. 【小问2详解】 联立直线与椭圆方程，，消去，整理得：， 由韦达定理得，， 由弦长公式， . 17. 已知圆过点，，，圆与圆交于，两点，且点在直线上，直线的方程为. （1）求圆、的方程； （2）过点作相互垂直的两条直线，与圆分别交于、，、，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得圆的方程；设圆的圆心为，半径为，圆与圆相减求得两圆相交弦所在直线方程，结合题意计算即可求解； （2）由，分斜率存和不存在两种情况，列式计算即可求解. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题意可得，解得， 所以圆的方程为，即， 因为点在直线上，设，圆的半径为， 则圆的方程为，即， 因为圆与圆交于，两点， 故两圆相交即得相交弦所在直线方程，即， 因为直线的方程为，即， 故系数比例相同，即，解得，， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 因为，所以点在圆内， 因为，所以，圆心，半径为， 若直线斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为，， 圆心到直线的距离为，，此时， 若直线斜率存在，设斜率为，则直线的斜率为， 则直线，直线， 圆心到直线的距离为，故， 圆心到直线距离为，故， 所以， 化简可得，, 令， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即， 综上，四边形面积的取值范围为. 18. 已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面. （1）求证：为线段的中点； （2）已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示建立方程，得到，进而证明中点即可. （2）利用线面角的向量求法表示出，再利用平方法和换元法求解其最大值即可. 【小问1详解】 由题意得，令，则， 连接，作，则由矩形性质得， 因为平面平面，面，所以面， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为等边三角形，所以由勾股定理得，， 则， 得到，，， 设面的法向量为，， 则，令，解得， 则面的法向量为， 由题意得线段上，则，可得， 而，则，解得， 则，得到， 因为平面，所以， 则，解得， 此时，故为线段的中点. 【小问2详解】 由题意得在线段上，则， 由已知得，则， 设，则， 可得，解得，可得， 由已知得，则， 而，， 设面的法向量为， 则，令，解得， 则面的法向量为， 设直线与平面所成角为，， 则 ， 则， 令，可将化为， 令，由二次函数性质得在上单调递增， 则最小值，此时取得最大值，， 结合题意可得，当取得最大值时，也取得最大值， 则最大值为. 19. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点. （i）求证：；（为坐标原点） （ii）求的最小值，并求出此时，的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）最小值为：3，直线，直线 【解析】 【分析】（1）设双曲线的方程：，将点代入即可求解； （2）（i）设切线，由圆心到切线的距离得，再联立方程，由韦达定理得两根的关系，再由进行求证；（ii）由（i）同理可得，，由于三点共线，设切线与圆的切点为，则，故，再由弦长公式求出进行求解． 【小问1详解】 设双曲线的方程：， 将点代入可得，，解得， 故双曲线的方程为． 【小问2详解】 （i）由题意知，直线，为圆的两条切线， 显然圆的切线，即的斜率存在， 设切线，由于切线不平行于的渐近线，则， 又圆心到切线的距离：，则， 联立方程：，消去得， 由于，设，则， 而， 则， 即，故． （ii）由（i）同理可得，，由于三点共线，则， 设切线与圆的切点为，则， 故， 而 ， 又，则，当时，，， 此时直线平行于轴，则的纵坐标的绝对值为圆的半径， 所以，故直线，直线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二12月学情检测 数学（人教A版）试题A 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 若首项为2的数列满足，则（ ） A B. C. D. 1 3. 若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，第二象限内的点在椭圆上，且轴，若点满足，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且，则（ ） A 60 B. 62 C. 64 D. 66 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知圆，过点作圆两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 是等差数列 B. 不是等差数列 C. 是等差数列 D. 不是等差数列 10. 已知动点满足，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点到轴的距离为6 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为或 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数取值范围为________． 13. 在正方体中，，若点为线段上靠近的三等分点，则点到平面的距离为________． 14. 已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，其中，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求满足条件的的值构成的集合. 16. 已知椭圆，点，，在椭圆上，且，关于原点对称. （1）若直线，的斜率存在，求直线，的斜率之积； （2）若直线的方程为，求的值. 17. 已知圆过点，，，圆与圆交于，两点，且点在直线上，直线方程为. （1）求圆、的方程； （2）过点作相互垂直的两条直线，与圆分别交于、，、，求四边形面积的取值范围. 18. 已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面. （1）求证：为线段的中点； （2）已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右支上的一点作直线，，其中，均与曲线有且只有一个交点，且双曲线的左支与直线交于点，右支与直线交于点. （i）求证：；（为坐标原点） （ii）求的最小值，并求出此时，的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $