河北省保定市部分高中2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一年级12月份考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 图象的一条对称轴方程为 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在区间上的值域为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ） A. 不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使得平面 C. 三棱锥的体积为 D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________． 13. 设点是线段的中点，点在线段外，，，则______． 14. 在中，设角的对边分别是，若，则角B的最大值为__________；则的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. （1）求证：平面； （2）若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 16. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 17. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且． （1）求证：平面平面PAC； （2）求证：平面PAC； （3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值． 18. 在中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 19. 被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法． （1）已知，求； （2）已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求； （3）利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下： ，所以． 类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：） 高一年级12月份考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面； （2），证明如下： 连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 【16题答案】 【答案】（1）． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC， 因为，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC， 因为，平面MOE，平面MOE，所以平面平面PAC. （2） 证明：因为点C在以AB为直径的圆O上，所以， 即BCAC，因为PA平面ABC，平面ABC，所以PABC， 因为，平面PAC，平面PAC，所以BC平面PAC. （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $数学答案 1.D2.B3.B.4.A.5.D6.D7.A8.B9.BD10.ABC11.BCD π4W5 12.-213.V514.3;3 15.(1)因为CDIAB,CD￠平面PAB,ABC平面PAB,所以CD∥平面PAB; (2)连接BD交AC于O,连接OM 因为PB/平面MAC,且PBC平面PBD,平面PBD∩平面MAC=MO,所以 PB//MO. D 则△D0M~△DBP,可得器-89又因为CD/AB.可知△COD~△A0B,则8-铝=2 因此器=2 16.(1) 国-i血mm-owam安9如aa2-1ax君l 由f(W的图象上相邻两条对称轴之间的距离为5有T-死元，得0=1， 20 所以f(x)=sin2x- 0-1 6 令分+2≤2-君5+2mkeZ.解得-名a≤s号ate2. 62 6 所以通数f)的单调增区间为[。+号+《e) 6 2)(i)已刻=m(28君10由 得B=亚 a 由正弦定理sinA"sinC-sinB5=2,得a=2sinA,c=2sinC, =2 2 所以，a+c-2sinA+2simC =2 sin A+sin C sinA+sinC （ii）由(i）可知a=2sinA,c=2sinC, 3 2 -3n2A-5s2A+5-5m24-+5 4 4 42 64 0<A< 2 由△ABC是锐角三角形，有 得A∈ππ】 2A-亚∈匹5π） 0 2π-A< (6’2 6(6’6 3 2 所以-5m24+5e535 29 6 4 2’4 即△ABC面积的取值范围是 2 ’4 17.(1)证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点， 所以OE/IPA,因为PAC平面PAC,OEd平面PAC,所以OE∥平面PAC, 因为OMI∥AC,因为ACC平面PAC,OMt平面PAC,所以OMI∥平面PAC 因为OE⌒OM=O,OEc平面MOE,OMc平面MOE,所以平面MOE∥平面PAC. (2)证明：因为点C在以AB为直径的圆O上，所以∠ACB=90° 即BCL⊥AC,因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PAL BC 因为PA∩AC=A,PAC平面PAG,ACC平面PAC,所以BC⊥平面PAC (3)由(2)知BC⊥面PAC,所以∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角 在Rt△PAC中，PC=√PA2+AC2=√，在Rt△ABC中， BC=ABP-AC=3. 在Rt△PBC中.PB=VPC2+BC=2√2，所以sim∠BPC= BC6 PB 4 直线PB与平面P4AC所成的角的正弦值为6 18.(①)因为aboC=a+9csmB,所以由正弦定理得BsinBcowC=-s血A+9 inCsinB,所以 sinBcosC-sin[r-(B+C)sinCsinB.sinBcosC-sin(B+C)sinCsinB. 所以sinBeosC=-sinBcosC+coBsinC+-9 sinCsinE.所以cosBsinC+9 sinCsinB=0.因为 sinc≠0.所以cosB+号sinB=0,所以tanB=-V3因为Be(0,m).所以B= (2)因为角B的角平分线交AC于点D,所以LCBD=LABD=LABC=F因为BD=V3, 所以由SAABG=SABCD+SAABD,得影acsin牙=a·V3sin号+c·V3sing所以ac=V3(a+ 0).由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos牙所以(a+c)2-ac=36.所以(a+02-V3(a+ c)-36=0,解得a+c=4V3或a+c=-3V3(舍去)，所以ac=12,解得a=c=23,所 以BC=BA,因为角B的角平分线交AC于点D,所以BD 1 AC,因为EC=2EA,所以DE=1, 所以S△BDB=×1×V3= 2 B D E (2)因为z1=i,32=1-i,则点A(0,1),B(1-1),可得OA=(0,1),AB=（1,-2) 则oc-o1+ac=01+号6=(01+-2)-（后 所网-+胃5 (3)由题意可得： cosx+isin3x)( =(cosx+isinx)3 cos3x+3cos2x(isinx)+3cosx(isinx)+(isinx) cos3 x-3cosxsin2 x+i(3cos2 xsinx-sin3x) cos3x-3cosx(1-cos2x)+i 3(1-sin2 x)sinx-sin3 x =4cos3 x-3cosx+i(3sinx-4sin3 x) sin3x=3sinx-4sin3 x,cos3x=4cos3x-3cosx.