精品解析：云南省文山壮族苗族自治州文山市第二学区四校2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

2025学年上学期文山市第二学区期末质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，向东走为正，则向西走为负，进行判断即可． 【详解】解：由题意，向西走3米记为米； 故选A． 2. 云南省2024年教育大会上强调：在基础教育方面，把新建、改建幼儿园作为10件惠民实事之一，累计增加公办学位个．数字用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，此时中，，n为正整数且n等于原数的整数位数减1． 直接用科学记数法的形式表示即可． 【详解】解： 故选：C 3. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是中心对称图形的为（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义（绕某一点旋转180度后能与自身完全重合的图形）是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、爱不是中心对称图形，不符合题意； B、我不是中心对称图形，不符合题意； C、中是中心对称图形，符合题意； D、华不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、积的乘方、合并同类项，掌握相关知识点是解题的关键． 根据同底数幂的乘法与除法、积的乘方、合并同类项的运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 5. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴将，代入，得： 解得：， 故选：B． 6. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 7. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，根据频率估计概率，摸出红球的频率稳定在0.25，因此红球的概率约为0.25，再用球的总数乘以概率即可得红球个数． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在0.25左右， ∴摸出红球的概率约为0.25， （个）， ∴袋子中红球的个数可能是5个， 故选：A． 8. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 9. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的规律探究，解题的关键是根据单项式找到规律．通过观察单项式发现：，，，，，则第个数为；，，，，发现前一项乘以等于后一项，得第个数为． 【详解】∵，，，， ∴，，，， 则第个单项式为， 故选：C． 10. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 11. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式判断出开口方向和对称轴，再判断出离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴， ∴离y轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故选：A． 12. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 13. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 14. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，设该圆锥的底面圆的半径为，圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用此关系列方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为， 故选：B． 15. 二次函数的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴，性质计算判断即可． 【详解】解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则，而，故，故A错误，不符合题意； B、图像过点，故，故B错误，不符合题意； C、图像对称轴为直线，故，故C正确，符合题意； D、图像过点，故当时，，故，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴，性质计算，熟练掌握对称轴，数形结合思想是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，共8分． 16. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 17. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形是矩形是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质得到，，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积． 故答案为：． 19. 某校为了解七年级学生对中华戏曲知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：，部分信息如下： 若该校七年级共有720名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的学生约有______人． 【答案】240 【解析】 【分析】先求出样本中A等级人数的占比，再乘720即可得出结论． 本题主要考查用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：样本容量为：， ， 估计成绩为A等级的学生约有240人． 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共62分． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式、绝对值、有理数乘方的运算法则化简，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点B的坐标是． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点A逆时针旋转后的，并求的面积． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为； （2）图见解析，的面积为 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、轴对称变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作出图形，根据点的位置写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质作图，再利用割补法即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 的面积． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． （1）若所围成的矩形花园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； （2）当为多少时，矩形花园的面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1）4米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数关系式，是解题的关键： （1）设，则：，所围成的矩形花园的面积为，根据面积公式列出函数关系式，令，求出的长即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设，所围成的矩形花园的面积为，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：，（舍去）， ∴（米）； 答：所利用旧墙的长为米； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最大为：， 答：矩形花园面积的最大值为平方米． 23. 为持续推动劳动教育高质量发展，营造“五育并举”的良好育人环境，某校计划开设主题选修课供学生实践体验，确保学生深度参与并体验到劳动的乐趣和价值．该校七年级年级组准备从农业生产劳动、工业生产劳动、传统手工艺劳动三个教学方向中，随机选择一个教学方向进行选修课开课筹备，且每个教学方向被选到的可能性相等；八年级年级组准备从农业生产劳动、工业生产劳动、传统手工艺劳动、新技术应用与体验四个教学方向中，随机选择一个教学方向进行选修课开课筹备，且每个教学方向被选到的可能性相等．记选择农业生产劳动为，选择工业生产劳动为，选择传统手工艺劳动为，选择新技术应用与体验为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的概率． 【答案】（1）表格见解析，所有可能出现的结果总数为12种 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用列表法或画树状图求概率，解题的关键在于根据题意列表或画树状图． （1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据概率所求情况数与总情况数之比．由表格（或树状图），得到共有6个等可能的结果，该校七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的情况有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意列表如下： 由上表可知，共有12种等可能性结果； 【小问2详解】 解：七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的情况有3种， 即，，， 记该校七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的概率为事件， ． 24. 如图，在菱形中，相交于点，过点作，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点到线段的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）点到线段的距离为． 【解析】 【分析】（）由菱形的性质得，，进而得到，，得到四边形是平行四边形，即可求证； （）过点作于点，证明为等边三角形，得到，进而得，得到，即得，得到，，再证明，得到，代入已求线段即可求解； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：过点作于点，则，线段即为点到线段的距离， 由（）知，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到线段的距离为． 25. 根据下列素材，按要求完成任务． 如何设计利润最大方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析…… 销售单价x（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量y（件） … 72 64 56 48 40 … 任务一 确定销售量与销售单价之间的关系 请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系； 任务二 预估销售单价 若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ 任务三 拟定销售方案 设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】任务一：；任务二：40元；任务三：销售单价定为50元时，最大利润为800元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 任务一：根据素材2知，销售单价每增加4元，每天的销售量减少8件，则与之间的关系是一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； 任务二：设每件商品的售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； 任务三：由题意得，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：任务一： 根据素材2知，销售单价每增加4元，每天的销售量减少8件， 每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系是一次函数关系， 设函数关系式为， 代入和，得， 解得， ； 任务二： 设每件商品的售价应定为元， 根据题意，得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：每件商品的售价应定为40元； 任务三： 由题意得，， ， 当时，有最大值，最大值为800， 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 26. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等，熟记以上性质定理是解题的关键． （1）连接，由弦平分，且可证明，可推出，即可证明结论； （2）连接，则，根据含角的直角三角形的性质推出，然后在直角三角形中根据勾股定理求出即可推出结果． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 则的半径为． 27. 已知抛物线． （1）若，求抛物线的解析式； （2）当时，设，试比较T和1的大小； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的解析式、抛物线与轴的交点、一元二次方程的解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到抛物线的解析式即可求解； （2）代入，到抛物线解析式，整理得到，则有或，再分2种情况讨论T和1的大小即可． 【小问1详解】 解：当时， 则， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 整理得：， ∴或， ①当时，即， ， ∵， ∴； ②当时，则， ， ∴； ∴综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年上学期文山市第二学区期末质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 云南省2024年教育大会上强调：在基础教育方面，把新建、改建幼儿园作为10件惠民实事之一，累计增加公办学位个．数字用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是中心对称图形的为（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 9. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 10. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 11. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 13. 某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 15. 二次函数的部分图像如图所示，图像过点，对称轴为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，共8分． 16. 分解因式：_____． 17. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 18. 如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______． 19. 某校为了解七年级学生对中华戏曲知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：，部分信息如下： 若该校七年级共有720名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的学生约有______人． 三、解答题：本题共8小题，共62分． 20. 计算：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点B的坐标是． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点A逆时针旋转后的，并求的面积． 22. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． （1）若所围成的矩形花园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； （2）当为多少时，矩形花园的面积最大，最大值是多少？ 23. 为持续推动劳动教育高质量发展，营造“五育并举”的良好育人环境，某校计划开设主题选修课供学生实践体验，确保学生深度参与并体验到劳动的乐趣和价值．该校七年级年级组准备从农业生产劳动、工业生产劳动、传统手工艺劳动三个教学方向中，随机选择一个教学方向进行选修课开课筹备，且每个教学方向被选到的可能性相等；八年级年级组准备从农业生产劳动、工业生产劳动、传统手工艺劳动、新技术应用与体验四个教学方向中，随机选择一个教学方向进行选修课开课筹备，且每个教学方向被选到的可能性相等．记选择农业生产劳动为，选择工业生产劳动为，选择传统手工艺劳动为，选择新技术应用与体验为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的选修课教学方向相同的概率． 24. 如图，在菱形中，相交于点，过点作，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点到线段的距离． 25. 根据下列素材，按要求完成任务． 如何设计利润最大方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析…… 销售单价x（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量y（件） … 72 64 56 48 40 … 任务一 确定销售量与销售单价之间的关系 请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系； 任务二 预估销售单价 若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ 任务三 拟定销售方案 设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 26. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 27. 已知抛物线． （1）若，求抛物线的解析式； （2）当时，设，试比较T和1的大小； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $