2026年湖北省初中学业水平考试模拟试题数学（一）

2026年湖北省初中学业水平考试模拟试题 数 学 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列四个选项中，负无理数的是（　　） A． B．﹣1 C．0 D．3 2．如图，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A．B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A．a3•a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3 C．（a≥b≥0） D．2（a≥0） 4．已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 5．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（　　） A．出现点数为6的概率是 　　B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 　　D．出现点数为奇数是不可能事件 6．将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若AB∥CE，则∠BCD的大小为（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 　　第6题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7．在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（　　） 　　A．24 B．27 C．45 D．50 　　　第7题　　　　　　　　　　　　　第8题　　　　　　　　　　　　　　第9题 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为（　　） A．52° B．54° C．64° D．74° 9．如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F． 根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，，则线段AE的长为（　　） A． B． C．5 D． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 　　 ． 12．若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　　 ． 13．化简的结果是 14．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 15．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则ＢＣ的长是　　　　　，△ABC的周长是____.。 三、解答题：（本大题共9题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（6分）（1）计算：2sin60°+|1|； 17．（6分）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B＝∠ADE，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 18．（6分）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 19．（8分）某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术：D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　 　名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角α＝　 　度： （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数． 20．（8分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 21．（8分）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E．连接CD，BD． （1）过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由； （2）在（2）的条件下，若⊙O的半径为3，DE＝4，求CD的长． 22．（10分）已知A型号消毒水每瓶进价是20元，B型号消毒水每瓶进价是30元．某经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售（销量都是整数），当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶；B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完． （1）设A型号消毒水每瓶定价为x元（x为大于30的整数），用含x的代数式填空：①A型号消毒水的销量为 　 　瓶；②B型号消毒水的总进价为 　 　元；③B型号消毒水的销量为 　 　瓶． （2）求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； （3）若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出A型号消毒水每瓶有几种定价． 23．（11分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，CD＝nBC（n），连接AD，E是BA延长线上一点，∠E＝∠DAC． 问题提出：当n＝1时，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图2，当∠ABC＝60°时，直接写出的值； （2）再将问题一般化．如图1，证明（1）中的结论仍成立； 问题拓展： （3）如图3，过点C作CM⊥BE于点M，若，直接写出的值（用含n的式子表示）． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1（x﹣1）2+1的图象与x轴的正半轴相交于点A，二次函数y2＝ax2+c的图象经过点A，且与二次函数y1的图象的另一个交点为B，点B的横坐标为． （1）求点A的坐标及a，c的值． （2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别相交于点C，D，与直线AB相交于点E，当m＜3时， ①求证：DE＝2CE； ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值． （3）二次函数y1（x﹣1）2+1（x＜3）与二次函数y2＝ax2+c（x≥3）组成新函数y3，当x≤t﹣n时，函数y3的最小值为，最大值为t，求n的取值范围． 2026年湖北省初中学业水平考试模拟试题 数学参考答案及评分说明 评分说明： 1．若有与参考答案不同的解法而解答过程正确者，参照评分标准分步给分； 2．学生在答题过程中省略某些非关键性步骤，不扣分；学生在答题过程中省略了关键性 步骤，后面解答正确者，只扣省略关键性步骤分，不影响后面得分。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（3分）下列四个选项中，负无理数的是（　　） A． B．﹣1 C．0 D．3 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【解答】解：是负无理数， ﹣1，0，3是整数，它们不是无理数， 故选：A． 【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A．B． C． D． 【分析】根据“面动成体”进行判断即可． 【解答】解：将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周所得到的立体图形是圆锥， 故选：B． 【点评】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确解答的关键． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a3•a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3 C．（a≥b≥0） D．2（a≥0） 【分析】利用二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a3•a5＝a8，则A不符合题意， （﹣2ab）3＝﹣8a3b3，则B不符合题意， 与不一定是同类二次根式，无法合并，则C不符合题意， 2（a≥0），则D符合题意，故选：D． 【点评】本题考查二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4.（3分）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x220．故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 5．（3分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（　　） A．出现点数为6的概率是 　　B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 　D．出现点数为奇数是不可能事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A．出现的点数是6的概率是，故A正确，符合题意； B．出现的点数为0是不可能事件，故A错误，不符合题意； C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件，故C错误，不符合题意； D．出现的点数为奇数是随机事件，故D错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是概率公式、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．（3分）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若AB∥CE，则∠BCD的大小为（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 【分析】根据直角三角板的度数，平行线的性质可得∠BCD的度数． 【解答】解：∵AB∥CE，∠A＝30°，∴∠ACE＝∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90° ∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．故选：D． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质． 7．（3分）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当t＝25和t＝40时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案． 【解答】解：设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P（k≠0）， 把t＝60，P＝20代入解析式得：20，解得：k＝1200，∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P；∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小， ∴当t≥25时，P48，当t≤40时，P30，∴30≤t≤48，故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 8．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为（　　） A．52° B．54° C．64° D．74° 【分析】连接AC，由圆周角定理得到AC是圆的直径，由切线的性质推出∠CAE＝90°，由圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD＝52°，由圆周角定理得到∠CAD＝∠CAB∠BAD＝26°，即可求出∠DAE的度数． 【解答】解：连接AC，∵∠ADC＝90°，∴AC是圆的直径，∵直线EA与⊙O相切于点A， ∴EA⊥AC， ∴∠CAE＝90°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝128°， ∴∠BAD＝52°， ∵CD＝BC， ∴， ∴∠CAD＝∠CAB， ∴∠CAD∠BAD＝26°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝64°，故选：C． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，由圆周角定理推出∠CAD＝∠CAB． 9．（3分）如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F． 根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，，则线段AE的长为（　　） A． B． C．5 D． 【分析】根据作法得AD平分∠ACB，EF垂直平分CD，所以∠ECD＝∠FCD，CE＝DE，从而证明DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【解答】解：连接DE， 由作法得CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）， ∵EF垂直平分CD， ∴CE＝DE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴∠ECD＝∠EDC，∴∠FCD＝∠EDC， ∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∵AD＝4，DB＝2，， ∴，∴，∴， ∴，∴．故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得a＞0，c＞0，根据抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x＝﹣1时y＞0，即可逐一判断，进而求解． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，b2﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确；∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个，故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 　﹣1　 ． 【分析】增加和减少具有相反意义，根据正负数可以表示一对具有相反意义的量即可求解． 【解答】解：为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了学生对正负数意义理解与掌握，用正负数表示两种具有相反意义的量． 12．（3分）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ 　﹣2　 ． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象过点（﹣2，1），∴k＝﹣2×1＝﹣2，故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 13．（3分）化简的结果是 【分析】将原式变形后将分子相减，然后约分即可． 【解答】解：原式 ＝x+1， 14．（3分）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 美 丽 山 河 美 （美，丽） （美，山） （美，河） 丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河） 山 （山，美） （山，丽） （山，河） 河 （河，美） （河，丽） （河，山） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种，∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 15．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的周长是____. 解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时， BP的最大值为5，即BC＝5，由于M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC时，BP＝4， ∴由勾股定理，得PC＝3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，曲线右端点纵坐标为5，∴AB＝BC＝5，∴此时PA＝PC＝3(三线合一)，∴AC＝6，∴△ABC的周长为5＋5＋6＝16，故答案为16. 三、解答题：（本大题共9题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（6分）（1）计算：2sin60°+|1|； 【解答】解：（1）2sin60°+|1|； 17．（8分）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B＝∠ADE，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 【分析】根据∠BAD＝∠CAE，得到∠BAC＝∠DAE，利用AAS，即可得证． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18．（6分）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB＝13.20m，求AD的长（精确到0.1m）． 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75． 【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为点E，根据题意可得：四边形ABCE为矩形，从而可得CE＝AB＝13.20m，然后先在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 由题意得：四边形ABCE为矩形， 所以CE＝AB＝13.20m， 在Rt△ACE中，， 所以（m），在Rt△ADE中，， 所以（m），因此，AD的长约为37.5m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19．（8分）某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术：D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 　200　名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角α＝　54　度： （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数． 【解答】解：（1）①调查人数：50÷25%＝200（名），故答案为：200； ②C组的人数：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名）， 补全条形统计图如下： ③扇形统计图中圆心角α＝360°54°，故答案为：54； （2）32001120（人）， 答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120人． 20．（8分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 【分析】（1）把C的坐标为（2，2）代入反比例函数，即可得到答案； （2）求解CO2＝22+22＝8，证明AC＝CO，求解，如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置；可得OE＝OA＝4，结合D的对应点G在的图象上，可得EG＝1，进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的表达式为：； （2）∵C（2，2），∴CO2＝22+22＝8，∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°， ∴AC＝CO，，如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置， ∴OE＝OA＝4， ∵D的对应点G在的图象上， ∴yG＝1， ∴EG＝1， 由旋转可得：AD＝GE＝1， ∴D（﹣1，4）． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键． 21．（8分）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E．连接CD，BD． （1）过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由； （2）在（2）的条件下，若⊙O的半径为3，DE＝4，求CD的长． 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下，连接OD，证明∠ADO+∠EDF＝90°，∠DAO+∠EDF＝90°，结合∠F+∠DAO＝90°，可得∠F＝∠EDF，进一步可得结论； （3）如图，过D作DH⊥AB于H，求解，，，，可得，从而可得答案． 【解答】 （1）补图如下，△DEF为等腰三角形，理由如下： 连接OD， ∵DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E， ∴∠ODE＝90°， ∴∠ADO+∠EDF＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠DAO+∠EDF＝90°， ∵AE⊥EF，∴∠F+∠DAO＝90°， ∴∠F＝∠EDF，∴ED＝EF， ∴△EDF是等腰三角形； （2）如图，过D作DH⊥AB于H， ∵⊙O的半径为3，DE＝4，∠ODE＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∴， ∴，∴． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（10分）已知A型号消毒水每瓶进价是20元，B型号消毒水每瓶进价是30元．某经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售（销量都是整数），当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶；B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完． （1）设A型号消毒水每瓶定价为x元（x为大于30的整数），用含x的代数式填空：①A型号消毒水的销量为 　（250﹣5x）　瓶；②B型号消毒水的总进价为 　（100x﹣3000）　元；③B型号消毒水的销量为 　　瓶． （2）求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； （3）若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出A型号消毒水每瓶有几种定价． 【解答】解：（1）①A型号消毒水的销量100﹣5（x﹣30）＝（250﹣5x）瓶； ②B型号消毒水的总进价2000﹣20（250﹣5x）＝（100x﹣3000）元； ③B型号消毒水的销量为瓶． 故答案为：①（250﹣5x）；②（100x﹣3000）；③． （2）设销售A，B两种型号消毒水的总利润为W元，依题意得：W＝（250﹣5x）（x﹣20）（60﹣30）＝﹣5x2+450x﹣8000＝﹣5（x﹣45）2+2125，∵， 30＜x≤50，且x为3的整数倍；∴x＝45时，W取最大值，w＝2125， 答：销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元； （3）∵销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，W≥1945，﹣5（x﹣45）2+2125≥1945， 解得39≤x≤51，结合解析（2）30＜x≤50，39≤x≤50，∵x为3的整数倍， x＝39或42或45或48，共有4种定价，答：A型号消毒水每瓶有4种定价． 23．（11分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，CD＝nBC（n），连接AD，E是BA延长线上一点，∠E＝∠DAC． 问题提出：当n＝1时，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图2，当∠ABC＝60°时，直接写出的值； （2）再将问题一般化．如图1，证明（1）中的结论仍成立； 问题拓展： （3）如图3，过点C作CM⊥BE于点M，若，直接写出的值（用含n的式子表示）． 【解答】（1）解：如图1，∵n＝1，CD＝nBC，∴CD＝BC，∵∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴CD＝AC，∴∠CAD＝∠D＝30°，∴∠BAD＝60°+30°＝90°，∴AD＝AB•tan60°AB，∵∠E＝∠DAC＝30°，∴∠BCE＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴CE＝BC•tan60°BCAB，∴1； （2）证明：如图2， 以C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点F，连接CF， ∴CB＝CF，∴∠B＝∠CFB， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB， ∴∠CFB＝∠ACB，∴∠AFC＝∠ACD， ∵∠E＝∠CAD，∴△ACD∽△EFC， ∴n； （3）解：如图3， 以C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点F，连接CF， 由（2）得：CF＝CB，△ACD∽△EFC， ∴， ∵AB＝AC，∴，∵CM⊥AB，∴BM＝FM，设BM＝FM＝t，AE＝3a，AB＝2a，AE＝3a， ∴BE＝AB+AE＝5a，∴EF＝BE﹣BF＝5a﹣2t，∴，∴t∴． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1（x﹣1）2+1的图象与x轴的正半轴相交于点A，二次函数y2＝ax2+c的图象经过点A，且与二次函数y1的图象的另一个交点为B，点B的横坐标为． （1）求点A的坐标及a，c的值． （2）直线x＝m与二次函数y1，y2的图象分别相交于点C，D，与直线AB相交于点E，当m＜3时， ①求证：DE＝2CE； ②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m的值． （3）二次函数y1（x﹣1）2+1（x＜3）与二次函数y2＝ax2+c（x≥3）组成新函数y3，当x≤t﹣n时，函数y3的最小值为，最大值为t，求n的取值范围． 【分析】（1）先求出A（3，0），，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答； （2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（3，0），分别代入，得直线AB的解析式为，设点E的坐标为，求出， ，，则， ，即可解答． ②当AC∥DB时，△ACE∽△BDE，当AD∥BC时，△BCE∽△ADE，再分类讨论，即可解答； （3）易得，当时，y3取得最小值为，解出；当x＝1时，函数y3的最大值为，解得；当y2＝1时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【解答】解：（1）令，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（3，0）， 将代入，得，∴， 将A（3，0），分别代入，得 ，解得． 答：点A的坐标为（3，0），a，c的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），由条件可得： ，解得， ∴， 设点E的坐标为，∵，∴，将x＝m代入y1得， 将x＝m代入y2，得， ∴， ， ∴DE＝2CE； ②如图： 当AC∥DB时，△ACE∽△BDE， ∴，∴， 即，解得． 当AD∥BC时，△BCE∽△ADE， ∴，∴，即，解得，∴或． （3）由条件可知， ∴当时，y随x的增大而增大；当1＜x＜3时，y随x的增大而减小； 当x≥3时，y随x的增大而增大．且当时，y3取得最小值． ∵当时，函数y3的最小值为，最大值为，∴当时，y3取得最小值为，即，解得．∵时，函数y3的最大值为， ∴当x＝1时，函数y3的最大值为，即，解得；当y2＝1时，，解得，或（舍去），∴，∵，∴，化简得，解得，． 【点评】本题考查二次函数的图象综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键．，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/8 19:48:33；用户：陈岩；邮箱：18576409 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $