专题12 二元一次方程的含参问题（8大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过梳理二元一次方程（组）的基本概念与含参解法策略构建知识体系，用列表清晰呈现二元一次方程（组）定义及参数识别要点，结构化归纳变参为主法、整体代入法等三大核心解法，明确重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于8大题型的系统分类与分层练习设计，如“错解复原问题”引导学生通过错误解分析参数关系培养推理能力，“含参应用题”结合实际情境强化模型意识。典例与基础、提升练习搭配，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题12二元一次方程的含参问题(8大基本题型) 专题概览 题型1：含参数的二元一次方程组解法 题型2：已知方程组的解求参数的值 题型3：二元一次方程组的同解问题 题型4：根据方程组解的情况求参数 题型5：二元一次方程组的整数解问题 题型6：二元一次方程组的新定义问题 题型7：二元一次方程组的错解复原问题 题型8：二元一次方程组的含参应用题 核心知识点总结 一、二元一次方程（组）的基本概念与参数识别 含参问题的基础是准确理解二元一次方程（组）的定义，并能识别其中的参数（通常用字母表示的 系数或常数项)。 1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程（如十by =c,其中a,b不同时为0)。 2.二元一次方程组的定义：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组（如+v=C,其中ab dx+ey=f 不同时为0，d,e不同时为0)。 参数的识别：方程（组）中除未知数x,y外的字母均为参数。 二、含参二元一次方程组的解法策略 含参方程组的核心是通过消元法（代入或加减）将参数与未知数分离，常见策略包括： 1.变参为主法：将参数视为“未知数”，通过消元建立关于参数的方程求解。 2.整体代入法：利用方程组的结构特征，将含参数的项视为整体进行代入，简化计算。 3. 待定系数法：将参数视为“系数”，通过“相等多项式系数相等”的性质求解。 题型归纳 【题型1】含参数的二元一次方程组解法（恒成立问题） 题型说明：方程组中包含参数（如α，b,m等），需通过消元法将参数与未知数分离，求出未知数的 表达式（用参数表示）。 核心解题思路：将参数视为“已知常数”，采用代入消元法或加减消元法解方程组，用参数表示未 知数x,y。 详细步骤： 1.选择消元方法：观察方程组中未知数的系数，若某未知数系数为1或一1，优先用代入消元法；若 系数成倍数关系，用加减消元法。 2.消元求解：通过消元得到一元一次方程，解出其中一个未知数（用参数表示），再代入原方程求 另一个未知数。 3.验证正确性：将解代入原方程组，检查是否满足所有方程（避免计算错误)。 【典例1】已知a,b,c满足a+b-4c+24=0,a-b-2c+10=0. (1)a=,b= (请用含c的代数式表示a,b)· (2)若代数式a+mb的值与c的取值无关，求m的值. x+2y=1+a 【练习1】关于x,y的二元一次方程组 2x+y=1-a 则下列代数式的值与a无关的是() A.x+y B.x-y C.2x+y D.2x-y 【练习2】数轴上A、B两点所表示的数分别为a,b,且a,b满足(2a-b-2k+1+a-2b+3k-2=0. (1)当k=2时，求数轴上4、B两点所表示的数； (2)若a-b=5,求k的值； (3)若点A在原点O的左边，点B在原点O的右边，线段OB上有一动点P,试说明无论点P在线段OB上 怎么运动，8AP+7PB-P0的值不会发生改变，并且与k无关， 【练习3】规定：对于平面直角坐标系xOy中任意一点P(x,y,若y=2x,则我们称点P(x,y)为“雅赞 点”.例如：对于点1,2)，因为2=1×2，所以点(1,2)是“雅赞点” (1)以下各点：①3,6；②(-4，-2)；③(0,0)中，是“雅赞点”的是 (请填写序号)； (2)若点Ap-1,9+1)是“雅赞点”，且点A向右平移3个单位长度后得到点B,点B到两坐标轴的距离相 等，求此时“雅赞点”点A的坐标； *y=3 n+t=6k-2x (3)己知“雅赞点”Cm,n,D(s,,关于x,y的方程组 与 -2y=-1 有相同的解。 m-s=k+x-2y 4 ①用含k的式子表示m和s; ②若对于任意K,等式-2m=30k-2025+:恒成立，求100：+100x-18a的值. y 【题型2】已知方程组的解求参数的值 题型说明：给出方程组的解（含参数或具体数值），求参数的值（如α，b的具体数）。 核心解题思路：解的定义一方程组的解满足每个方程，将解代入方程组，建立关于参数的方程（组）， 求解参数。 详细步骤： 1.代入解：将已知的解(x,y)代入方程组中的每个方程，得到关于参数的方程。 2. 解参数方程组：若参数个数与方程个数相同，直接解方程组；若参数个数多于方程个数，需结合 其他条件（如参数为整数）求解。 3. 检查参数合理性：若参数有范围限制（如整数、正数），需验证解是否符合条件。 【典例1】已知 x=2 y=1 是方程ax-y=2的解，则代数式6a-3b-4的值为 【练习1】若关于x,y的方程组 ax+y=7 x=3 的解为 则a,b的值分别是a= x+by=-2 y=11 x=2 【练习2】己知 1是二元一次方程组 ax+by=7 ax-by=1 的解，则5a-3b的值为 x=3 【练习3】关于x,y的二元一次方程kx-2y=5的解是 y=2 则k的值为 【题型3】二元一次方程组的同解问题 题型说明：两个方程组有相同的解，求参数的值（如α，b)。 核心解题思路：公共解一两个方程组的解相同，说明该解满足所有方程，先求出公共解，再代入 含参数的方程求参数。 详细步骤： / 1.求公共解：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解(x,】 2. 代入含参数方程：将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组。 3. 解参数方程组：解出参数a,b,m的值。 2x+ay=10 -y=-2.5 【典例1】若方程组 3x+4y=13.5和 3x-y=15同解，则a的值是() A.2 B.3 C.4 D.不存在 2x+5y=-6」 【练习1】已知关于x,y的方程组 br-ay=2的解和 x-5y=16的解相同，则(a+6)的值为() bx+ay=-8 A.-2025 B.-1 C.2025 D.1 2x+3y=3[3x-2y=11 【练习2】若关于x、y的方程组 ar-y5和{x-1有相同的解.则(a+的值为《) A.0 B.-1 C.1 D.2021 2x+y=3 2x+my =4, 【练习3】已知方程组 (x+y=1 和方程组 r+y=1 的解相同，求m,n的值. 【题型4】根据方程组解的情况求参数 题型说明：已知方程组解的情况（唯一解、无解、无穷多解），求参数的值（如k)。 核心解题思路：系数比例关系一二元一次方程组 ∫a,x+by=G的解的情况由系数比决定： ax+b,y=c, 1. 唯一解：4≠≠9（两直线相交）： az b2 C2 2. 无解：4=≠9（两直线平行）： a2b29 3. 无穷多解：4-久-S(两直线重合)。 a,b,C, 详细步骤： 1.写出系数比 2. 判断解的情况 【典例1】下列关于方程x+y=1的解的说法错误的是() A.,=0是它的解 B.它只有一个解 C.以它的解为坐标的点组成的图象是一条直线D.它有无数多个解 【练习1】【材料阅读】 x=-1x=0x=1 二元一次方程x-y=1有无数个解，如： y=-2'1y=-1'1y=0' …如果我们将方程的解看成一组有 序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x-y=1的解为坐标 的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解.我们把这条直线 称为该方程的图象 (1)【问题探究】 (1)请在图2中画出二元一次方程组 2x+y=4 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的 x-y=-1 解为 x+2y=4① (2)(2)己知关于x,y的二元一次方程组 无解，请在图3中画出符合题意的两条直线： x-3y=3② 设方程①图象与x轴，y轴的交点分别是A与B,方程②图象与x轴，y轴的交点分别是C与D,计算 ∠AB0+∠DC0的度数： (说明：三角形的内角和为180°可以直接使用)· (3)【拓展应用】 2x+y=4 (3)图4中包含关于x,y的二元一次方程组 的两个二元一次方程的图象，请直接写 x-2m+y=-3 出该方程组的解 72 2345x 2345 图1 图2 图3 图4 【练习2】【数学活动回顾】七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标(x的值为横 坐标，y的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与它的图像上点的坐标的关系， 规定：以方程x一y=0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x一y=0的图像， 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图像都是一条直线.示例：如图1，我 们在画方程x-y=0的图像时，可以取点A-1,-1)和B(2,2)作出直线AB. 5 B2,2) 32 -5-4-3-2-1 012345x -54321345 +2 3 -3 -4 -4 L5 -5H 图1 图2 图3 【解决问题】(1)请在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组 x-y=-1 中的两个二元一次 2x+y=4 方程的图像。 (2)观察图2所画的图像，两条直线的交点坐标是 ，由此得出这个二元一次方程组的解是 【拓展延伸】(3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程x+y=1的图像4和x+y=-2的图像马如 x+y=1 图3所示.请根据图像，直接判断方程组 的解的情况是 (填“有解”或“无解”) x+y=-2 ②己知点A3,-2),B(-1,2)在二元一次方程ax+y=5的图像上，求a,b的值. 2x+3y=15-15m ③在②的条件下，以关于x、y的方程组 的解为坐标的点在方程ar+by=5的图像上，当 3x+2y=8+10m n<m时，化简：119-5n-√(5n-18)2. x=-1x=0 x=1 【练习3】【材料阅读】二元一次方程x-y=1有无数组解，如： y=-2'=-1'=0 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示， 探究发现：以方程x-y=1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐 标全都是该方程的解.我们把这条直线称为该方程的图象. 5 4 3 x+y= 3 2 2 -5-4-3-2-10 2345x -5-4-3-2-10 2345x 2 3 -3 4 5 5 图1 图2 个 5 4 32 (7,2) 10 2345元 3 2 00.5 3 4 5 图3 图4 【问题探究】 2x+y=4 (1)请在图2中画出二元一次方程组 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的 x-y=-1 解： x+2y=4 (2)已知关于x,y的二元一次方程组 无解，请在图3中画出符合题意的两条直线；设方程 -3y=31 x+2y=4的图象与x,y轴的交点分别是A,B,方程kx-3y=3的图象与x,y轴的交点分别是C,D, 计算∠AB0+∠DC0的度数. [2x+y=4 【拓展应用】(3)图4中包含关于x,y的二元一次方程组 mx-2m+y=-3的两个二元一次方程的图 象，请直接写出该方程组的解： 【题型5】二元一次方程组的整数解问题 题型说明：方程组的解为整数(x,y均为整数)，求参数的值（如m为整数)。 核心解题思路：不定方程转化一将方程组中的参数视为己知数，解出xy的表达式（含参数）， 根据“整数解”条件，建立关于参数的不等式或等式，求出参数的整数值。 详细步骤： 1. 解方程组：用消元法解出x,y的表达式（含参数）。 2.建立整数条件：因x,y为整数，故x,y的表达式结果均为整数。 3.求参数整数值：解不等式或等式，找出符合条件的参数值。 x+2y=5 【典例1】已知关于x,y的方程组 x-2y+mx+9=0 (1)请直接写出方程x+2y=5的所有正整数解： (2)若方程组的解满足x+y=0,求m的值 【练习1】已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数)，且b=a+1,c=a+2. (1)当 x=2 =3时，求c的值： (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a,b,c的值和方程的正整数解. 2x+y=11① 【练习2】已知关于x,y的方程组 mx-y=1②· x=2 (1)方程2x+y=11有一组正整数解 y=7,请再写出一组正整数解为， (2)若该方程组的解满足x+y=7,求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为 x=2 7则正确的m值为. 【练习3】阅读下列材料，解答下面的问题 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 U=2'=3’=05都是方程x+2y=5的解， x=1x=-1x=4 但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可. 例：求二元一次方程2x+5y=24的正整数解. 解：2x+5y=24,x=12-5y 2 :x、y为正整数， [x=2 x=7 ,或 y=41y=2 【解决问题】 (0)若0产为非负整数，且8<x<14,则满足条件的整数的馆为 (2)求方程2x+3y=8的正整数解； (3)若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪 费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法。 【题型6】二元一次方程组的新定义问题 题型说明：通过“新运算”“新关系”（如“友好对“雅赞点”)定义问题，需将新定义转化为常规 二元一次方程组求解。 核心解题思路：翻译新定义一理解新定义的运算规则，将其转化为二元一次方程（组），再用常 规方法求解。 详细步骤： 1.理解新定义：明确新定义的运算规则。 2.转化为方程组：根据新定义，将问题中的条件转化为二元一次方程（组）。 3. 解方程组：用常规方法（代入、加减消元）解方程组，得到新定义下的解。 【典例1】定义运算“回”，规定Oy=x+by,其中a、b为常数，若304=2,20(-1)=-6，则503= 【练习1】对x、y定义一种新运算T,规定：Tx,y)=ax+by-5(其中a、b均为非零常数).例如 T(0,1)=a×0+b×1-5=b-5,若T(2,3)=2,T(1,-4)=-7,则下列结论：①a=2,b=1;②若 m,小=0，则m=,”③若Tm,0,则m、n有且仅有1组正整数解，④若Tk红，川=T,为 任意有理数x、y都成立，则k=1.其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2x-3y=3① 【练习2】小明在解方程组 时发现，可以将①+②得：5x-5y=10③，将③÷5得： 3x-2y=7②1 x=3 x-y=2④，将④x2得：2x-2y=4⑤，用⑤-①得：y=1,②-⑤得：x=3,:方程组的解为 y=1 小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题. 16x+15y=51 (1)已知关于xy的方程组 13x+14y=36'则方程组的解是 x+y=8 (2)已知关于x少z的方程组y+z=-3,则x+y+z= 方程组的解是 z+x=-1 (3)对于有理数，y定义一种新的运算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数，等式的右边是有理数的 运算，若3*5=16,4*7=23，求1*1的值. 【练习3】【探究】点A(a。,a是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点A, 将点A向右平移t个单位长度得到点A,根据线段中点的定义可知，点A是线段AA的中点. (1)点A的坐标为，点A的坐标为，点A与点A的横坐标之和为： 【归纳】 (2)若平行于x轴的线段B,B2的一个端点B的坐标为b,b),另一个端点B的横坐标为b2,则用含有 b,b和b的式子表示线段B,B2的中点坐标为； (3)请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段C,C,的一个端点C的坐标为c,c),另一个 端点C,的纵坐标为C2,则用含有c,C2和c的式子表示线段C,C,的中点坐标为_； 【应用】 (4)已知点M的坐标为m-4n,m),点N的坐标为2n-5,m),点P的坐标为(n,3m-2n),点Q的坐 标为n,n-2m,且线段MN和线段PQ的中点重合，求m和n的值. 【题型7】二元一次方程组的错解复原问题 题型说明：学生解方程组时看错系数（如看错a或b),得到错误解，求原方程组的参数（如α，b)。 核心解题思路：错误解的有效性一错误解满足未看错的方程，将错误解代入未看错的方程，建立 关于参数的方程组，求解参数。 详细步骤： 1.分析错误原因：确定学生看错的系数（如甲看错α，乙看错b)。 2. 代入错误解：将错误解代入未看错的方程，得到关于参数的方程。 2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题12 二元一次方程的含参问题（8大基本题型） 题型1：含参数的二元一次方程组解法 题型2：已知方程组的解求参数的值 题型3：二元一次方程组的同解问题 题型4：根据方程组解的情况求参数 题型5：二元一次方程组的整数解问题 题型6：二元一次方程组的新定义问题 题型7：二元一次方程组的错解复原问题 题型8：二元一次方程组的含参应用题 一、二元一次方程（组）的基本概念与参数识别 含参问题的基础是准确理解二元一次方程（组）的定义，并能识别其中的参数（通常用字母表示的系数或常数项）。 1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程（如ax＋by＝c，其中a,b不同时为0）。 2. 二元一次方程组的定义：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组（如，其中a,b不同时为0，d,e不同时为0）。 参数的识别：方程（组）中除未知数x,y外的字母均为参数。 二、含参二元一次方程组的解法策略 含参方程组的核心是通过消元法（代入或加减）将参数与未知数分离，常见策略包括： 1. 变参为主法：将参数视为“未知数”，通过消元建立关于参数的方程求解。 2. 整体代入法：利用方程组的结构特征，将含参数的项视为整体进行代入，简化计算。 3. 待定系数法：将参数视为“系数”，通过“相等多项式系数相等”的性质求解。 【题型1】含参数的二元一次方程组解法（恒成立问题） 题型说明：方程组中包含参数（如a,b,m等），需通过消元法将参数与未知数分离，求出未知数的表达式（用参数表示）。 核心解题思路：将参数视为“已知常数”，采用代入消元法或加减消元法解方程组，用参数表示未知数x,y。 详细步骤： 1. 选择消元方法：观察方程组中未知数的系数，若某未知数系数为1或－1，优先用代入消元法；若系数成倍数关系，用加减消元法。 2. 消元求解：通过消元得到一元一次方程，解出其中一个未知数（用参数表示），再代入原方程求另一个未知数。 3. 验证正确性：将解代入原方程组，检查是否满足所有方程（避免计算错误）。 【典例1】已知a，b，c满足，． (1)________，________（请用含c的代数式表示a，b）． (2)若代数式的值与c的取值无关，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，加减消元法，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）两式相加，相减，得到关于，的式子，进一步用含c的代数式表示a，b即可； （2）求出，化简后根据代数式的值与c的取值无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵①，②， ∴，得：，故； ，得：，故； （2）∵，， ∴， ∵代数式的值与c的取值无关， ∴， ∴． 【练习1】关于x，y的二元一次方程组，则下列代数式的值与无关的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】解：， 得：， 两边同除以3得：， ∴的值与无关，故A选项符合题意； 得：， ∴的值与有关，故B选项不符合题意； ， ∴的值与有关，故C选项不符合题意； 由和，得：， ∴， ∴的值与有关，故D选项不符合题意； 故选：A 【练习2】数轴上两点所表示的数分别为，且满足． (1)当时，求数轴上两点所表示的数； (2)若，求的值； (3)若点在原点的左边，点在原点的右边，线段上有一动点，试说明无论点在线段上怎么运动，的值不会发生改变，并且与无关． 【答案】(1)和 (2) (3)见解析 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，整式的加减运算，熟练掌握非负性，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据非负性，列出二元一次方程组，进行求解即可； （2）根据非负性，列出二元一次方程组，求出的值，再根据，求出的值即可； （3）设点表示的数为，根据两点间的距离求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当时， ∴数轴上两点所表示的数为和； （2）由（1）可知：， ∴， 解得：． （3）由（1）可知，数轴上两点所表示的数分别为， 设点表示的数为，则：， ∴ ； 故的值不会发生改变，并且与无关． 【练习3】规定：对于平面直角坐标系中任意一点，若，则我们称点为“雅赞点”．例如：对于点，因为，所以点是“雅赞点”． (1)以下各点：①；②；③中，是“雅赞点”的是______（请填写序号）； (2)若点是“雅赞点”，且点A向右平移3个单位长度后得到点，点到两坐标轴的距离相等，求此时“雅赞点”点A的坐标； (3)已知“雅赞点”，关于的方程组与有相同的解． ①用含的式子表示和； ②若对于任意，等式恒成立，求的值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)①；②2024418 【分析】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据题意得出平移后的坐标为，根据B点到坐标轴的距离相等，列出方程，解方程即可求解； （3）①根据同解方程组得出，根据新定义得出，代入方程组，解方程组即可求解； ②根据等式恒成立，得出，得出与代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以①③是“雅赞点”． （2）解∶因为点是“雅赞点”，所以． 因为点向右平移3个单位长度后得到点， 所以点的坐标为，即． 因为点到两坐标轴的距离相等，所以， 所以或0，所以点的坐标为或． （3）解∶①由题意，得与有相同的解． 解方程组得 因为是“雅赞点”，所以， 所以所以 ②因为，所以， 所以． 因为对于任意恒成立，所以， 所以． 又因为 所以． 【题型2】已知方程组的解求参数的值 题型说明：给出方程组的解（含参数或具体数值），求参数的值（如a,b的具体数）。 核心解题思路：解的定义——方程组的解满足每个方程，将解代入方程组，建立关于参数的方程（组），求解参数。 详细步骤： 1. 代入解：将已知的解代入方程组中的每个方程，得到关于参数的方程。 2. 解参数方程组：若参数个数与方程个数相同，直接解方程组；若参数个数多于方程个数，需结合其他条件（如参数为整数）求解。 3. 检查参数合理性：若参数有范围限制（如整数、正数），需验证解是否符合条件。 【典例1】已知是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数求值等，解题的关键是掌握二元一次方程的解的定义． 根据二元一次方程的解表示出，通过变形代入求值即可． 【详解】解：将代入得，， ∴， 即，代入得， ， 故答案为：2． 【练习1】若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是________，________． 【答案】 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组，得到关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入方程组， 得 解得 故答案为：，． 【练习2】已知是二元一次方程组的解，则的值为______． 【答案】 1 【分析】本题考查了二元一次方程组和解的应用，将，代入原方程组，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，再代入计算. 【详解】解：将，代入方程组，，得将两方程相加，得，解得， 将代入，得，解得， ∴． 故答案为：1． 【练习3】关于x，y的二元一次方程的解是则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据二元一次方程的解的定义把代入关于x，y的二元一次方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x，y的二元一次方程中，得， 解得， 故答案为：3． 【题型3】二元一次方程组的同解问题 题型说明：两个方程组有相同的解，求参数的值（如a,b）。 核心解题思路：公共解——两个方程组的解相同，说明该解满足所有方程，先求出公共解，再代入含参数的方程求参数。 详细步骤： 1. 求公共解：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解 2. 代入含参数方程：将公共解代入含参数的方程，得到关于参数的方程组。 3. 解参数方程组：解出参数a,b,m的值。 【典例1】若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 【练习1】已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2025 D．1 【答案】D 【分析】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值．本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， ①+②得：， 得：， 将代入①得：， 将，，代入可得： ， 解得：， ∴ ， 故选： 【练习2】若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 【练习3】已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组和方程组的解相同，由得到，把的值分别代入，求得的值． 【详解】解：由解得， 将，代入中，得，即； 将，代入中，得，即； 所以，． 【题型4】根据方程组解的情况求参数 题型说明：已知方程组解的情况（唯一解、无解、无穷多解），求参数的值（如k）。 核心解题思路：系数比例关系——二元一次方程组的解的情况由系数比决定： 1. 唯一解：（两直线相交）； 2. 无解：（两直线平行）； 3. 无穷多解：（两直线重合）。 详细步骤： 1. 写出系数比 2. 判断解的情况 【典例1】下列关于方程的解的说法错误的是（    ） A．是它的解 B．它只有一个解 C．以它的解为坐标的点组成的图象是一条直线 D．它有无数多个解 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的解，以及一次函数的相关性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、将代入中得：，故等式成立，不符合题意； B、两个数之和为1，则这两个数有无数个可能，故方程的解有无数个，故说法错误，符合题意； C、将变形为，属于一次函数，图象为一条直线，故说法正确，不符合题意； D、的解有无数个，故说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【练习1】【材料阅读】 二元一次方程有无数个解，如：，，，…如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． (1)【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为________． (2)（2）已知关于，的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线：设方程①图象与轴，轴的交点分别是与，方程②图象与轴，轴的交点分别是与，计算的度数． （说明：三角形的内角和为可以直接使用）． (3)【拓展应用】 （3）图4中包含关于，的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查了二元一次方程组的图象解法、直线平行条件及几何角度计算，解题的关键是掌握二元一次方程组的图象解法． （1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； （2）根据关于，的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线经过点，然后画出图象，根据平行线的性质求解即可； （3）首先得到直线经过点，然后得到直线即为直线，得到是方程的一个解，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： 由图象可知，直线与直线交于点， 同时是方程和方程的解， 是方程组的解， 故答案为：． （2）方程组无解， 直线与直线没有交点， 直线与直线平行， 在方程中，当时，， 直线经过点， 如图所示，直线和直线即为所求： ， 在中， （3）如图所示 在方程中，当时，则，即此时， 是方程的解，即直线经过点； 直线为直线或直线中的一条， 把代入方程中，左边，方程左右两边不相等， 不是方程的解，即直线不经过点 直线即为直线 直线为直线， 在方程中，当时，则，解得， 是方程的一个解， 直线与直线的交点横坐标为3， 直线与直线的交点坐标为， 二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【练习2】【数学活动回顾】七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与它的图像上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图像． 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图像都是一条直线．示例：如图1，我们在画方程的图像时，可以取点和作出直线AB． 【解决问题】（1）请在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图像． （2）观察图2所画的图像，两条直线的交点坐标是______，由此得出这个二元一次方程组的解是______． 【拓展延伸】（3）①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图像和的图像如图3所示．请根据图像，直接判断方程组的解的情况是______．（填“有解”或“无解”） ②已知点，在二元一次方程的图像上，求a，b的值． ③在②的条件下，以关于x、y的方程组的解为坐标的点在方程的图像上，当时，化简：． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）①无解；②；③ 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、一次函数与二元一次方程（组）的关系等知识，正确理解题意是解题关键． （1）结合题目中的描述，画出两个二元一次方程的图像即可； （2）结合函数图像，即可获得答案； （3）①结合两直线无交点，即可获得答案；②由题意得，求解即可；③依题意，，将方程组的两个方程相加，可得， 易知，求解得，结合可得，进而可得，，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：（1）如图，方程与的图像即为所求； （2）观察图2所画的图像，两条直线的交点坐标是， 由此得出这个二元一次方程组的解是． 故答案为：，； （3）①根据图像可知，两直线没有交点， 所以，方程组的解的情况是无解． 故答案为：无解； ②依题意，得，解得， ③依题意，得即， 把方程组的两个方程相加， 得， ∴，解得， ∵，即， ∴， ∴，， ∴． 【练习3】【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：，，． 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示． 探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解：_______． （2）已知关于x，y的二元一次方程组无解，请在图3中画出符合题意的两条直线；设方程的图象与x，y轴的交点分别是A，B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C，D，计算的度数． 【拓展应用】（3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解：________． 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，；（3） 【分析】此题考查了二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； （2）根据关于，的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线经过点，然后画出图象即可；然后根据平行线的性质求解即可； （3）首先得到直线经过点，然后得到直线即为直线，得到是方程的一个解，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； 由图象可知，直线与直线交于点， ∴同时是方程和方程的解， ∴是方程组的解， 故答案为：； （2）∵方程组无解， ∴直线与直线没有交点， ∴直线与直线平行， 在方程中，当时，， ∴直线经过点， 如图所示，直线和直线即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示， 在方程中，当时，则，即此时， ∴是方程的解，即直线经过点； ∴直线为直线或直线中的一条， 把代入方程中，左边，方程左右两边不相等， ∴不是方程的解，即直线不经过点， ∴直线即为直线 ∴直线为直线， 在方程中，当时，则，解得， ∴是方程的一个解， ∵直线与直线的交点横坐标为3， ∴直线与直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【题型5】二元一次方程组的整数解问题 题型说明：方程组的解为整数（x,y均为整数），求参数的值（如m为整数）。 核心解题思路：不定方程转化——将方程组中的参数视为已知数，解出x,y的表达式（含参数），根据“整数解”条件，建立关于参数的不等式或等式，求出参数的整数值。 详细步骤： 1. 解方程组：用消元法解出x,y的表达式（含参数）。 2. 建立整数条件：因x,y为整数，故x,y的表达式结果均为整数。 3. 求参数整数值：解不等式或等式，找出符合条件的参数值。 【典例1】已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，二元一次方程组的解法，同解方程组的含义，掌握“二元一次方程组的解法” 是解本题的关键． （1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把 代入， 得： ， 解得． 【练习1】已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 【练习2】已知关于x，y的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为_． (2)若该方程组的解满足，求m的值； (3)若小明在解此方程组时，看错了m的符号，而得解为，则正确的m值为_． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)1 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，及其整数解和解的定义，熟练掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． （1）由方程，得到，代入，得到值即可，答案不唯一； （2）根据题意联立，解之代入，即可得到答案； （3）根据题意，得，解之即可． 【详解】（1）解：方程， 解得， 当时，， 方程的另一组整数解为， 故答案为：．（答案不唯一） （2）解：根据题意，得， 解得，代入，得， 解得， 故m的值为1． （3）解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【练习3】阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11 (2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 【题型6】二元一次方程组的新定义问题 题型说明：通过“新运算”“新关系”（如“友好对”“雅赞点”）定义问题，需将新定义转化为常规二元一次方程组求解。 核心解题思路：翻译新定义——理解新定义的运算规则，将其转化为二元一次方程（组），再用常规方法求解。 详细步骤： 1. 理解新定义：明确新定义的运算规则。 2. 转化为方程组：根据新定义，将问题中的条件转化为二元一次方程（组）。 3. 解方程组：用常规方法（代入、加减消元）解方程组，得到新定义下的解。 【典例1】定义运算“◎”，规定，其中、为常数，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 由新定义可得方程组，利用加减消元法解方程组，求出，的值，进而得出答案． 【详解】解：由新定义可得方程组：， ，得③， ①③，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ． 故答案为：． 【练习1】对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 【练习2】小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 【练习3】【探究】点是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点，将点A向右平移t个单位长度得到点，根据线段中点的定义可知，点A是线段的中点． （1）点的坐标为_，点的坐标为_，点与点的横坐标之和为_； 【归纳】 （2）若平行于x轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的横坐标为，则用含有，和b的式子表示线段的中点坐标为_； （3）请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的纵坐标为，则用含有，和c的式子表示线段的中点坐标为_； 【应用】 （4）已知点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为，且线段和线段的中点重合，求m和n的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4）， 【分析】本题考查坐标系中点的平移的坐标变化，坐标轴平行线上的点的坐标变化，列代数式，二元一次方程解决实际问题，根据题意的方法进行探究归纳是解题的关键． （1）根据点平移时的坐标变化求解即可； （2）由轴得到线段的中点的纵坐标为b．设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点，则，求得，即可表示出中点的横坐标，进而即可解答； （3）同（2）思路即可求解； （4）根据探究归纳的结论，表示出线段和线段的中点的坐标，根据线段和线段的中点重合列出方程组，求解即可． 【详解】解：（1）根据平移可得，点的坐标为，点的坐标为， 点与点的横坐标之和为． 故答案为：；； （2）由题意可得，，， ∵轴， ∴线段的中点的纵坐标为b， 设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点， ∴， ∴， ∴中点的横坐标为， ∴线段的中点的坐标为． 故答案为： （3）由题意可得，，， ∵轴， ∴线段的中点的横坐标为c， 设点向上平移t个单位长度，点向下平移t个单位长度均得到线段的中点， ∴， ∴， ∴中点的纵坐标为， ∴线段的中点的坐标为． 故答案为： （4）∵，， ∴线段的中点坐标为，即； ∵，， ∴线段的中点坐标为，即， ∵线段和线段的中点重合， ∴， 解得． 【题型7】二元一次方程组的错解复原问题 题型说明：学生解方程组时看错系数（如看错a或b），得到错误解，求原方程组的参数（如a,b）。 核心解题思路：错误解的有效性——错误解满足未看错的方程，将错误解代入未看错的方程，建立关于参数的方程组，求解参数。 详细步骤： 1. 分析错误原因：确定学生看错的系数（如甲看错a，乙看错b）。 2. 代入错误解：将错误解代入未看错的方程，得到关于参数的方程。 3. 解参数方程组：解出参数a,b的值。 【典例1】甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组解的运用，根据甲的解得到，根据乙的解得到，运用特殊解法得到，由此即可求解． 【详解】解：甲解得正确结果为，代入方程组， ∴， ∴由②解得，， 乙因为抄错了，解得错误结果为， ∴，即， ∴得，，即， ∴， 故答案为：7 ． 【练习1】小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出，，的值代入计算即可． 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：3． 【练习2】甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 【练习3】已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 【题型8】二元一次方程组的含参应用题 题型说明：结合实际问题（如行程、工程、利润），列含参数的二元一次方程组，求解实际问题（如求参数的值、设计方案）。 核心解题思路：建模——根据实际问题中的等量关系，列含参数的二元一次方程组，用常规方法求解，再结合实际意义验证解的合理性。 详细步骤： 1. 设未知数：设问题中的两个未知量。 2. 列方程组：根据实际问题中的等量关系，列含参数的方程组。 3. 解方程组：用常规方法解方程组，得到未知数的表达式（含参数）。 4. 验证实际意义：检查解是否符合实际问题（如速度为正数、时间为正数）。 【典例1】某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元． (1)购买每辆A型和B型公交车各需多少万元？ (2)预计在该线路上每辆A型和B型公交车的年均载客量分别为10万人次和15万人次．若该公司同时购买A型和B型公交车，且全部投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，则该公司有哪几种购车方案？ (3)在（2）的条件下，请问哪种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)购买每辆型公交车需150万元，购买每辆型公交车需200万元 (2)共有3种购车方案；方案1：购买9辆型公交车，2辆型公交车； 方案2，购买6辆型公交车，4辆型公交车； 方案3：购买3辆型公交车，6辆型公交车． (3)在（2）的条件下，购车方案3总费用最少，最少费用是1650万元 【分析】（1）设购买每辆A型公交车需x万元，每辆B型公交车需y万元，根据“若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A型公交车，n辆B型公交车，根据要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，即可得出关于m,n的二元一次方程，结合m,n均为正整数，即可得出各购车方案； （3）利用总费用＝单价数量，即可求出选项各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买每辆型公交车需万元，购买每辆型公交车需万元． 依题意，得 解得 故购买每辆型公交车需150万元，购买每辆型公交车需200万元． （2）解：设购买辆型公交车，辆型公交车． 依题意，得 ． 均为正整数， 或或 该公司共有3种购车方案； 方案1：购买9辆型公交车，2辆型公交车； 方案2，购买6辆型公交车，4辆型公交车； 方案3：购买3辆型公交车，6辆型公交车． （3）解：选择方案1所需总费用为（万元）； 选择方案2所需总费用为（万元）； 选择方案3所需总费用为（万元）． ， 在（2）的条件下，购车方案3总费用最少，最少费用是1650万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解决本题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）． 【练习1】某制造厂计划将115吨的原材料制成A，B，C三种产品，单件产品所需的原材料数量及产品销售价如下表所示（设所有原材料恰好用完）： 型号 A B C 原材料数量（吨/件） 5 8 10 销售价（元/件） 400 500 600 (1)若全部原材料都制成A，B两种产品，销售总额为7800元，问分别制成A，B两种产品各几件？ (2)制造厂计划制成A，B，C三种产品共15件，请设计使得销售总额最大的方案并求出最大销售额． 【答案】(1)制成A种产品7件，B种产品10件 (2)制成A产品3件，B产品10件，C产品2件时，销售总额最大，最大值是7500元 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用： （1）设制成A种产品x件，B种产品y件，根据题意列方程组求解； （2）设制成A种产品a件，B种产品b件，C种产品件，根据共115吨列方程，由a，b，均为正整数，得到b只能为5或10．设销售总额为W元，列函数解析式，利用一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：设制成A种产品x件，B种产品y件， 根据题意得， 解得 答：制成A种产品7件，B种产品10件． （2）解：设制成A种产品a件，B种产品b件，C种产品件， 根据题意得， 化简得，即． ∴ ∵a，b，均为正整数， ∴b只能为5或10． 设销售总额为W元，则， ∴， ∴的值随b值的增大而减小． ∴当时，W有最大值，最大值为7500． 答：制成A产品3件，B产品10件，C产品2件时，销售总额最大，最大值是7500元． 【练习2】已知：用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （3）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【练习3】刀鱼馄饨是靖江特色美食，被誉为“长江第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某饭店推出两种型号的刀鱼馄饨礼盒，上午售出礼盒个、礼盒个，收入元，下午售出礼盒个、礼盒个，收入元； (1)两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)清明假期，小张计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（都需要购买），预算为元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 【答案】(1)每盒元 ，每盒元 (2)礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设每盒元 ，每盒元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设礼盒盒、礼盒盒，由此列二元一次方程，分别代值计算，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设每盒元 ，每盒元， ∴， 解得，， ∴每盒元 ，每盒元； （2）解：设礼盒盒、礼盒盒， ∴，整理得，， ∴， ∵是正整数， ∴是的倍数，，即， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，共两种方案：礼盒盒、礼盒盒或礼盒盒、礼盒盒． / 学科网（北京）股份有限公司 $