专题10 一次函数与存在性问题（4大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年度北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理与模型整合构建一次函数与存在性问题的知识体系，以框架图呈现核心类型、数形结合转化及几何模型，清晰展示等腰三角形分类讨论、直角三角形垂直条件等重难点及内在联系。 讲义亮点在于题型分层设计与模型化方法指导，如等腰三角形存在性问题采用“顶点分类法”结合典例教学，培养几何直观与推理意识。练习涵盖基础到综合题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题10 一次函数与存在性问题（4大基本题型） 题型1：等腰三角形存在性问题 题型2：直角三角形存在性问题 题型3：等腰直角三角形存在性问题 题型4：全等三角形存在性问题 一、存在性问题的核心类型 存在性问题是期末专项的重点，主要围绕特殊三角形的存在性（等腰、直角、等腰直角三角形）展开，核心是判断在给定条件下，是否存在满足要求的点（如动点、定点）。 假设题目设问的三角形为，则： 1. 等腰三角形存在性：需分三种情况讨论（腰相等），即PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB，通过坐标计算边长（利用距离公式）或斜率（判断角度）验证。 2. 直角三角形存在性：需分三种直角顶点情况（∠A＝90°、∠B＝90°、∠P＝90°），利用勾股定理（PA2＋PB2＝AB2等）或斜率乘积为−1（垂直条件）判断。 3. 等腰直角三角形存在性：是等腰与直角的结合，需同时满足“腰相等”和“直角”条件，通常需分直角顶点讨论（如∠P＝90°且PA＝PB），或利用“三垂直”模型（一线三等角）构造全等三角形简化计算。 二、数形结合：函数与几何的转化 一次函数的存在性问题需将函数信息（解析式、坐标、斜率）与几何特征（线段长度、角度、图形形状）结合，核心是“以数解形”或“以形助数”。 1. 函数信息转化为几何信息： (1) 一次函数的斜率k：表示直线的倾斜程度，k＞0时从左至右上升，k＜0时下降；k的绝对值越大，直线越陡。 (2) 一次函数与坐标轴的交点：与y轴交点为（截距），与x轴交点为，这些交点是几何图形的顶点（如三角形的顶点）。 (3) 动点坐标：设动点P（在一次函数上），将其坐标代入几何条件（如距离公式、勾股定理），转化为代数方程求解。 2. 几何特征转化为函数信息： (1) 线段长度：利用两点间距离公式，将几何长度转化为坐标差的平方和。 (2) 角度条件：如直角（斜率乘积为－1）、等腰（两边长度相等），转化为代数等式。 三、几何模型：简化存在性问题的工具 期末复习中，“三垂直”模型和轴对称模型是解决存在性问题的关键技巧，需重点掌握： 1. “三垂直”模型：构造全等三角形，将分散的条件集中。例如，在直角坐标系中，若有一条直线与坐标轴垂直，可通过构造“三垂直”（两条直线垂直于坐标轴，第三条直线连接交点），利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）求解未知点坐标。 2. 轴对称模型（将军饮马）：解决最短路径或线段和差最值问题。 四、解题步骤：系统解决存在性问题 解决存在性问题需遵循“找点→求点→验证”的系统步骤： 1. 找点：根据题目条件，确定关键点（如直线与坐标轴的交点、已知点）的坐标。 2. 求点：设动点坐标，结合几何条件（如等腰、直角）列出代数方程，求解动点坐标。 3. 验证：将求得的动点坐标代入原条件，验证是否满足存在性要求（如是否构成等腰三角形、直角三角形）。 【题型1】等腰三角形存在性问题 题型描述：给定一次函数上的动点，判断是否存在点使得与已知定点构成等腰三角形（如△ABP为等腰三角形，P为动点）。 核心解题思路： 1. 等腰三角形的关键是“两腰相等”，需按“顶点分类法”讨论： (1) 以A为顶点（AB＝AP）； (2) 以B为顶点（BA＝BP）； (3) 以P为顶点（PA＝PB）。 2. 通过距离公式将几何条件转化为代数方程，求解动点坐标。 基本解题步骤： 1. 设点坐标：设动点P的坐标为（因P在一次函数上）； 2. 列方程：根据顶点分类，用距离公式列出等式（如以P为顶点时，PA2＝PB2）； 3. 解方程：求解上述方程，得到x的值； 4. 验证合理性：检查P是否在函数图象上（如不与已知点重合），舍去无效解。 【典例1】如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分是以为底边的等腰三角形和是以为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：当是以为底边的等腰三角形时，则， 由题意得，， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴当时，点P一定在的延长线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，则， ∴； 综上所述，t的值为5或， 故答案为：5或． 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点C的坐标； (2)设P是y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）过C作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，由勾股定理得到，于是得到结论； （2当时，求得点P的坐标为或；当时，点P在的垂直平分线上，求得，当时，，求得． 【详解】（1）解：如图，过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵为等腰三角形， ∴当时，点P的坐标为或； 当时，点P在的垂直平分线上， 设点P的坐标为，则， 解得， ∴点P的坐标为， 当时，， ∴． ∴当为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 【练习2】如图，在中，是边上的高，，，，是边上的一点，过点作，与交于点，连结． (1)求和的长． (2)当点是的中点时，求的面积． (3)当是等腰三角形时，求此时的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为或或 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，熟练运用这些知识是解题的关键． （1）由勾股定理即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，在中，由勾股定理建立方程求得，即可求得的面积； （3）分三种情况：①；②；③；利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：∵点是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； （3）解：①当时，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； ②当时，则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，； ③当时，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 综上，的长为或或． 【练习3】已知直线：与x轴、y轴分别交于点、，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点． (1)求直线的函数表达式以及点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)直线为， (2)P的坐标为或或或或 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的交点问题、等腰三角形的定义． （1）先利用待定系数法求解直线，再联立解析式建立方程组，解出方程组的解即可． （2）利用两点距离公式表示出、、，再分类讨论建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点、， ∴， 解得：， ∴直线为． 联立两直线解析式可得：， 解得， 则点D的坐标为． （2）解：，， 设， 则、、， ①当时，则， 解得， 则点的坐标为； ②当时，则， 解得， 则点的坐标为或； ③当时，则， 解得， 则点的坐标为或； 综上，P的坐标为或或或或． 【题型2】直角三角形存在性问题 题型描述：给定一次函数上的动点，判断是否存在点使得与已知定点构成直角三角形（如△APB为直角三角形，P为动点）。 核心解题思路： 1. 直角三角形的关键是“直角顶点”，需按“直角顶点分类法”讨论： (1) 以A为直角顶点（PA⊥AB）； (2) 以B为直角顶点（PB⊥AB）； (3) 以P为直角顶点（PA⊥PB）。 2. 通过斜率乘积为－1（垂直条件）或勾股定理将几何条件转化为代数方程，求解动点坐标。 基本解题步骤： 1. 设点坐标：设动点P的坐标为； 2. 列方程：根据直角顶点分类，用垂直条件（如以A为直角顶点时，或勾股定理列出等式； 3. 解方程：求解上述方程，得到x的值； 4. 验证合理性：检查P是否在函数图象上，舍去无效解。 【典例1】已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． (1)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形？求点的坐标？ 【答案】(1) (2)时，或时， 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质． （1）当时，是以为斜边的直角三角形，在中，分别令，，求出相应的与，从而可得，再根据点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动，求出时间； （2）分、，分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，是以为斜边的直角三角形， 在中，分别令，， 得，． ， 点P沿轴以每秒个单位长度的速度向左运动， ； （2）第一种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， 在直角三角形中，， ， ， ． ． 第二种情况： 当时，是以为腰的等腰三角形， ， ， ，． 【练习1】如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有___________个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数与动点问题，准确分析求解是解题的关键． 根据已知条件求出一次函数解析式，当点在轴上，设，则根据和两种情况讨论，当点在轴上，设，当时求解即可． 【详解】，点在轴的负半轴， ， 直线过点， ， ， ， ， 当点在轴上， 当，点与原点重合，； 当，设， ，，， ，，， ， 解得：， ； 当点在轴上， 当，设， ，，， ，，， ， ， ； 符合条件的点的坐标是或或，有个； 故答案是：． 【练习2】已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 【题型3】等腰直角三角形存在性问题 题型描述：给定一次函数上的动点，判断是否存在点使得与已知定点构成等腰直角三角形（如△APB为等腰直角三角形，P为动点）。 核心解题思路：等腰直角三角形是等腰三角形与直角三角形的结合，需同时满足“两腰相等”和“直角”条件。通常按“直角顶点分类法”讨论，结合“三垂直”模型（构造全等三角形）简化计算。 基本解题步骤： 1. 设点坐标：设动点P的坐标为； 2. 列方程：根据直角顶点分类，结合等腰条件（如以P为直角顶点时，PA＝PB且PA⊥PB）列出等式； 3. 解方程：求解上述方程，得到x的值； 4. 验证合理性：检查P是否在函数图象上，舍去无效解。 【典例1】如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． (2)当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；在 (2) (3)，， 【分析】（1）由，可得，，过点作轴于， 证明，再利用全等三角形的性质可得到点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，则，得到，则，即可得到求点的坐标； （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， 如图1，过点作轴于点， 则， 等腰直角三角形中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点, 在函数中，当时， 点C在函数的图象上， 故答案为：；在； （2）解：，，， ，，， 如图2，过点作轴于点， 同（1）理可证：， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，，， 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点，过点作于点， 同理可证， ，， ，， ，， 点， 综上所述：，，． 【点睛】此题属于三角形综合题，主要考查了坐标与图形、等腰三角形的定义、三角形的全等和判定及直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【练习1】综合与实践 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.例如：我们在解决：“如图1，在中，，线段经过点，且于点，于点.求证：”这个问题时，只要证明____________________，即可得到解决.（填空，不需证明） （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A、C分别在轴和轴上，点坐标为，点，若是等腰直角三角形，，求点的坐标. （3）【类比应用】如图3，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标. （4）【拓展提升】如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点的坐标. 【答案】（1）（2）（3）（4）或或 【分析】本题考查了三角形的综合应用，图形与坐标，掌握全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得结论； （2）过点作轴垂线，垂足为，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点的坐标即可； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案． （4）分，，三种情况，根据A和B的坐标，结合等腰直角三角形的性质，通过全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1），， 又， ， 在和中， ， ∴， ，； 故答案为：，； （2）过点作轴垂线，垂足为， 由题意知：，，，， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故点坐标为； （3）如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 由（1）（2）可得， ，， ，， ，， ， 点的纵坐标为，横坐标为， ． （4）当时，过点A作y轴的垂线，过点B，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E，与x轴交于点F， ∵，， ∴，， 同（1）可得：， ∴，， ∴，， ∴； 当时，过点B作x轴的垂线，过点A，C作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∴； 当时，过点C作y轴的垂线，过点A，B作该垂线的垂线，垂足分别为D，E， 同（1）可得：， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， 由可得：， ∴， ∴， ∴； 综上：点C的坐标为或或． 【练习2】阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，过点作直线，于D，于E，求证：； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于D，于E，，，求的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点在第一、第三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，，， 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答． （2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可作答． （3）分类讨论，如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图，通过证明，再设点B的坐标为，，根据，进一步作答即可，当，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴ 即， ∵ ∴ ∵ ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 即． （3）解：如图，当，，过点B作轴于点，过点A作的延长线于点，如图： ∴， ∴， ∵过点B作轴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 当，，过点B作轴于点，过点A作射线轴，且过点B作于，如图： ∴， ∵ ∴， ∵过点B作轴，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴， 此时方程无解， 当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴， ， 解得， 故点C的坐标为； 当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上， ∴设点B的坐标为，， ∵，， ∴，， 解得， 故点C的坐标为； 综上， C点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键． 【练习3】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，a，b满足． (1)如图1，求的面积： (2)若点P的坐标为，当时，求点P的坐标： (3)如图2，点P在x轴上，当平分时，在第一象限确定一点M，使是以为直角边的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)的坐标为或． 【分析】（1）先由非负性求、得顶点坐标，再用待定系数法求的解析式，确定与的交点的坐标，最后用铅锤法（以为铅锤，分为两段，结合水平宽）计算的面积． （2）根据三角形面积公式，结合面积关系列方程求点坐标． （3）利用角平分线性质确定点，再分情况构造全等三角形求点坐标． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， ，，， 设直线的解析式为，代入、，得 ， 解得，， 直线的解析式为， 令与的交点，，得，即与的交点， ， ∴ ； （2）解：，， ， ，， ， ， 或， 或， 或； （3）解：过点作于， 平分，轴，， ，设，则，， 在中，， ， ， ， ，， ， 情况1：，时， 过作轴于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 情况2：， 过作轴于， 同理可证， ，， ， ； 综上，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、待定系数法求一次函数解析式、铅锤法求三角形面积、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握铅锤法中“找铅锤线与三角形边的交点，拆分面积计算”是解题的关键． 【题型4】全等三角形存在性问题 题型描述：给定一次函数上的动点，判断是否存在点使得与已知定点构成全等三角形（如△ACP≌△AOB，P为动点）。 核心解题思路：全等三角形的关键是“对应边相等”或“对应角相等”。通常用“坐标变换”（如平移、旋转）或“全等性质”（如SAS、ASA）将几何条件转化为代数方程，求解动点坐标。 基本解题步骤： 1. 设点坐标：设动点P的坐标为； 2. 列方程：根据全等条件（如△ACP≌△AOB时，AC＝AO且CP＝OB）列出等式； 3. 解方程：求解上述方程，得到x的值； 4. 验证合理性：检查P是否在函数图象上，舍去无效解。 【典例1】在平面直角坐标系中，已知，，，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以，，为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为________． 【答案】或或 【分析】本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，坐标与图形变化—轴对称，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 【详解】解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵，， ∴线段的垂直平分线为直线， ∵作关于直线的对称点， ∴与关于直线对称， ∴，此时， ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【练习1】在平面直角坐标系中，． (1)在图中作关于轴对称的； (2)在（1）中，点是边上一点，其对应点为，则_____； (3)如果要使以为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合） 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)或或 【分析】本题考查坐标与图形．熟练掌握轴对称的画法，全等三角形的性质，是解题的关键． （1）找到关于y轴的对称点，再进行连线，即可得到； （2）利用关于轴对称求出、，直接进行计算即可； （3）画出与全等的以B，C，D为顶点的三角形，根据图形确定点D的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：点关于轴对称点为， 所以,， 则， 故答案为：4； （3）解：如图，共有3个以B，C，D为顶点的三角形与全等， 由图可知：； ∴以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点坐标为：或或． 【练习2】在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标．点P是轴上的一个动点，从点C出发，沿轴向点O运动，当运动到点O时停止运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点在轴的负半轴上，且的面积：的面积． (1)请直接写出点B的坐标； (2)若点D在轴的正半轴上，是否存在点P，使以为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q是轴上的一个动点，从点A出发，向轴的负半轴运动，速度为4个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以三点构成的三角形与全等． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)1秒或3秒 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由点A，C的坐标可得的长，结合的面积：的面积，利用三角形面积公式列式可求出，即可求出点B的坐标； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况，结合与讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标，点的坐标， ∴,， 又的面积：的面积， ∴， ∴, ∵点在轴的负半轴上， ∴点的坐标为； （2）解：在轴上，在轴， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ； ②， ， ， 即：满足条件的的坐标为或； （3）解：在轴上，在轴， ， 由运动知，，， ，， 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， 满足条件，即： ②， ， ，， ， 不满足条件，舍去； 当时，，， 以、、为顶点的三角形与全等， ①， ， ， ， ， 不满足条件，舍去； ②， ， ，， 即：满足条件的时间或． 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边BC在轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点的坐标是_________，点的坐标是________； (2)连接PA，当的面积等于的面积的一半时，求的值； (3)当点在线段BO上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标是或或或 【分析】本题考查了平方和算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，全等三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论计算． （1）由平方和算术平方根的非负性先求出，即可求出点，坐标； （2）根据点，，的坐标求出的面积，再分点在线段和射线上两种情况讨论计算； （3）由，所以分两种情况和讨论计算即可． 【详解】（1）解： ，， ，， 的坐标是，的坐标是． 故答案为：； （2）解：，，； ，， ①在线段上，如图1， ， ， ②当在射线上如图2， ，， 当或时，的面积等于的面积的一半； （3）解：当在线段上运动时，在轴上存在点，使与全等， ∵， ∴①当，时， ， 则， ∴点的坐标是或 ②当，时， ， 则， ∴点的坐标是或； 综上所述，点的坐标是或或或． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题10一次函数与存在性问题（4大基本题型) 专题概览 题型1：等腰三角形存在性问题 题型2：直角三角形存在性问题 题型3：等腰直角三角形存在性问题 题型4：全等三角形存在性问题 核心知识点总结 一、存在性问题的核心类型 存在性问题是期末专项的重点，主要围绕特殊三角形的存在性（等腰、直角、等腰直角三角形）展 开，核心是判断在给定条件下，是否存在满足要求的点（如动点、定点）。 假设题目设问的三角形为△APB,则： 1.等腰三角形存在性：需分三种情况讨论（腰相等），即PA=PB、PA=AB、PB=AB,通过坐标计 算边长（利用距离公式）或斜率（判断角度）验证。 2.直角三角形存在性：需分三种直角顶点情况（∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°），利用勾股 定理(PA2+PB2=AB2等)或斜率乘积为-1（垂直条件）判断。 3. 等腰直角三角形存在性：是等腰与直角的结合，需同时满足“腰相等”和“直角”条件，通常需 分直角顶点讨论（如∠P=90°且PA=PB),或利用“三垂直”模型（一线三等角）构造全等三角形简 化计算。 二、数形结合：函数与几何的转化 一次函数的存在性问题需将函数信息（解析式、坐标、斜率）与几何特征（线段长度、角度、图形 形状)结合，核心是“以数解形”或“以形助数”。 1.函数信息转化为几何信息： (1) 一次函数的斜率k:表示直线的倾斜程度，k>0时从左至右上升，k<0时下降；k的绝对值越大， 直线越陡。 (2) 一次函数与坐标轴的交点：与v轴交点为0,6（截距），与x轴交点为-←，0，这些交点是几何 图形的顶点（如三角形的顶点）。 (3)动点坐标：设动点P(x,x+b)(在一次函数上)，将其坐标代入几何条件（如距离公式、勾股定理）， 转化为代数方程求解。 2.几何特征转化为函数信息： (1)线段长度：利用两点间距离公式AB=Vx-x+(y-y2,将几何长度转化为坐标差的平方和。 (2)角度条件：如直角（斜率乘积为一1）、等腰（两边长度相等），转化为代数等式。 三、几何模型：简化存在性问题的工具 期末复习中，“三垂直”模型和轴对称模型是解决存在性问题的关键技巧，需重点掌握： 1.“三垂直”模型：构造全等三角形，将分散的条件集中。例如，在直角坐标系中，若有一条直线 与坐标轴垂直，可通过构造“三垂直”（两条直线垂直于坐标轴，第三条直线连接交点），利用全等三 角形的性质（对应边相等、对应角相等）求解未知点坐标。 2.轴对称模型（将军饮马）：解决最短路径或线段和差最值问题。 四、解题步骤：系统解决存在性问题 解决存在性问题需遵循“找点→求点→验证”的系统步骤： 1.找点：根据题目条件，确定关键点（如直线与坐标轴的交点、已知点）的坐标。 2.求点：设动点坐标，结合几何条件（如等腰、直角）列出代数方程，求解动点坐标。 3.验证：将求得的动点坐标代入原条件，验证是否满足存在性要求（如是否构成等腰三角形、直角 三角形)。 题型归纳 【题型1】等腰三角形存在性问题 题型描述：给定一次函数上的动点，判断是否存在点使得与己知定点构成等腰三角形（如△ABP为 等腰三角形，P为动点)。 核心解题思路： 1.等腰三角形的关键是“两腰相等”，需按“顶点分类法”讨论： (I)以A为顶点(AB=AP); (2)以B为顶点(BA=BP); (3)以P为顶点(PA=PB)。 2. 通过距离公式AB=Vx-x,)+(以-2将几何条件转化为代数方程，求解动点坐标。 基本解题步骤： 1.设点坐标：设动点P的坐标为(x,x+b)(因P在一次函数y=x+b(k≠0)上)； 2.列方程：根据顶点分类，用距离公式列出等式（如以P为顶点时，PA2=PB2); 3.解方程：求解上述方程，得到x的值； 4.验证合理性：检查P是否在函数图象上（如不与已知点重合），舍去无效解。 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=4cm,动点P从点B出发沿射线BC以 1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.当△ABP为以AB或AP为底边的等腰三角形时，t的值是 B P C 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，∠C=90°，0B=25,0C=20. B (1)求点C的坐标： (2)设P是y轴上的一个动点，当△OCP为等腰三角形时，请求出点P的坐标. 【练习2】如图，在ABC中，CD是AB边上的高，AD=6,BD=I5,CD=8,E是BC边上的一点， 过点E作EF⊥BC,EF与AB交于点F,连结CF, D (I)求AC和BC的长. (2)当点E是BC的中点时，求BCF的面积. (3)当△ACF是等腰三角形时，求此时CE的长 【练习3】已知直线4：y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,-4),直线：y=-x+5与x 轴、y轴分别交于点C、E,两直线交于点D (1)求直线的函数表达式以及点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P,使得△BPD为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存 在，请说明理由； 【题型2】直角三角形存在性问题 题型描述：给定一次函数上的动点，判断是否存在点使得与己知定点构成直角三角形（如△APB为 直角三角形，P为动点)。 核心解题思路： 1.直角三角形的关键是“直角顶点”，需按“直角顶点分类法”讨论： (I)以A为直角顶点(PA⊥AB); (2)以B为直角顶点(PB⊥AB); (3)以P为直角顶点(PA⊥PB)。 2.通过斜率乘积为一1（垂直条件）或勾股定理将几何条件转化为代数方程，求解动点坐标。 基本解题步骤： 1. 设点坐标：设动点P的坐标为(x,+b): 2. 列方程：根据直角顶点分类，用垂直条件（如以A为直角顶点时，k4kB=-1或勾股定理列出等 式： 3.解方程：求解上述方程，得到x的值； 4. 验证合理性：检查P是否在函数图象上，舍去无效解。 4 【典例1】已知一次函数y=一5X+4的图象与轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴 以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为($). / (I)当t为何值时，△APB是以AB为斜边的直角三角形？ (2)当t为何值时，△APB是以AB为腰的等腰三角形？求点P的坐标？ 1 【练习1】如图，直线y=?x+b交x轴于点A,交y轴于点B,0A=4,点C是坐标轴上一点，且 ABC是直角三角形，满足这样条件的C点有 个 B 【练习2】已知：直线y=三x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B,点C在线段40上.将△A80沿 4 BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处， VA B B B D D A o A (1)求出A、B两点的坐标； (2)求出0C的长； (3)点E是坐标轴上一点，若△ABE是直角三角形，求点E坐标. 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A,B,与函数 y号+b的图象交于点C-2, D H (1)求m和b的值： 1 (2)函数y=。x+b的图象与x轴交于点D,点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动 3 到点A(到A停止运动)，设点E的运动时间为t秒 ①当△ACE的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在， 请说明理由. 【题型3】等腰直角三角形存在性问题 题型描述：给定一次函数上的动点，判断是否存在点使得与已知定点构成等腰直角三角形（如△APB 为等腰直角三角形，P为动点)。 核心解题思路：等腰直角三角形是等腰三角形与直角三角形的结合，需同时满足“两腰相等”和“直 角”条件。通常按“直角顶点分类法”讨论，结合“三垂直”模型（构造全等三角形）简化计算。 基本解题步骤： 1.设点坐标：设动点P的坐标为(x,x+b): 2. 列方程：根据直角顶点分类，结合等腰条件（如以P为直角顶点时，PA=PB且PA⊥PB)列出等 式： 3.解方程：求解上述方程，得到x的值； 4.验证合理性：检查P是否在函数图象上，舍去无效解。 【典例1】如图，平面直角坐标系中有点B(4,0)和y轴上一动点A(0,),其中a>0,以点A为直角顶 点在第一象限内作等腰直角三角形ABC. y A A B D O B本 图1 图2 备用图 (1)点C的坐标为 (用a表示)；判断：点C 函数y=x+4的图象上（填“在”或“不在”）. (2)当a=2时，如图2，点D的坐标为-2,0)，作等腰RtAADE,其中AD=AE,∠EAD=90°，连接 CE交y轴于点M,求点M的坐标. (3)在(2)的条件下，若点P在第二象限，且P,D,M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标. 【练习1】综合与实践 (1)我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上 知识转化角和边，进而解决问题例如：我们在解决：“如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,线 段DE经过点C,且AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证：AD=CE,CD=BE”这个问题时，只要证 明 2 ,即可得到解决.（填空，不需证明） 图1 图2 图3 图4 (2)如图2，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，点A坐标为(0,3)，点C1,0),若 ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,求点B的坐标 (3)【类比应用】如图3，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC,点A的坐标为(2，I),点C的 坐标为(4,2)，求点B的坐标 (4)【拓展提升】如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，-)，点B的坐标为(5,0)，以AB为 一边构造等腰直角三角形ABC,直接写出在第一象限内满足条件的所有点C的坐标， 【练习2】阅读理解，自主探究：“一线三垂直模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度 为90°，于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模 型中必定存在全等三角形。 B ●A 图1 图2 图3 备用图 (1)问题解决：如图1，在等腰直角ABC中，∠ACB=90,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于 D,BE⊥DE于E,求证：△ADC≌△CEB; (2)问题探究：如图2，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于 D,BE⊥CE于E,AD=3.2cm,DE=2.3cm,求BE的长； (3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，A(5,2),点B在第一、第三象限的角平分线1上，点C在y轴上， ABC为等腰直角三角形.直接写出符合条件的C点的坐标. 【练习3】在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为Aa,0),B(0,b),C-3,a,a,b满足 √a-2+b2-8b+16=0. A A 图1 图2 (1)如图1，求ABC的面积： 若点P的坐标为p,0，当SaPB三SAc时，求点P的坐 (3)如图2，点P在x轴上，当BP平分∠ABO时，在第一象限确定一点M,使△PBM是以BP为直角边的 等腰直角三角形，求出点M的坐标. 【题型4】全等三角形存在性问题 题型描述：给定一次函数上的动点，判断是否存在点使得与已知定点构成全等三角形（如△ACP≌ △AOB,P为动点)。 核心解题思路：全等三角形的关键是“对应边相等”或“对应角相等”。通常用“坐标变换”（如 平移、旋转)或“全等性质”（如SAS、ASA)将几何条件转化为代数方程，求解动点坐标。 基本解题步骤： 1.设点坐标：设动点P的坐标为(x,+b); 2.列方程：根据全等条件（如△ACP≌△AOB时，AC=AO且CP=OB)列出等式： 3.解方程：求解上述方程，得到x的值； 4. 验证合理性：检查P是否在函数图象上，舍去无效解。 【典例1】在平面直角坐标系中，已知A(-2,0),B(6,0),C(4,6),在平面内取一点Q(点0是不同于 点C的点)，若以A,B,Q为顶点的三角形与ABC全等，则符合条件的点Q的坐标为 【练习1】在平面直角坐标系中，A(-3,4),B(-1,3),C(-1,0. 5 45 2 -5-4-3-2-10 2345x 3 =4 (1)在图中作ABC关于y轴对称的△A,B,C,: (2)在(1)中，点D(-2,2)是AC边上一点，其对应点为D(a,b),则a+b=; (3)如果要使以B,C,D为顶点的三角形与ABC全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标.（点D与 点A不重合) 5 5-4-32-1 D2.34.5x 由图可知：D(1,4),D2(1,-1),D-3,-1: 【练习2】在平面直角坐标系中，点A的坐标(0,6)，点C的坐标(8,0).点P是x轴上的一个动点，从点 C出发，沿x轴向点O运动，当运动到点O时停止运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点B在 x轴的负半轴上，且△A0C的面积：AOB的面积=4：1. PC* P C 图1 图2 备用图 (1)请直接写出点B的坐标； (2)若点D在y轴的正半轴上，是否存在点P,使以P、D、0为顶点的三角形与AOB全等？若存在， 请求出点D坐标；若不存在，请说明理由： (3)点Q是y轴上的一个动点，从点A出发，向y轴的负半轴运动，速度为4个单位/秒.若P、Q分别 从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以P、Q、O三点构成的三角形与AOB全等. 【练习3】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABC的边BC在x轴上，A,C两点的坐标分 别为A(0,m),C(n,0),B(-5,0),且(n-3)2+√3m-12=0,点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿 射线BO匀速运动，设点P的运动时间为t秒 B (1)点A的坐标是 ,点C的坐标是 (2)连接PA,当△POA的面积等于ABC的面积的一半时，求t的值： (3)当点P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q,使△POQ与△A0C全等？若存在，请直接写 出点Q的坐标：若不存在，请说明理由