精品解析：北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年九年级上学期12月期末模拟考试数学试卷

北师大实验中学2025-2026学年度初三第一学期数学期末模拟测试 考生须知 1．本试卷8页：共四道大题，28道小题；满分为100分；考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案、作图一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，用铅笔作图，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 2. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补得出度数即可判断． 【详解】解：∵四边形内接于，若， ∴． 故选：B． 3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 等弧对等弦 C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念和三角形内心的性质，根据圆的性质和三角形内心的性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、平分不是直径的弦的直径垂直于弦，该选项命题错误，不符合题意； 、等弧所对的弦相等，该选项命题正确，符合题意； 、长度相等的弧不一定是等弧，该选项命题错误，不符合题意； 、内心是角平分线交点，到三边距离相等，到顶点距离不一定相等，该选项命题错误，不符合题意； 故选：． 5. 已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．点在圆上，点在圆外，直线经过和，因此直线与圆至少有一个交点，可能相切或相交． 【详解】解：点在上，直线与至少有一个公共点． 点在外，直线上存在点在圆外． 直线可能与相切（仅有一个公共点）或相交（有两个公共点，包括）． 直线与的关系是相交或相切． 故选：D． 6. 以外接圆半径为2的正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则（ ） A. 不能构成三角形 B. 这个三角形是等边三角形 C. 这个三角形是直角三角形 D. 这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，特殊角的三角函数，勾股定理的逆定理，计算正三角形、正方形、正六边形的边心距，得到三边长分别为、、 ，验证能构成三角形，且满足勾股定理逆定理，故为直角三角形． 【详解】如图，∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为2的圆，边心距分别为，，，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， 故选C． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据开口方向，抛物线与y轴交点坐标可判断a，c的正负，再根据对称轴为直线可判断b的正负，进而可判断选项；再根据，即可判断选项，再根据当时，二次函数对应的点的纵坐标为负即可判断． 【详解】解：由图象可知，， 对称轴是直线， ， ，， ， 故正确不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故错误符合题意， 由图象可知，当时，， 故正确不符合题意； 故选：． 8. 如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到（的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边对等角，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质并添加适当的辅助线构造全等三角形． 添加辅助线，先由边角边的判定方法证明与全等，由此可得，再证明与全等，由此可得，即可验证结论①；根据图形旋转的角度即可验证结论②；先由边边边的判定方法证明与全等，即可得到随着的增大，的长会减小的结论，由此可验证③；再由旋转角度可得到，由等边对等角可验证结论④． 【详解】解：连接，过点作于，于，如图， ∵，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 连接，如图， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， 在与中， ， ， ∴，，， ∴随着的增大，的长会减小； 当时，； 当时，， ∴的取值范围是，故③正确； ∵， ∴， 由旋转可知，； 当时，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如图，在四张完全相同卡片上分别画图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，简单的概率计算，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念和概率公式．根据中心对称图形的概念可求出中心对称图形的个数，再根据概率所求情况数与总情况数之比即可得解． 【详解】解：卡片上的图形是中心对称图形的是①、②、④，共有3张， 所以卡片上的图形是中心对称图形的概率是， 故答案为：． 10. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表所示，若，写出一个符合题意的的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，例如当，结合表格数据，可得和在抛物线上，即可求解． 【详解】解：例如当，根据抛物线的对称性，可得和在抛物线上， ∴的值可以是，（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 11. 某饰品店购进了一批挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．设每个挂件降价元，如果商家每天要盈利840元，请列出方程：________． 【答案】 【解析】 【分析】设每个挂件降价元，则每天的销售量为件，根据“商家每天要盈利840元”列出方程即可得到答案． 【详解】解：设每个挂件降价元，则每天的销售量为件， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，若关于的方程无实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，掌握数形结合思想解答是解题的关键．先将转化成与轴的交点问题，再通过解析式得到相当于向上平移个单位长度，最后通过图像可知最小值为，对的取值范围进行求解即可． 【详解】∵如图所示，的开口向上，与轴有交点， ∴存在最小值为． ∵将看成与轴的交点问题， 又∵方程无实数根， ∴与轴无交点，在轴上方． ∵相当于向上平移个单位长度， ∴，即，． 故答案为：． 13. 如图，是的直径，分别切于．若，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线长定理的应用，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，根据是的直径，得出，结合已知得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据切线的性质以及切线长定理得出，，进而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵分别切于． ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 故答案为：． 14. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小琪做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程．摸球的总次数为，摸到白球的次数为，下表是实验中的部分统计数据： （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到）； （2）根据表中数据估算，盒子里白球约有_______个（取整数）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，概率公式求数量．当试验次数很大时，摸到白球的频率会稳定在概率附近；根据概率可估算白球个数． 【详解】解：由表可知，当时，摸到白球的频率为，接近， 因此摸到白球的概率约为； 盒子里白球个数约为个． 故答案为；． 15. 已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，解得， ①当，即时， 则当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴，解得或（舍去）； ②当时，即时， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值，当时，函数值为， ∵， ∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75； 综上：； 故答案为：． 16. 已知等腰三角形的一边长等于它的外接圆的半径，则它的顶角度数是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】等腰三角形的一边长等于外接圆半径，分两种情况讨论：若底边等于半径，根据等边三角形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质即可得出它的顶角度数；若腰等于半径，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】情况1：底边等于它的外接圆的半径， 如图，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴它的顶角度数是或 情况2：腰等于它的外接圆的半径， 如图，当时，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 即它的顶角度数是 综上所述，顶角可能为、或． 故答案为或或． 三、解答题（共68分，17题4分，18题~22题每题5分，23题~25题每题6分，26题~28题每题7分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴或 解得： 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴或 解得： 【点睛】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解把原方程化为两个一次方程”是解本题的关键． 18. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程，当判别式时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根，若方程的两个实数根为、，则，． （1）根据方程有两个不相等的实数根得出判别式，列出不等式即可得答案； （2）根据（1）中结果得出值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【小问2详解】 设方程的两个实数根为、，且， ∴，， 由（1）可知：， ∵为符合条件的最小整数， ∴， ∵该方程的较大根是较小根的倍， ∴， ∴，， ∴， 解得：，． 当时，，则，符合题意， 当时，，则，与不符，舍去， ∴． 19. 已知：如图，是的弦． 求作：上的点，使得． 作法：①连接并延长交于P； ②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线交于点，连接 所以，点，就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接， ， （___________）（填推理的依据）． ． 都在上， （___________）（填推理的依据） ． 【答案】（1）见解析； （2）等腰三角形三线合一，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理以及尺规作图，熟练掌握等腰三角形三线合一和圆周角定理是解题的关键． （1）按照题目给出的作法步骤，依次用直尺和圆规进行操作，补全图形． （2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理的相关知识，填写推理依据． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示． 【小问2详解】 解：连接AQ，PQ， ∵ ，， ∴ （等腰三角形三线合一）． ∴ ． ∵ A，B，，都在⊙O上， ∴ ，（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， ∴ ． 20. 如图，是的直径，弦于点，且为中点，． （1）求的半径的长； （2）过作的垂线段交延长线于，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，特别是垂径定理及其推论，同时结合直角三角形的勾股定理，直角三角形中所对边是斜边的一半；解题的关键是灵活运用垂径定理得到弦心距与弦长的关系，并利用勾股定理建立方程求半径；对于第二问，通过直角三角形中所对边是斜边的一半的灵活应用转化条件，再结合勾股定理求解． （1）连接，由垂径定理可得，由为中点得，在中利用勾股定理列出关于半径的方程求解； （2）由，求得，，相互垂直平分，可得，，等边对等角得出，，在中，利用所对边是斜边的一半，求得的长． 【小问1详解】 解：连接， ∵直径 ∴ 又∵为中点 ∴ 在中， 即 解得或（舍） 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得 ∵， ∴， ∵为中点，且 ∴ ∴ ∴ 又∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵在中，， ∴ 21. 如图，在中，．将绕逆时针旋转后得，此时点在上，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余求出，根据旋转可得，然后根据等腰三角形的性质求出，即可求解； （2）根据等边对等角求得，根据三角形的两个锐角互余求得，根据旋转的性质得，，进而根据三角形的外角的性质以及直角三角形的两个锐角互余分别求得，进而根据等边对等角证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵将绕C按逆时针方向旋转角后得， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵旋转，则，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 22. 已知二次函数． …… …… …… …… （1）在平面直角坐标系中画出此函数图象； （2）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围： ； （3）若，点在抛物线上（不与点重合），直线交直线于点．若点位于抛物线的上方，则点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结合思想的运用； （1）根据列表，描点，连线画图即可； （2）根据二次函数的对称性求解即可； （3）根据题意作图，数形结合即可得解． 【小问1详解】 解：列表如图， …… 0 1 …… …… 0 0 …… 函数图象如图， 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线， ， 点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即， 解得：或； 【小问3详解】 解：如图， 由图象可知，当时，点位于抛物线的上方， 故答案为：． 23. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】（1）①随机；②4，1 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②4，1； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 24. 如图，是的直径，点为上一点，的平分线交于点，交于点，延长到点，使得． （1）求证：与相切； （2）若的半径为．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证明，即可得证． （2）过O作于F，过C作于H， 设，，则，根据勾股定理可得，根据等面积法可得，根据垂径定理和勾股定理可得，根据等面积法可得，进而可得，代入，解一元二次方程可求y，再根据勾股定理求出，再由勾股定理即可得解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 是直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 解：过O作于F，过C作于H， 设，，则， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 把代入得， ， 把代入得， 整理得， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的综合，涉及垂径定理，切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，运用数形结合思想． 25. 某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值． （1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1），图象见解析； （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可； （2）当时，，解得或，由图2可得，当时，，当时，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可设，， 当音量为时，听觉舒适度为6； ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 图象如下： 【小问2详解】 当时，， 解得或， 由图2可得，当时，，当时，， ∴小明所坐位置到音箱的距离的取值范围， 故答案为： 26. 在平面直角坐标系中，抛物线解析式为． （1）用含的式子表示抛物线的顶点坐标； （2）点为，点为． ①当时，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围； ②当时，若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质， （1）根据顶点坐标公式计算即可； （2）①将代入抛物线解析式得：，得到新的函数解析式，得出抛物线与线段有两个不同交点的条件，并求解即可； ②将代入抛物线解析式得：，得到新的函数解析式，得出抛物线与线段恰有一个交点的条件，并求解即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴， 把代入，得， ， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①当时，点为，点为， 将代入抛物线解析式得：， 整理得：， 设，其开口向上，对称轴为． ∴， 综合以上条件，取交集得． 答：m的取值范围为． ②当时，点为，点为， 将代入抛物线解析式得：， 整理得：， 设，其开口向上，对称轴为． 当或 或（另一个根在区间外）或（另一个根在区间外） 解得：或或（根在范围内，在范围外），或（根在范围内，在范围外）． 综合以上情况，m的取值范围为或． 答：m的取值范围为或． 27. 在中，，于．点是不与，，重合的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点在线段上时，点在线段上， ． （2）点关于点中心对称的对称点为点，连接，，． ①如图2，当点在线段上时，判断和的位置关系，并证明； ②若，，，直接写出长度的最小值． 【答案】（1） （2）①，证明见解析　② 【解析】 【分析】（1）由旋转得、，求出，再结合，可求出； （2）①延长到，使，由两中点得，，再利用线段间的关系证，，进而证明，再根据等腰三角形三线合一的性质证明垂直； ②由①得，通过角度运算可得，，则，将表示为，由、的运动轨迹求得的最小值，进而求得的最小值． 【小问1详解】 解：将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ； 【小问2详解】 ①解：，理由如下． 如图，延长到，使，连接，，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， ； ②解：如图，以为圆心，的长为半径作圆，由题可知，该圆即为点的运动轨迹，且始终位于圆上，与交于． 由①可知，， ， ，即， ，，、分别为和的中点， ， ， ， ， ， ， 由图可知，当位于与的交点时，取得最小值，此时有最小值， ，， ， ， 故． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，旋转性质，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理以及圆的轨迹应用，通过构造辅助线，证明全等三角形是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和线段外一点C，若满足，则称点C为线段的“亲和点”；对于，若同时满足点A是的“亲和点”，点B是的“亲和点”，点C是的“亲和点”，则称为“亲和三角形”． （1）点M为，点N为． ①在，，，中， 是线段的“亲和点”； ②若点是线段的“亲和点”，求a的取值范围； （2）点D为，，直线分别与x轴、y轴交于点F，G，若对于线段上的任意一点H，都存在线段，使得是“亲和三角形”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①、，②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意将，，，网格中标出并进行判断即可； ②取的中点T，以T为圆心，为半径作圆，再以为斜边，分别向上、向下作等腰直角、，分别以点K、L为圆心，以、为半径作优弧，此时得出的亲和点的轨迹，再令优弧与y轴的交点为S，与y轴的交点为J，连接，，，过点K作轴于点H，求出点T,点K的坐标，进而得出相关线段的长度，从而得出a的取值范围； （2）根据题意是亲和三角形需满足，， 同理，还需满足，，以点K为圆心，为半径画弧，再以点L为圆心，为半径画弧，分别延长，交优弧于点Q，P，分别延长，交优弧于点M，N，此时得出点H的轨迹为扇形和扇形，包含边界，设为直线，点G交y轴正半轴，点F交x轴负半轴，根据已知条件利用图象推导出的变化过程，进而得出t的取值范围． 【小问1详解】 解：①如图所示， ，，，， ∴、是线段的“亲和点”， 故答案为：、． ②如图，取的中点T，以T为圆心，为半径作圆，再以为斜边，分别向上、向下作等腰直角、，分别以点K、L为圆心，以、为半径作优弧， ∴的亲和点的轨迹为两段弧所夹的区域，包含边界， 令优弧与y轴的交点为S，与y轴的交点为J，连接，，，过点K作轴于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴a的取值范围是或． 【小问2详解】 解：∵是亲和三角形， ∴点D是的亲和点，点E是的亲和点， 即需满足，， 同理，还需满足，， 以点K为圆心，为半径画弧，再以点L为圆心，为半径画弧，分别延长，交优弧于点Q，P，分别延长，交优弧于点M，N， ∴当为亲和三角形时，点H的轨迹为扇形和扇形，包含边界， ∵， ∴点E在以D为圆心，2为半径的圆上， 当点E绕点D旋转时，两个扇形也绕点D旋转， 此时到旋转中心的最近点为K，最远点为P， ∴旋转过程中两个扇形区域形成的轨迹是以D为圆心，、为半径的圆环， ∵， ∴，， ∵，且， ∴点D在x轴正半轴上运动， 设为直线，点G交y轴正半轴，点F交x轴负半轴， ∴， 当点D由原点向右移动时，线段由小变大， 如图，当点G位于小圆上时，，， 解得， 如图，当t逐渐增大，点F位于大圆上时，，即，解得， ∴t的取值范围为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，新定义几何问题的理解，一次函数的性质及分类讨论思想等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2025-2026学年度初三第一学期数学期末模拟测试 考生须知 1．本试卷8页：共四道大题，28道小题；满分为100分；考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案、作图一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，用铅笔作图，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 4. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 等弧对等弦 C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 5. 已知直线上两点，点在上，点在外，则直线与的关系是（ ） A 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 6. 以外接圆半径为2的正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则（ ） A. 不能构成三角形 B. 这个三角形是等边三角形 C. 这个三角形是直角三角形 D. 这个三角形是等腰三角形 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到（的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如图，在四张完全相同的卡片上分别画图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_______． 10. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表所示，若，写出一个符合题意的的值：______． 11. 某饰品店购进了一批挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．设每个挂件降价元，如果商家每天要盈利840元，请列出方程：________． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，若关于方程无实数根，则的取值范围是_______． 13. 如图，是的直径，分别切于．若，则的长是_______． 14. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小琪做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程．摸球的总次数为，摸到白球的次数为，下表是实验中的部分统计数据： （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到）； （2）根据表中数据估算，盒子里白球约有_______个（取整数）． 15. 已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______． 16. 已知等腰三角形的一边长等于它的外接圆的半径，则它的顶角度数是______． 三、解答题（共68分，17题4分，18题~22题每题5分，23题~25题每题6分，26题~28题每题7分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值． 19. 已知：如图，是的弦． 求作：上的点，使得． 作法：①连接并延长交于P； ②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线交于点，连接 所以，点，就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接， ， （___________）（填推理的依据）． ． 都在上， （___________）（填推理的依据） ． 20. 如图，是的直径，弦于点，且为中点，． （1）求的半径的长； （2）过作的垂线段交延长线于，求的长． 21. 如图，在中，．将绕逆时针旋转后得，此时点在上，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 22. 已知二次函数． …… …… …… …… （1）在平面直角坐标系中画出此函数图象； （2）若点和都在此函数图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围： ； （3）若，点在抛物线上（不与点重合），直线交直线于点．若点位于抛物线的上方，则点的横坐标的取值范围是 ． 23. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 24. 如图，是的直径，点为上一点，的平分线交于点，交于点，延长到点，使得． （1）求证：与相切； （2）若的半径为．求的长． 25. 某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值． （1）求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线解析式为． （1）用含的式子表示抛物线的顶点坐标； （2）点为，点为． ①当时，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围； ②当时，若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围． 27. 在中，，于．点是不与，，重合的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点在线段上时，点在线段上， ． （2）点关于点中心对称的对称点为点，连接，，． ①如图2，当点在线段上时，判断和的位置关系，并证明； ②若，，，直接写出长度的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段和线段外一点C，若满足，则称点C为线段的“亲和点”；对于，若同时满足点A是的“亲和点”，点B是的“亲和点”，点C是的“亲和点”，则称为“亲和三角形”． （1）点M为，点N为． ①在，，，中， 是线段的“亲和点”； ②若点是线段的“亲和点”，求a的取值范围； （2）点D为，，直线分别与x轴、y轴交于点F，G，若对于线段上任意一点H，都存在线段，使得是“亲和三角形”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $