精品解析：江苏省太湖高级中学2025-2026学年高一上学期12月学情调研数学试题

江苏省太湖高级中学2025-2026学年高一上学期12月学情调研数学试题 命题人：韩杰 审题人：翟洪亮 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】, 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解 【详解】因为函数的对称轴为直线， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在区间上单调递减， 所以， 故选：A 4. 已知角的终边经过点，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可得，故， 故选：C 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，结合正弦函数的正负性进行判断即可. 【详解】因为函数是正数集上的减函数， 所以， 因为是第一象限角， 所以， 因此， 故选：D 6. 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（ ） A. 100 B. 82 C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数式与指数式的互化计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：B. 7. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用分段函数性质和正弦函数计算即可. 【详解】因为，所以利用多次递推， 则， ， ，， 此时符合， 代入得， 故选： 8. 已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性列出不等式组，求解即得参数范围. 【详解】由题意，需使①；在上恒成立②；③；④ 同时满足，由②可得；由③ 可得；由④ 可得. 综上可得：实数a的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题有个细节是关键，就是需要考虑第一段函数中真数部分函数在上恒为正数这一条件,而且还要考虑对数型复合函数的单调性. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 函数的最大值为2 D. 函数的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由周期公式求出周期即可判断A；计算即可判断B；由正弦函数性质即可判断C；计算不等式即可判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，， 所以函数的图象不关于点成中心对称图形，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以函数的最大值为2，故C正确； 对于D，令，解得，故D正确； 故选：ACD 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 11. 已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A. 该扇形面积的最小值为8 B. 当扇形周长最小时，其圆心角为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，知，则，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选项D利用二次函数可解. 【详解】由题意，知，则， 所以扇形面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，选项A错误； 扇形周长为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，圆心角为，选项B正确； ， 当且仅当，即时，等号成立，选项C正确； , 当时，上式取得最小值为，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知幂函数的图象经过点，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得，即可求解. 【详解】由题知，所以，则，所以 故答案为：. 13. 已知，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用诱导公式，即可求解. 【详解】因为，则， 故答案：. 14. 若，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由 已知，设，两式左右平方相加，利用两角差的余弦公式化简，再利用三角函数的有界性求解即可. 【详解】已知，左右平方得①， 设，左右平方得②， 将①②，利用化简得， ， 由余弦差公式得，代入上式， 即， ，因为的最大值为， 所以， 因此的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值； （2）已知是第三象限角，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）逆用两角和的正切公式，结合特殊角的正切函数值进行求解即可； （2）根据两角差的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以， 因为是第三象限角， 所以， 所以. 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）理解题意，利用三角函数的定义即可求得； （2）由三角函数的定义先求得，再利用二倍角公式将所求式化简成齐次的弦的分式，运用同角的三角函数关系式化弦为切，代入计算即得. 【小问1详解】 由题意可得与单位圆相交于点，则由三角函数定义可得： ， 所以，的值为. 【小问2详解】 易知， ， 上式分子分母同时除以得：原式， 所以，的值为. 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即，整理得. 【小问2详解】 当时，是对称轴为且开口向上的抛物线， 所以当时，； 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以； 综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 18. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （3）若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2）证明：当时，. 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案； （2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论； （3）换元后得到在有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为R，且为奇函数， 由，得， 此时. 因为，所以为奇函数， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解. 令，则在有两个不同的实数解， 令，其中， 所以，解得. 所以的取值范围为. 19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. （1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） . 证明如下： 左边， 右边. 所以，左边=右边， 所以，. （3） 【解析】 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案； （2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出； （3）代入整理可得有解.令，，，根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，，， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 原题可转化为方程有解，即有解. 令，，， 因为在上单调递增，，， 所以，. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即有最大值， 又当， 则要使有解，应有， 即，所以. 【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，，然后分别求出的值域，即可得出关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省太湖高级中学2025-2026学年高一上学期12月学情调研数学试题 命题人：韩杰 审题人：翟洪亮 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边经过点，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 4 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（ ） A. 100 B. 82 C. 18 D. 7. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是R上的减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知函数，，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 函数的最大值为2 D. 函数的单调递减区间为 10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集是或 11. 已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A. 该扇形面积的最小值为8 B. 当扇形周长最小时，其圆心角为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知幂函数的图象经过点，则的值是______. 13. 已知，则的值是______. 14. 若，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共6小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求的值； （2）已知是第三象限角，求的值. 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为. （1）求的值； （2）求的值. 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值； （2）当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； （3）若函数有两个不同的零点，求的取值范围. 19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. （1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $