甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高二上学期第5次周考数学试题

平凉一中2027届高二第一学期周考练数学试题（第5次） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设Sn为等差数列{a}的前n项和，已知4=3，S,=35,则S等于() A.15 B.18 C.24 D.48 2.四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为() B.g c 5 D. 81 3.在- 的展开式中x的系数为() A.144 B.136 C.128 D.121 4.将函数)=血；9的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y辅对称， 则P的一个充分不必要条件为() A.p=0 B.9=-I C.=2 D. 5设4，B是两个随机事什、且0号P②)号则下列结论正确的是（) .1 A.若A,B是互斥事件，则P(AB)={ R若2EA,则PMU卧8 C.若4，B是相互独立事件，则P4U®)-号 D.若P心@-子则A,B是相互独立事件 6.己知抛物线y2=4x的焦点为F,点A、B、C均在抛物线上，其中A(1,2),且点F是△ABC 的重心，则直线BC的方程为() A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0 C.x+2y-1=0 D.x+2y+1=0 7,若关于x的不等式m-b>0的解集是(0，-2)，关于x的不等式心+bc≥0的解集为() x-1 A.(-m,0]U(1,2]B.(-∞，0]U[1,2]C.[0,1)U[2,+∞）D.[0,1]U[2,+∞) 试卷第1页 共4页 、椭圆X+兴1(@>b>0的左、右焦点分别为，，以乃为焦点的抛物 y2=2Px(p>0)与椭圆在第一象限的交点为P,若2P-2PE=FE,则椭圆的离心率 为() A B. c.V2-1 D. √3-1 2 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.若(3-x)(2x-1)°=a。+ax+4,x2+…+4x",xeR,则下列选项正确的有() A.a2=560 B.a。=0 C.4+42+…+41=0 10.以下命题正确的有() A.若等差数列{a}满足4=8,4=-1，则4+4+…+a=32 1 B.若数列a}满足a=2,a11-4,则a2 1 C.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若S:>0,S。<0,则使得Sn取得最大值的正 整数n的值为8 D.若数列{a}为等比数列，Sn为其前n项和，S,=7,S4=21,则S2=49 1.已知双曲线c:上=1a>0的左、右焦点分别为乃，居，抛物线y广=8√2x的焦点与 a2-6 双曲线C的右焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则() A.双曲线C的渐近线方程为y=±W2xB.|P引=5V2 C.△F1PF2的面积为8√6 D.m∠RPR-9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界 数学通史”、“几何原本”四门选修课程要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三 三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有一种 试卷第2页，共4页 13.直线mx+-1=0(m>0,n>0)截圆x2-2x+y2-2y=0的弦长为25，则+4的 nn 最小值为 -x2-2x+1,x≤0 14.已知函数f(x)= ,若存在实数a,b,c满足a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c), 2-2,x>0 则(a+b)c的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 己知等差数列{2a,-bn}的公差为2，等比数列{2an+b}的公比为2，且4=b=1· (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列 4a2-b2 的前n项和T.: 3 16.(本小题满分15分) 己知(3x-2)”=4+4x+a2x2+…+a,x”,且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大 (1)求(3x-2)“展开式的所有二项式系数之和； ②求号+学++号的值： 3为 (3)判断(3x-2)的展开式中第几项系数的绝对值最大. 17.(本小题满分15分) 如图，在长方形S4BC中，AB=25,BC=2,设SD=x,2<x<23),将SAD沿AD折 起至△SAD,使平面SAB⊥平面ABC. (①) ( (I)证明：BC⊥平面SAB: (②)(2)若二面角S”-AD-B的平面角的余弦值为4 求SD的长 试卷第3页 共4页 18.(本小题满分17分) 已知圆C:x2+y2=4,直线1过点A(-2,1) (1)当直线1与圆C相切时，求直线1的方程； (2)设线段AB的端点B在圆C上运动， (i)求线段AB的中点M的轨迹方程： 位已知点N1,直线1与M的轨迹图形相交于P、O两点，当△NPO的面积取得最 大值时，求直线1的斜率 19.(本小题满分17分) 已知椭圆c:少+x 京+方=1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为R(0,1),R(0,-1),过点R垂直于 y轴的直线交椭圆C于P,Q两点且P②=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线y=+4与椭圆C交于A,B两点，直线AF2,BF的斜率分别为k,k, ①求证：k+k2为定值： ②求△ABF,面积的最大值， 试卷第4页，共4页平凉一中2027届高二第一学期周考练数学试题（第5次） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设Sn为等差数列{a,}的前n项和，已知a=3,S,=35,则S等于() A.15 B.18 C.24 D.48 【答案】D [a+2d=3 【详解】已知a4=3,S,=35,所以 a=-1 → 7a4+21d=35d=2 所以S=8a1+28d=-8+28×2=48 故选：D 2.四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为() A岛 5 B. 3 C.32 D. 55 81 【答案】B 【详解】四只鸽子飞回三个不同的笼子的总方法数为34=81， 其中“至少有一个空笼子”包含两种情况： ①恰有两个空笼子（即4只鸽子在同一个笼子），有C=3种： ②恰有一个空笼子（即4只鸽子在两个笼子里），有C(24-2)=42种， 故所求概率为42+3-45故选：B 81819 3在(- 的展开式中x的系数为() A.144 B.136 C.128 D.121 【答案】A 【解】Z。=C6(3)-(←yc若=0125 令9-号相，-2房以万=625c1描速：A 试卷第1页 共13页 4.将函数f(x)=sin 人29的图象向左平移5个单位长度后，得到的图象关于y轴对称， 则p的一个充分不必要条件为() A.p=0 B.= C.= 4 2 D.9=4 【答案】B 【分析】由函数平移后得到偶函数可得P,再结合充分不必要条件判断可得. 【详解】将函数/()=血合9的图象向左平移受个单位长度后，得到 x+ f(x)=sin 6"B 因为图象关于y轴对称，所以函数为偶函数， 则-p+亚=km+L→p=-km-匹keZ, 4 4 则少的一个充分不必要条件为”=-亚 4 故选：B 5设4,8是两个随机客仟，且P心0号P助-行划下列结论正确的是（) A:若4，B是互斥事件，则P4B)= B.若BEA,则P4UB)=6 C.若A,B是相互独立事件，则P4UB)=名 3 D.若P国-年则A,B是相互独立率件 【答案】C 【详解】若A,B是互斥事件，则A,B不可能同时发生，即P(AB)=O,故A错误； 若8EA,则4UB=A,所以PU剧=0=分故B错送： 若A,B是相互独立事件，则P(AB)=P(A④PB)=x- 236 ,所以 R4U的-元M因合子敢cF瑞： 因为到-有所以P到=1号号又0方所以0P国-号行即 P(AB)≠P(A)P(B),所以A,B不是相互独立事件，故D错误. 试卷第2页，共13页 故选：C 6.己知抛物线y2=4x的焦点为F,点A、B、C均在抛物线上，其中A(1,2),且点F是△ABC 的重心，则直线BC的方程为() A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0 C.x+2y-1=0 D.x+2y+1=0 【答案】A 【详解】抛物线方程为y2=4x,焦点F(1,0),若点F恰为△ABC的重心， 设B(x,),C(x2y2),则有y=4x1,y=4x2, 两式相减有：(-”(4+)=4(x-x)→。当-业三4 x2y+y2 又因为+出，+2=0→y+为，=-2→k0=-2, 3 又因为±，+1=1一X+,=2,可知线段BC的中点坐标为D1-1), 3 所以直线BC的方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.故选：A. 7.若关于x的不等式ar-b>0的解集是（←0，-2），关于x的不等式心+br≥0的解集为() x-1 A.(-o,0U(1,2]B.(-∞，0]U[1,2]C.[0,1U[2,+∞）D.[0,1U[2,+∞) 【答案】A 【详解】己知不等式m-b>0的解集是（∞，-2），由此可知a<0且=-2，即b=-2a, a 则不等式心+b≥0可化为2瓜≥0， x-1 x-1 由a<0,可得(x-2s0,解得x≤0或1<x≤2 x-1 故不等式(x-2s0的解集为（m,0小1,2] x-1 因此，关于x的不等式心+≥0的解集为(n,0小UL,2],故选：A x-1 8.椭圆+y2 。+方=1(a>b>0)的左、右焦点分别为R,R,以R,为焦点的抛物线 y2=2pPx(p>0)与椭圆在第一象限的交点为P,若2P-2P引=？，则椭圆的离心率 为() A B. c.2-1 D.3-1 2 2 试卷第3页 共13页 【答案】A 【详解】因为抛物线的焦点为E,则抛物线方程可写为y2=4x, 若2P-2PE=E,则P-P=c, 由椭圆的定义得P四+P=2a,所以PR=a+号PR=a-号 由抛物线的定义得PE引=x+c=a- 2,所以点P的横坐标x,=a-3C 代入抛物线方程得，g=ca-C）=4c-6e', 2 所以p-，+j+y-a八-6=a即-=0， 2 所以后号所以椭圆的离心率e-行故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.若(3-x)(2x-1)”=a,+4x+a,x2+…+4x,x∈R,则下列选项正确的有（) A.42=560 B.a。=0 C.4+4+…+4,=0 222 【答案】AD 【详解】当x=0时，(3-0)(2×0-1)°=a,=3.B错误. 当x=1时，(（3-1)(2x1-1°=a+a+…+41=2. 又，=3，所以4+4+…+a1=-1,C错误. →+经+…+-0-a=-3.D正确 又(2x-1°=C0(2x)°-m(1),m=0,12,,10, 当10-m=2时，即m=8,此时，展开式中x2的系数为3.C。·22.(-1)=540 当10-m=1时，即m=9,此时，展开式中x2的系数为 试卷第4页，共13页 (1)C。·2·（-1)°=20，.4=540+20=560，A正确.故选：AD 10.以下命题正确的有() A.若等差数列{a}满足a=8,a,=-1,则4+a+…+a=32 B.若数列}满足4-2，a12则aw 1 C.已知等差数列{a}的前项和为Sn,若Ss>0,S6<0,则使得Sn取得最大值的正 整数n的值为8 D.若数列{a}为等比数列，Sn为其前n项和，S,=7,S4=21,则S2:=49 【答案】BCD 【详解】对于A:因为{a}为等差数列，且4=8,4，=-1， 所以3d=-9,d=-3,则a.=8-3(n-1)=-3n+11. 则|4+|42|+…+4|=8+5+2+1+4+7+10+13=50，故A错误： 1 对于B,因为4=2，a,11-a -1,a1-a2 11 1 则4=1-4 -=2,, 所以数列a}是周期为3的周期数列，即a,=a,所以4=4-子，放B正确： 对于C,因为>0，及6<0，所以S,=15(a+a=15a>0,即4>0， 2 86-166+）_1a,+a<0,即4+4<0，故a<0, 2 所以S是Sn的最大项，即使得Sn取得最大值的正整数的值为8，故C正确. D选项，S,S4-S,S21-S4成等比数列，所以14=7(S1-21),解得S21=49,D正确： 故选：BCD 1.已知双曲线C:上=1a>0)的左、右焦点分别为R,R,抛物线y=82x的焦点与 双曲线C的右焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则() A.双曲线C的渐近线方程为y=士W2xB.PE引=5V2 C.FPE的面积为8√6 D.cs∠RPg-9 【答案】BC 试卷第5页 共13页 【分析】先根据条件求出α，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出P的坐标可判断其余 选项。 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为(2√2,0)，所以双曲线右焦点F（2W2,0),即c=2√2 又b=6,所以a2=c2-B=2,所以双曲线的方程为-y =1 26 对于A项，双曲线C的渐近线方程为y=士x=士√3x,故A项错误： x2y =1, 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程{26整理可得，3x2-8√2x-6=0, y2=8V2x, 解得x=3V或r=-2 （舍去负值)，所以x=3√5，代入y2=8√2x可得，y=±43 设P3√245)，又r(2W2,0),所以P=22-32+(0-43)°=5√2，故B项正 确： 对于C项，易知S5方Rk45-4x45-86,故c项正确： 21 对于D项，因为P=《-22-32+(0-=2, 所以，由余弦定理可得，cos∠RPE= 72+(5W2)-(4W2) 296, 故D项错误 2×7W2×5W2 357 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界 数学通史”、“几何原本四门选修课程要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三 三个学年必须将这四门选修课程选修完、则每位同学的不同选修方式共有」 种 【答案】78 【详解】因为数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年须将这四门选修课程 选修完， 当分配模式为1,1,2时，每位同学的不同选修方式有CA=36种： 当分配模式为0,1,3时，每位同学的不同选修方式有CA=24种： 当分配模式为0,2,2时，每位同学的不同选修方式 C三A=18种， 试卷第6页，共13页 则每位同学的不同选修方式共有36+24+18=78种. 故答案为：78 13.直线mx+w-1=0(m>0,>0)截圆x2-2x+y2-2y=0的弦长为2N2,则上+4的 最小值为 【答案】9 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得 m,n关系，然后由基本不等式求得最小值. 【详解】由题意圆的标准方程是(-1)2+(y-1)2=2,圆的圆心为C1,1),半径为r=√2， 弦长为2√2，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以m+n-1=0,即m+n=1, 1+4=0m+m+ +4=5+4m+”≥5+2， mx”=9,当且仅当”即m= m n m n m n m n 3 时等号成立. 故答案为：9. -x2-2x+1,x≤0 14.已知函数f(x)= ,若存在实数a,b,c满足a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c), 2-2,x>0 则(a+b)c的取值范围是 【答案】（-4，-21og23] 【分析】首先画出函数∫(x)的图象，再利用二次函数的性质，结合数形结合法，求临界值， 即可求解 【详解】如图，画出函数∫(x)的图像， y=f(x a-1b g,3c2 如图，存在a<b,f(a=f(b),则a+b=-2, 试卷第7页 共13页 令2-2=1，得x=1g23,令2-2=2，得x=-2, 如图可知，log23≤c<2, 所以(a+b)c=-2c∈(-4，-2log,3] 故答案为：（←4，-2l0g23] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{2a,-bn}的公差为2，等比数列{2a.+bn}的公比为2，且4=b=1· (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列 4a-b2 的前n项和T.· 3 【答案】（①）a=3-2+21-1 (2)Tn=n21-3.2”+3 4 【详解】(1)由4=b=1,得2a-b=1,24+b=3, 所以2an-bn=1+2(n-1)=2n-1,2a+bn=3.2"1 所以a=32+2-1 4 (2)由1)得4a--2-b)2a+b）-(2r12, 3 3 所以T=1×2°+3x2+5x22+…+(2n-1)2-1, 则2T=1×2+3×22+5x2++(2n-1)2”, 两式相减可得：-T=1×2°+2×2+2×22+…+2×21-(21-1)2”， 即-T=1+ 41-2-) -(2n-1)2m, 1-2 所以T=2”+1-32”+3 16.(本小题满分15分) 已知(3x-2)”=a。+ax+a2x2+…+a,x”,且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大 (1)求(3x-2)“展开式的所有二项式系数之和： 试卷第8页，共13页 (2)求及+++的值： 332 (3)判断(3x-2)”的展开式中第几项系数的绝对值最大. 【答案】(1)1024 (2)-1023 (3)第5项系数的绝对值最大 【分析】（1)由“第6项二项式系数最大”确定n=10,利用二项式系数之和公式2”求解 (2)通过赋值x=0得a,赋值x=代入展开式，变形后求得日标式子的值。 (3)写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的？值，确定项数 【详解】(1)因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以n=10, 所以展开式的所有二项式系数之和为20=1024. (2)令x=0,得a,=(0-2)10=1024 令写a+号+学-3到1 所以g+爱+…+8=-1023 332 310 (3)(3x+2)°展开式的通项T,1=Co30-×2x0 号 由 因为r为整数，所以r=4,所以(3x-2)的展开式中第5项系数的绝对值最大. 17.(本小题满分15分) 如图，在长方形SABC中，AB=2√5，BC=2,设SD=x,(2<x<2W3),将S4D沿AD折 起至△SAD,使平面SAB⊥平面ABC. S () () (1)证明：BC⊥平面SAB; 试卷第9页 共13页 2)若二面角S"-AD-B的平面角的余弦值为)，求SD的长： 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【详解】(1)因为四边形SABC为长方形，所以BC⊥AB, 又平面SAB⊥平面ABC,平面SAB∩平面ABC=AB, 所以BC⊥平面SAB; (2)如图所示，在(i)图中过点S作SO⊥AD,垂足为O, S D SO交AB于点E,连接SO.由翻折 E (①) (i) 知SOL AD 所以二面角S”-AD-B的平面角为∠S'OE, 在(i)图中设SD=x,可得AB=4,S0=2x ,0B=8 Vx2+4 xk2+4, 因为c0s∠SOB=4, 所以0B0E4 SO SO9 8 所以V2+4。 44 29,解得SD=x=3: Vx2+4 18.(本小题满分17分) 已知圆C:x2+y2=4,直线1过点A(-2,1) (1)当直线1与圆C相切时，求直线1的方程： (2)设线段AB的端点B在圆C上运动， (i)求线段AB的中点M的轨迹方程： 已知点 直线1与M的轨迹图形相交于P、Q两点，当△NPQ的面积取得最 大值时，求直线1的斜率 【答案】(1)x=-2或3.x-4y+10=0. (i)-2±V6 【详解】(1)己知圆C的圆心是O(0,0),半径是2， 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=-2,符合题意： 试卷第10页，共13页