精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

平罗中学2025-2026学年第一学期第三次月考试题 高二数学 满分：150分 考试时长：120分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 63 B. 70 C. 84 D. 126 2. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（   ） A. -3m/s B. 3m/s C. -4m/s D. 1m/s 3. 已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A. B. C. D. 5. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 31 B. 63 C. 127 D. 255 6. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 7. 已知数列满足，则满足不等式的的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间，上单调递增 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 是的极小值点 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前项和为，则的值为_________． 13. 已知函数，且，，，则的大小关系为________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，下列说法正确的序号是__________. ① ②双曲线的离心率为2 ③的面积为 ④直线的斜率为 四．解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列. （2）求数列的通项公式. 16. 已知函数. （1）求函数过点的切线方程； （2）求曲线的极值； （3）若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围. 17. 已知数列： （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前n项和，求． 18. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若为的两个不同的极值点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年第一学期第三次月考试题 高二数学 满分：150分 考试时长：120分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 63 B. 70 C. 84 D. 126 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式计算即可. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：C. 2. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（   ） A. -3m/s B. 3m/s C. -4m/s D. 1m/s 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 3. 已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 5. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 31 B. 63 C. 127 D. 255 【答案】C 【解析】 【分析】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【详解】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得解. 【详解】由，得， ，得. 故选：B. 7. 已知数列满足，则满足不等式的的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推式求出数列的通项公式，判断其单调性，令，求出n的范围，确定数列的项正负分界时的n的值，结合，即可确定k的值，即得答案. 【详解】由题意知数列满足， 故，则， 结合，可知数列为首项是，公比为的等比数列， 故，则， 由于在R上单调递减，则随n的增大而减小， 令，即得， 由于随n的增大而增大，且， 则，而，故， ， 即数列的前5项为正，从第6项起均为负， 故满足不等式的的值为6， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用构造法求得的通项公式，从而得解. 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设则,在中，利用余弦定理得到的方程，再利用得到的方程，两个方程联立，结合即可求解. 【详解】如图所示： 设,则,在中，， 由余弦定理得， 化简得，即.又， 即， 即， 化简得 ，又 所以 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间，上单调递增 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 是的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由导函数图象得到的单调性，进而得到极值点情况，从而可得结果. 【详解】由图象知，当和时，，所以函数在，上单调递增，故A正确； 当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当和时，，当时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误． 故选：ABC. 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的前项和，求出，再逐项判断作答. 【详解】数列的前项和，当时，， 而满足上式，所以，B正确； 数列是公差为的等差数列，是单调递减的，A不正确； 当时，，C正确； 当时，，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负， 因此当或4时，取得最大值，D正确. 故选：BCD 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前项和为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，据此可得，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】由题，则在点处的切线斜率为， 斜率为，则. 则，数列通项. 从而，所以 故答案为： 13. 已知函数，且，，，则的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，再通过比较自变量的大小即可求解. 【详解】，， 当时，，，则， 在上单调递增， ，，即. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，下列说法正确的序号是__________. ① ②双曲线的离心率为2 ③的面积为 ④直线的斜率为 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，由和双曲线的定义可得，，进而可得；对于②，由直线的斜率为，可得，在由余弦定理可得，进而可得；对于③，由可得，进而由可得；对于④，由点差法可得. 【详解】如图所示，对于①，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以，①正确． 对于②，已知直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则为锐角且，可得， 则， 在中，由余弦定理得， 即， 所以，因为，解得，②错误． 对于③，因为为钝角，则， 因，故， ，③错误． 对于④，设，则， 可得，因为，则， 由得，所以，则，④正确． 【点睛】关键点点睛：④直线的斜率为中点弦问题，考虑用点差法，设点做差可得，进而可得. 四．解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列. （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明：为常数， 所以为公差为的等差数列， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证， （2）根据等差数列的通项即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 16. 已知函数. （1）求函数过点的切线方程； （2）求曲线的极值； （3）若函数在区间上为单调递增函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）极小值为，无极大值 （3） 【解析】 【分析】（1）求，设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切线方程； （2）求出，利用函数极值与导数的关系可求出函数的极值； （3）令，由题意可知，对任意的，恒成立，分析函数在上的单调性，结合题意可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为，则，设切点为，切线斜率为， 故曲线在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得， 故切线方程为，即. 【小问2详解】 令，定义域为，， 由可得，由可得， 所以函数的单调递减区间为，增区间为， 所以函数的极小值为，无极大值. 【小问3详解】 令，， 因为函数在上为增函数，对任意的，恒成立， 因为在上为增函数，只需，即，解得， 因此实数的取值范围是. 17. 已知数列： （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前n项和，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用观察法及等差数列前n项和公式求解. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 由（1）知，， 故①， ②， 两式①-②得 ， 故. 18. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1）； （2）8 （3）证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； 【小问2详解】 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若为的两个不同的极值点，求的最小值． 【答案】（1） 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，结合的不同取值范围，分情况讨论即可求解单调区间； （2）求导函数，由题意可得有两个不等正根，可得，进而可得，令，利用导数求得最小值即可. 【小问1详解】 由，易知， 求导可得， 当时，，解得，，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，，解得或，，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当时，在上恒成立，当且仅当时等号成立， 所以函数的单调递增区间为； 当时，，解得或，，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. 综上：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； 【小问2详解】 由题意知：， 有两个不等正根， 所以，解得：， 所以 ； 令，则， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $