精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2026-2027学年高三上学期第一次适应性练习数学试题

福鼎四中2026-2027学年（上）第一次适应性练习 高三数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 9 D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是定义在上的奇函数，，则（ ） A. 2 B. 0 C. 60 D. 62 8. 已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每题6分，总共18分） 9. 已知，且，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是的充分不必要条件 C. 的单调减区间为 D. 若命题“，”是假命题，则a的取值范围为 11. 已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为__________． 13. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____． 14. 如果函数满足：(为实数），且，那么代数式______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围． 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； 18. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴； （3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2026-2027学年（上）第一次适应性练习 高三数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解一元二次不等式得全集，借助于数轴进行补集运算即得. 【详解】由可得，，即， 而，故. 故选：D. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，即可得到在复平面内对应点的坐标. 【详解】解：因为， 所以在复平面内对应点的坐标是． 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算，属于基础题. 3. 设，，若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：D 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 所以即； 因为为增函数，故即； 因为为减函数，故即， 综上. 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及零点个数即可判断得解. 【详解】函数的定义域为R，，函数是奇函数，图象关于原点对称，BD错误； 由，得，因此函数有唯一零点，的图象与x轴仅只一个交点，C错误，A满足. 故选：A 6. 已知函数，满足对任意的都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递减，结合指数函数单调性计算即可得解. 【详解】由对任意的都有成立， 故在上单调递减， 则，解得， 即实数的取值范围为. 7. 若函数是定义在上的奇函数，，则（ ） A. 2 B. 0 C. 60 D. 62 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 8. 已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，分别求出两函数在给定区间上的最小值，然后解不等式可求得答案. 【详解】因为，，使得，所以， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为在上单调递增， 所以，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 二．多选题（每题6分，总共18分） 9. 已知，且，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例可判断AB，利用不等式的性质可判断CD. 【详解】取，，，满足选项A，B中的前提条件． 对于选项A，有，故A是假命题； 对于选项B，有，故B是假命题； 对于选项C，∵，∴，由不等式的性质4知C是真命题； 对于选项D，， 同乘以，得， 又，∴，故D是真命题． 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 是的充分不必要条件 C. 的单调减区间为 D. 若命题“，”是假命题，则a的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据还有量词命题的否定可以判断，根据充分条件和必要条件的定义即可判断，根据函数单调性定义可以判断，由命题是假命题可知，函数的图像全部在轴上方，则且，即可判断. 【详解】对于，命题“，”的否定是“，”，故正确； 对于，由题意知，当时，则，所以，故充分性满足， 当时，若，则不能得到，故必要性不满足， 所以是的充分不必要条件，故正确； 对于，由可知，单调递减区间不是，故错误； 对于，由命题“，”是假命题可知，函数的图像全部在轴上方， 当时，则，即，得， 当时，因为不成立，所以原命题是假命题成立， 综上所诉，的取值范围为，故错误. 故选：. 11. 已知x，y为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐个判断A、B、C选项，利用配方法化简D选项中代数式即可求得最值. 【详解】当时，∵，∴，∴，当且仅当时，取等号，A选项正确； ，当且仅当时，取等号，B选项正确； ，当且仅当时，取等号，∴，C选项错误； ∴，D选项正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由指数式和对数式的互化，可将和表示出来，然后根据换底公式表示出和，代入，根据对数的运算性质计算即可. 【详解】因为，所以，， 所以，，所以. 故答案为：1 13. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【详解】解：因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象： 所以当或时，；当或时，， 由得或，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：. 14. 如果函数满足：(为实数），且，那么代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目规律，先求出，进而求得答案. 【详解】根据题意，令，则， 所以. 所以， 因为共有个， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，求出集合A和B，根据交集和补集的运算法则即可计算； （2）求出，根据题意可知集合A是的真子集，根据集合的包含关系即可求解． 【小问1详解】 当时，，或， ， ； 【小问2详解】 “”是“”的充分不必要条件， 是的真子集． ， （等号不同时成立），解得， 的取值范围是． 16. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数得和，进而求解； （2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式即可求解． 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为，所以， 即，解得， 从而有， 又由知，解得， 经检验适合题意，，； 【小问2详解】 由（1）知， 由上式易知在上为减函数， 又因是奇函数，从而不等式， 等价于， 因为是减函数，由上式推得， 即对一切有， 从而，解得． 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； 【答案】（1）因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，为的中点，， 所以，. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 取中点，连接，因为平面，所以. 正方形中，为中点，所以. 所以两两垂直. 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即，则，令，则， 所以. 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 18. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. 【小问2详解】 由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴； （3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2） ，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由题意可知，，解得． 所以，则， 又，则， 所以曲线在处的切线方程为， 故曲线在处的切线平行于轴． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数的正负得出单调区间； （2）根据导函数得出函数的单调性，再代入计算得出切线即可证明； （3）先求出导函数，再构造函数，再结合单调性得出参数范围. 【小问1详解】 当时，， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上有两个零点，即方程在上有2个根． 设，则， 令，则，所以在上单调递增， 即在上单调递增， 又，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，，当时，， 由题意可知，直线与曲线有两个交点，则， 故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $