安徽省县中联考2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试题

2025~2026学年度第一学期高三12月质量检测 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：集合与简易逻辑、复数、不等式、函数与导数、三角函数、平面向量、数列、 立体几何与空间向量。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知2+i,则 A.+ C.-z+zi D.-3 2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={x|22+x>10},则A∩B= A.{1,2} B.{4,5》 C.{1,2,3} D.{3,4,5} 3.“|m>1"是“>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若某社交APP的用户数每月增长10%，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间 约为(1g11≈1.04) A.15月 B.25月 C.35月 D.45月 5.设函数f(x)=(x十a)x2在区间(1,2)上单调递减，则a的最大值是 A.-3 B.-2 c- D.3 【高三12月质量检测·数学第1页（共4页）】 26-X-279C 6.记等比数列{an}的前n项和为S,若a1十a4=2,a2十a5=6,则S6= A.10 B.18 C.26 D.62 7.将函数f(x)=sin(ox+)(w>0)的图象向左平移答个单位长度后，得到的函数图象关于 直线x=晋对称，则✉的最小值是 A司 C.2 D.6 g(x),f(x)≥g(x), 8.已知f(x)和g(x)都是定义在R上的奇函数，设h(x) 则下列说法正 f(x),f(x)<g(x), 确的是 A.h(x)是减函数 B.h(x)是奇函数 C.h(x)≥f(x)+g(x) D.h(0)≥h(x)+h(-x) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在正三棱柱ABC-A,BC1中，D为AB的中点，则下列结论一定成立的是 A.CD∥平面ABC B.BC∥平面ACD C.CD⊥平面ABB1A D.AB1⊥平面A1BC 10.已知函数f(x)=x(x一2)(x一1)2，则 A.曲线y=f(x)关于直线x=1对称 B.f(x)的极大值为0 C.存在x∈(-1,0)，f(x)≥f(x-1) D.f(x)有最小值，无最大值 1.已知数列{a满足a1=号a1=。 a号 A.任意n∈N,0am<1 B.存在n∈N*,am<a+1 C.1+1+…+1≥n-1+2 1a2 an D.a1十a2十…+an<1 【高三12月质量检测·数学第2页（共4页）】 26-X-279C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若a与b的夹角的余弦值为 得则 13.已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16π，△ABC是边长为3的 正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为 14.若函数f(x)=((一a)lnx的极大值为0，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知向量a-(s咖x,受)b-(as(c+晋)2)，设函数fx)-a·k (1)求f(x)的最小正周期： (2)若x∈[0，受]，求f(x)的最值和单调区间. 16.(本小题满分15分) 已知数列a,}的首项a=号，且满足1十ad,1=2a (1)证明： 1 1a-1 是等差数列； (2)记[]表示不超过x的最大整数，S,T,分别为{a,}和仁的前n项和，求[Sn十T,]. 【高三12月质量检测·数学第3页（共4页）】 26-X-279C 17.(本小题满分15分)》 如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，∠BAC=∠DAC. (1)证明：BC=CD: (2)已知AC=2,△ABC的外接圆半径为1. (i)若∠BAD=30°，求AB·AD: (ⅱ)求△ABD面积的最大值， 18.(本小题满分17分) 如图几何体中，四边形ABCD和AEFD都是梯形，AB∥CD,AE∥DF,AB⊥AD,AB⊥ AE,AB-AE-AD-1,CD-DF-2. (1)证明：B,E,F,C四点共面； (2)若∠ADF=60°，求该几何体的体积； (3)求平面BDE与平面BEFC的夹角的余弦值的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x一a)ea(a>0). (1)求曲线y=f(x)在x=a处的切线方程； (2)设t>0,证明：对任意s∈（一t,t),都有f(s)<f(t); 3)若数列{}满是fx,≤易证明：∑<n-血+卫 2e 【高三12月质量检测·数学第4页（共4页）】 26-X-279C2025~2026学年度第一学期高三12月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【知识定位】复数的四则运算. 【考核目标】考查与复数相关的运算能力. 【解题思路】片市之+子放选A 【参考答案】A 2.【知识定位】集合的运算. 【考核目标】考查运算求解能力. 【解题思路】因为f(x)=2+x是增函数，且f(2)=6<10,f(3)=11>10,所以A∩B={3,4,5}.故选D. 【参考答案D 3.【知识定位】不等式、充要条件 【考核目标】考查绝对值不等式的求解能力及逻辑推理能力. 【解题思路】取m=-2.侧m>1,但mK品取m=合则m>但m<1.故>1是m> 的既不充分也不必要条件.故选D. 【参考答案】D 4.【知识定位】函数模型. 【考核目标】考查运算求解能力. 【解题思路】设用户数从100万户增加到1000万户需要的时间为t月，则1000=100×(1+0.1)‘，两边取常 用对数得g1.1=1,所以1=g-g气≈1÷0.04=25.故选B 【参考答案】B 5.【知识定位】利用导数求函数的单调性. 【考核目标】考查函数的单调性，利用化归思想分析问题，考查学生解决问题的能力 【解题思路】因为函数f(x)在区间(1,2)上是减函数，所以f(x)=x(3x十2a)≤0，即3x+2a≤0，所以a≤ 号，因为x∈1.2时，-3<-号<-受，所以a≤-3放选A 【参考答案】A 6.【知识定位】等比数列 【考核目标】考查利用数列相关知识分析问题和解决问题的能力 【解题思路】因为{an}是等比数列，所以a1十a4,a2十a5,a十a6成等比数列，所以a3十a6=18,所以S=2十 6+18=26.故选C. 【参考答案】C 7.【知识定位】三角函数的图象和性质， 【考核目标】考查图象转换能力和分析问题，解决问题的能力 【解题思路】函数f(x)=sin(ox+ξ)(>0)的图象向左平移否个单位后，得到的函数g(x)- sm(r十吾w十受)，因为曲线)=g)关于直线=吾对称，所以吾w十晋m十=x十受w=3论一子 【高三12月质量检测·数学参考答案第1页（共8页）】 26-X-279C k∈乙，因为w>0,所以@的最小值是号.故选B 【参考答案】B 8.【知识定位】分段函数、函数奇偶性与单调性的综合应用. 【考核目标】考查运算求解能力、问题转化能力、抽象概括能力： 2.x,x0, 【解题思路】设f(x)=2x,g(x)=x,则h(x) 画图可知h(x)不是奇函数，h(x)是增函数，故A,B x,x>0, |x,x≤0， 错误；设f(x)=一3x,g(x)=x,则h(x)= h(-1)=-1,f(-1)+g(-1)=2,所以f(-1)< -3x,x>0 f(-1)+g(-1),故C错误；对于D,对任意x∈R,若f(x)≥g(x),则-f(x)≤一g(),即f(一xm)≤ g(-xm),所以h(xo)=g(xo),h(-xn)=f(-xa),所以h(xn)+h(-x)=g(x)+f(-xa)≤g(xn)+ g(-xn)=0,h(0)=min{f(0),g(0)}=0,所以h(0)≥h(xo)+h(-x);若f(xn)<g(xo),则同理得h(xn) 十h(一x)<0.故D正确.故选D. 【参考答案】D 9.【知识定位】立体几何中的线面关系. 【考核目标】考查空间想象能力、 【解题思路】对于A,取A1B1中点E,连结DE交A1B于点O,连结OC1,若CD∥平面A1BC1,则由线面平行 性质定理可知，OC∥CD,矛盾，故A错误；对于B,如图，因为BE∥AD,CE∥CD,由线面平行判定定理可 知，BE∥平面A1CD,CE∥平面ACD,所以平面BCE∥平面ACD,所以BC∥平面ACD,故B正确：对 于C,因为AA⊥平面ABC,所以AA1⊥CD,因为CD是正△ABC的中线，所以AB⊥CD,由线面垂直判定定 理可知，CD⊥平面ABB1A1,故C正确：对于D,若AB1⊥平面ABC1,则AB1⊥A1B,由条件可知该结论不一 定成立.综上，故选BC. 【参考答案】BC 10.【知识定位】函数的导数、函数图象对称性、函数的极值与最值. 【考核目标】考查利用函数的单调性分析问题和解决问题的能力. 【解题思路】对于A,因为f(2-x)=(2-x)(一x)(1一x)2=x(x一2)(x-1)2=f(x),所以曲线y=f(x)关 于直线=1对称，放A正确：对于B,因为了)=2：-1D2-4红十1.所以当<22或1<< 2时，f(x)<0,x)递减：当>2或22<<1时了>0，r递指.所以=1是f的 极大值点，f(1)=0,故B正确：对于C,当x∈（一1,0）时，x一1<x<0,因为f(x)在（一o∞，0）上是减函数， 所以f(x)<f(红一1)，故C错误：对于D,由B选项分析可知，当x=2,至或x=2士时，(x)取得最小 2 【高三12月质量检测·数学参考答案第2页（共8页）】 26-X-279C 值，当x→十∞时，f(x)→十∞，所以f(x)无最大值，故D正确.综上，故选ABD. 【参考答案】ABD 11.【知识定位】数列的递推关系式. 【考核目标】考查对数列递推关系式的转化方法、不等式的综合应用、分析问题和解决问题的能力. 【解题思路】对于A,因为0<a<1,a层-a,十1=(a-)》'+是>0，所以a>0;因为a1-1= a市所以a+-1与a,-1同号，所以a,<1,即0<a,<1,∈N,放A正确：对于B,因为0<a,<1, an-1 -a+1>a>0所以a<要-a,即a1a,<a=专放B错误：对于C因为-是十 1,所以-1=士（公-1）装士=2南B知≥2时，士>2，所以止-1>2（仁-1）>…> 2(日-1)=2，所以+d+…+士≥n十(1+2+叶2)=0十-1，放C正确：对于D.由装 a2 ,1-1, 子 ∑a a+1 an a=1一1ar+ a1一，因 为二a>0.所以a<1,放D正确，综上，放选ACD 【参考答案】ACD 12.【知识定位】平面向量. 【考核目标】考查学生对向量的数量积的理解及运算能力. 【解题思路】由夹角公式得 √/x2+4 得解得=一1 【参考答案】-1 13.【知识定位】立体图形的体积和表面积. 【考核目标】考查分析问题能力、解决问题的能力. 【解题思路】设球心为O,因为球O的表面积为16π，所以球的半径R=2.因为△ABC的外接圆半径为√3，所 以O到平面ABC的距离d=√22一(5)=1，所以D到平面ABC的距离的最大值为3，所以四面体 ABCD的体积的最大值为：号×X3X1+2)=9E 4 4 【参考答案】 14.【知识定位】函数与导数及不等式的综合应用. 【考核目标】考查学生分析问题和解决问题的能力. In x+4-4a 【解题思路】因为∫(x)= .1nx,设g(r)=1nx十4-g 2√ (1)若a≤0，f(x)=(W元-a)·lnx≥0，不符合题意： (2)若a>0,g(x)=丘+24>0，所以g(x)在(0，十o∞)上递增，因为g(e)=-4ae<0,g(1十2)= at 【高三12月质量检测·数学参考答案第3页（共8页）】 26-X-279C 1n1十ad2)+4-a>4>0,所以存在唯一∈(0，十oo),g()=0. /1+a /1+a ①若a=1,则xo=1,当x>0时，f(x)≥0，f(x)递增，所以f(x)不存在极值，不合： ②若0<a<1,则0x<1,当xo<x<1时，f(x)<0,f(x)递减，当0<x<xn或x>1时，f(x)>0,f(x) 递增，f(x)的极大值为f(x)>f(1)=0,故0a<1,不合； ③若a>1,则x>1,当0<x<1时，f(x)>0,f(x)递增，当1<x<时，f(x)<0,f(x)递减，所以1是 f(x)的极大值点，且f(1)=0,所以a>1适合. 综上，实数a的取值范围是(1，+∞). 【参考答案】(1，十∞) 15.【知识定位】向量、三角函数、三角恒等式. 【考核目标】考查运算求解能力. 【解题思路】利用向量数量积得出函数关系式，利用函数关系式求解问题. 【参考答案】解：①)fn=a·b=sinx·cos(x十吾)+ 2分 4 =1sim2x+os2x=7sn(2x+)， 5分 所以f(x)的最小正周期为元…7分 2因为e[0,受]所以2x+亭∈[吾，弩]， 所以当2x+受=，即x=受时，)取得最小值，最小值为 当2x+号=受，即x=卺时，x)取得最大值，最大值为2 10分 当亭≤2x+苓≤受，即0区≤卺时，f八)递增： 当受<2x+吾<弩，即臣<<受时，递减。 12分 综上，x)的最小值为店，最大值为号；x)的单调递增区间为[0，卺]，单调递减区间为[音·受]， 13分 16.【知识定位】数列的递推关系、等差数列等. 【考核目标】考查分析问题能力、推理论证能力 【解题思路】利用递推关系证明等差数列，利用等差数列求出通项，进一步求解问题. 【参考答案】1)证明：因为1十a,a+1=2a,显然a≠0，所以a+1=24 ,…2分 an 所以、1 an an a+12a-11(2a,-1)-a。-an-a+1, an 1 21-721,……5分 【高三12月质量检测·数学参考答案第4页（共8页）】 26-X-279C 又。一=2，所以}是以2为首项1为公老的等差数列 7分 (2)解：由(1)得， -=十1， 1 8分 1,=1一n2 所以a.=1+n干'a 所以a.+1=2+1 1 ……10分 an 十n+1n十2' 所以s+T=(a+)+(a+d)++(a+士)） =2+(合-})+（号-子）++(hw十2)=2+22 …13分 因为0< 所以2m+日<2m+号2<2m+ 11 所以[S。十Tm]=21. 15分 17.【知识定位】解三角形. 【考核目标】考查学生对正余弦定理的理解和应用能力. 【解题思路】在三角形中利用正余弦定理求解问题. 【参考答案】(1)证明：设∠BAC=∠DAC=0, 因为∠ABC+∠ADC=180°，所以sin∠ABC=sin∠ADC, 1分 在△ABC中，由正弦定理得，sin ZABC-m0 AC BC AC 在△ACD中，由正弦定理得，sn∠ADC一sim0' CD 3分 所以BC=CD.…5分 (2)解：因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理得BC=CD=2sin0,…6分 在△ABC中，由余弦定理得，(2sin0)2=AB+2-2·AB·√2·cos0, 即AB-2W2cos0·AB+2cos20=0,① 在△ACD中，同理可得AD一2√2cos0·AD+2cos20=0,② 由①，②可知，AB,AD是关于x的方程x2-2/2cos0·x+2cos20=0的两根， 所以AB。AD=2c0s20.…8分 (1)因为∠BAD=30°，即20=30°，所以AB·AD=√5.… 10分 （i)△ABD的面积S=2AB·AD.sn20=os20·sm20 2in 40.... 12分 1△=8(cos20-c0s20>0, 由 12cos20>0 得，cos>2, 又0<0<受，所以0<0<平， 14分 所以S=S(ξ）=2 即△ABD面积的最大值为7 15分 【高三12月质量检测·数学参考答案第5页（共8页）】 26-X-279C 18.【知识定位】立体几何与空间向量. 【考核目标】在立体图形中考查学生的空间想象能力，及分析问题和解决问题的能力 【解题思路】(1)利用平行直线共面关系得出结论，(2)几何体的分割和补体求体积，(3)利用空间向量求解. 【参考答案】(I)证明：取CD中点M,DF中点N,连结BM,MN,EN,则MN∥CF, 因为AE∥DF,AE=DN=1, 所以四边形AEND是平行四边形，… …2分 所以EN∥AD,EN=AD, 因为AB∥CD,AB=DM=1, 所以四边形ABMD是平行四边形， 所以BM∥AD,BM=AD, 所以BM∥EN,BM=EN, 所以四边形BENM是平行四边形， 所以BE∥MN, 所以BE∥CF, 所以B,E,F,C四点共面. 5分 (2)解：法1：连结AF,BF,在平面ADF中，作FG⊥AD,垂足为G, 因为AB⊥AE,AB⊥AD,AE,ADC平面AEFD,AE∩AD=A, 所以AB⊥平面AEFD,即AB是三棱锥B-AEF的高. 因为FGC平面AEFD,所以AB⊥FG, 因为AB∥CD,所以CD⊥FG, 因为AD,CDC平面ABCD,AD∩CD=D, 所以FG⊥平面ABCD, 即FG是四棱锥F-ABCD的高，且FG=DFXsin∠ADF=√3.…8分 梯形AEFD的高为ADX sin∠ADF=写 2 所以Se-子×AE×号-号 4 因为SEm=2X(AB+CD)XAD=号X(1+2)X1= 2 所以该几何体的休积V=Vw+VD号×厚×1十号×号x厅=7径 12 10分 法2：延长FE,DA交于点P,因为EFC平面BEFC,ADC平面ABCD, 所以P是平面BEFC和平面ABCD的公共点， 因为平面BEFC∩平面ABCD=BC,所以P∈BC, 所以所求几何体的体积等于三棱锥C-PDF与三棱锥B-PAE的体 积之差。… ………7分 同法1可证AB是三棱锥B-PAE的高，CD是三棱锥C-PDF的高， P 因为AE∥DF,AD=AE=1,DF=2, 所以A为PD的中点，即PA=1,因为∠ADF=60°， 【高三12月质量检测·数学参考答案第6页（共8页）】 26-X-279C 所以S△PME= ×PAXAEXsin∠PAE-子×IX1xX号-9，sm=45wnE=5, 所以该几何体的体积 V=m-Vae=子×5x2-子×9×1- 4 12· 10分 (3)解：在平面AEFD中，过点A作AQ⊥AD,交EF于点Q,由(2)知AQ⊥平面ABCD, 以A为原点，{AD,AB,AQ}为基底，如图建立直角坐标系， 则D1,0,0),B(0,1,0),C(1,2,0), 设∠ADF=(0<π)，则E(-cos0,0,sin), 所以BD=(1,-1,0),BC=(1,1,0),B驼=(-cos0,-1,sin0).…12分 设平面BDE的一个法向量m=(x,y,之)， m·BD=0, x-y=0, 则 所以( m·B成=0,1 -xcos 0-y+zsin 0=0, 令x=1,则y=1,=1十c0s0 2oas号-1+1 sin 0 2sin cos2 tan 2 所以m tan n·BC=0, 1a+b=0, 设平面BEF℃的一个法向量n=(a,b,c),则 所以 In.BE=0, -acos 0-6+csin 0=0, 令a=1,则b=-1,c=os0-1 1-2sin20 2 -1 sin 0 0 2sin cos2 一tan2’ 所以n=（1,-1,-tan2 15分 设平面BDE与平面BEFC的夹角为a,则 m·n 1 cos a= m·n tar之 2+am㎡号） 5+2 tan'- 2 tan2号 5+4 tan tan2 2 当且仅当tm号=1，即9=受时，等号成立， 所以平面BDE与平面BEFC的夹角的余弦值的最大值为3· 17分 19.【知识定位】函数与导数. 【考核目标】考查函数的单调性，利用导数分析问题和解决问题的能力. 【解题思路】(1)先求导，求出含参的切线方程；(2)利用函数单调性证明不等式：(3)构造函数证明 【参考答案】(1)解：因为(x)=工，… …1分 【高三12月质量检测·数学参考答案第7页（共8页）】 26-X-279C 所以f(a)=e,f(a)=0, 所以曲线y=f(x)在x=a处的切线方程为y=e(x一a).… 3分 (2)证明：因为a>0,所以x<0时，f(x)<0,f(x)递减： x>0时，f(x)>0,f(x)递增；… 因为s∈(-t,t),所以0≤s<t,或-ts<0<t, 若0≤s<t,由f(x)在(0，十o∞)上递增得f(s)<f(t):… 5分 若一ts0<t,因为f(x)在（一∞，0）上递减，所以f(s)<f(一t), 要证f(s)<f(t), 只要证f(-t)<f(t). 7分 设F(x)=f(x)-f(-x),x>0, 则F)=f)+f(-0=-e=(e-e)>0, a 所以F(x)在(0，十∞)上单调递增，所以F(x)>F(0)=0,所以f(一)<f(t). 故f(s)f(t). …9分 (3)证明：由(2)知，f(x)在(0，十∞)上单调递增，f(0)=-a<0,f(a)=0, 因为对任意k∈N”,一a< 元<0， 所以存在唯一∈(0，a),使得f代)=一元，由f(a)≤-条=f)得≤，吾≤丝，…10分 a 首先证明兰<1一 ① h(x)=(x-a)ea-e(z-a), 则()=音c-e递增，因为a)=0,所以 当x∈(a,+∞)时，h'(x)>0,h(x)递增； 当x∈(-o∞，a)时，h'(x)<0,h(x)递减， 11分 所以h(x)≥h(a)=0,当且仅当x=a时取“=” 所以M)=/)ea)=条c-a0)>0,即÷<1-2k 1 13分 其次证明：>h为，k∈N.@ 设t(x)=x-ln(x+1),x>0, 则tx)千>0，所以)在0，+∞)上单调递增，所以1x)>1(0)=0, 令x=名，得>1n 15分 2e 综上，原不等式得证 17分 【高三12月质量检测·数学参考答案第8页（共8页）】 26-X-279C