精品解析：江苏省南通市海安市十三校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025～2026学年度第一学期十三校第二次联考 （学科：九年级数学 考试时间：120分钟 总分：150分 ） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是（　　） A. B. C. D. 2. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若两点在函数的图象上，则（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，以原点O为位似中心，把线段缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 9. 如图，直角中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，第11～12小题每小题3分，第13～16小题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为______． 12. 已知m，n为一元二次方程的两个实数根，则的值为___． 13. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 14. 如图，在中，半径垂直于弦，垂足为C，，，则__________． 15. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，则EF的长为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以，为边作平行四边形，且，，过点作轴于点， ，分别与反比例函数的图象交于点，若，则________；点D的横坐标为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下， ①点A经过路径的长度为 （结果保留）； ②点的坐标为 ． 19. 我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一条线路． （1）小强选择线路A的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率． 20. 如图，已知反比例函数的图象与直线交于点C，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出反比例函数自变量x的取值范围． 21. 如图所示，三个边长为1个单位长度的正方形ABCD，ABEF，EFGH拼在一起． （1）请找出中相似的两个三角形，并证明； （2）直接写出∠1，∠2，∠3这三个角度数之和． 22. 如图，是的直径，点C在上，，的切线与的延长线相交于点D． （1）求证：； （2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积． 23. 某商家销售一种成本为30元的商品，当售价定为40元/件时，每天可销售400件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过． （1）求每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； （3）当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元？ 24. 如图1，在正方形中，M是边上一点（不与点B重合），将绕点M顺时针旋转得，交于点H，连接交于点N． （1）①求证：， ②若，求证：N是的中点； （2）如图2，当点M、N分别在边延长线上时，若正方形的边长为5，，求线段的长． 25. 已知二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，．点E为二次函数在y轴左侧图象上的一点，过点E作直线交该抛物线于点F． （1）求二次函数的解析式； （2）若M为的中点，求的面积； （3）若直线相交于点P，当时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期十三校第二次联考 （学科：九年级数学 考试时间：120分钟 总分：150分 ） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，即如果把一个图形绕着某一点旋转，若能够与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键． 根据中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解． 【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等， 抽到《九章算术》是其中1种可能， 因此概率为成功事件数除以总事件数，即， 故选：C． 3. 若两点在函数的图象上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，通过将点A和点B的x坐标代入函数解析式，分别求出和的值，然后比较大小，即可作答． 【详解】解：∵两点在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠A=40°，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数. 【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A=180°-∠C=40°， ∴∠BOD=2∠A=80°， 故选B. 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质和同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，解题的关键是利用圆内接四边形的性质求出∠A的度数. 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 6. 已知点，，以原点O为位似中心，把线段缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，把线段缩短为原来的，点的坐标为， 点的坐标为，或．即或． 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 7. 已知抛物线（为常数）经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式性质（对称轴、开口方向与函数值的关系），解题的关键是利用开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的规律比较大小． 先确定抛物线对称轴为直线且开口向上，再计算各点到对称轴的距离，根据距离越远，函数值越大，比较出的大小． 【详解】解：抛物线的解析式为，这是顶点式， 对称轴为直线； ，抛物线开口向上， 点到对称轴的距离越远，函数值越大． 点到直线的距离：； 点到直线的距离：； 点到直线的距离：． 距离从远到近为：，结合开口向上的性质， 函数值大小关系为：． 故选：B． 8. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 【答案】B 【解析】 【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到AP的长的取值范围． 【详解】如图所示,过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E,则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA,此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠BPF＝∠A交AB于F,则△BPF∽△BAC, 此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠CPG＝∠B交AC于G,则△CPG∽△CAB, 此时,△CPG∽△CBA, 当点G与点A重合时,CA2＝CP×CB,即42＝CP×8, ∴CP＝2, ∴此时,0＜CP≤2; 综上所述,CP长的取值范围是0＜CP≤2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质. 9. 如图，直角中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为， ， ，，， ，， 点是的中点， ， ， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， 当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为3， 长的最小值是3， 故选：D 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 故选：C． 二．填空题（本大题共6小题，第11～12小题每小题3分，第13～16小题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”写出即可． 【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为， 故答案为：． 12. 已知m，n为一元二次方程的两个实数根，则的值为___． 【答案】-7 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得m＋n＝4，mn＝-3，再代入即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴m＋n＝4，mn＝-3，， ∴ ， 故答案为：-7 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝− ，x1x2＝． 13. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，半径垂直于弦，垂足为C，，，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，则．由垂径定理得到，在中，由勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：连接， 则． ∵半径垂直于弦，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键． 15. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，则EF的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值． 【详解】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直， ∴AB∥CD∥EF， ∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD， ∴，， ∴， ∵AB=1，CD=3， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，以，为边作平行四边形，且，，过点作轴于点， ，分别与反比例函数的图象交于点，若，则________；点D的横坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点A作轴于点G，在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，点的坐标为，则．根据题意得到四边形为矩形，，则，，由直线的解析式为，得到直线的解析式为， 联立方程组得，由此即可求解． 【详解】解：过点A作轴于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点A在反比例函数第一象限的图象上， ∴； ∴反比例函数解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，令，即， 解得，即， ∴， ∵，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线为直线向右平移9个单位长度得到， ∴直线的解析式为， 令， 解得，（舍去），． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，一次函数图形的平移，反比例函数与一次函数联立方程求值等知识的综合运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下， ①点A经过路径的长度为 （结果保留）； ②点的坐标为 ． 【答案】（1） 如图所示， 即为所求； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查旋转变换作图，关键在于先找到旋转后对应的点，也需要牢记弧长公式． （1）利用网格和旋转的性质画出点A、B对应的点和，相连得到所求三角形． （2）①先根据勾股定理求出的长，然后根据弧长公式求解即可；②根据所画图形写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， 所以点A经过的路径为； ②由图形可得∶ 点的坐标为∶． 故答案为： 19. 我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一条线路． （1）小强选择线路A的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小强和小丽选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小强选择线路A的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中小强和小丽选择同一线路的结果有3种， ∴小强和小丽选择同一线路的概率为． 20. 如图，已知反比例函数的图象与直线交于点C，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出反比例函数自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是先根据和求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式． （1）根据和求出点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可； （2）求出当时，，再根据反比例函数的图象解答即可． 【小问1详解】 解：设点的坐标为， ∵， ， ， 解得：， ， 点B的坐标为，点A的坐标为， ， ， 又， ， 解得：， 点的坐标为， 把点的坐标代入反比例函数， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴函数图象在每一象限内，y随x的增大而增大， 对于， 当时，， ∴当时，反比例函数自变量x的取值范围为或． 21. 如图所示，三个边长为1个单位长度的正方形ABCD，ABEF，EFGH拼在一起． （1）请找出中相似的两个三角形，并证明； （2）直接写出∠1，∠2，∠3这三个角度数之和． 【答案】 （1）ACF∽△AHC，理由如下： ∵AC，AF＝1，AH＝2， ∴， 而∠FAC＝∠CAH， ∴△ACF∽△AHC； （2）90° 【解析】 【分析】（1）由题意先分别得到AC，AF＝1，AH＝2，，加上公共角，于是可判断△ACF∽△AHC； （2）由△ACF∽△AHC得到∠2=∠ACH，然后利用三角形外角性质可得∠1=∠ACH+∠3=∠2+∠3． 【详解】解：（1）略 （2）∵△ACF∽△AHC∴∠2＝∠ACH， 而∠1＝∠ACH+∠3， ∴∠1＝∠2+∠3． ∵∠1＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形． 22. 如图，是的直径，点C在上，，的切线与的延长线相交于点D． （1）求证：； （2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接． ，， 是等边三角形． ． 是的切线， ． ． 又， ． ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明是等边三角形，然后利用切线的性质求解即可； （2）作于点E，利用角的三角函数求出，然后利用代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 作于点E． ，， ． ． ，， ． 图中阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，等边三角形的性质，求扇形面积等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23. 某商家销售一种成本为30元的商品，当售价定为40元/件时，每天可销售400件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过． （1）求每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润； （3）当销售单价定为什么范围时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为48元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为5760元； （3）问当销售单价定为时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和不等式的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． （1）依据“实际销量原销售量增加的销量”来确定与之间的函数关系式； （2）根据利润销售量单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质和单件该商品的销售利润不能超过，来判断出最大利润； （3）首先根据，求得，再根据单件该商品的销售利润不能超过，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 每天的销量（件与当天的销售单价（元件）满足的函数关系式为； 【小问2详解】 设每天获得的利润为元， 则， 单件该商品的销售利润不能超过， ， 解得， ， 当时，有最大值，最大值为5760元； 答：当销售单价定为48元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为5760元； 【小问3详解】 由题意知，即， 整理得， ， ， ， ， 答：问当销售单价定为时，商家销售该商品每天获得的利润不低于5250元． 24. 如图1，在正方形中，M是边上一点（不与点B重合），将绕点M顺时针旋转得，交于点H，连接交于点N． （1）①求证：， ②若，求证：N是的中点； （2）如图2，当点M、N分别在边延长线上时，若正方形的边长为5，，求线段的长． 【答案】（1） ①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②证明：设正方形的边长为，则， ∵， ∴； 过点作交的延长线于点，如图， ∵绕点顺时针旋转得, ∴，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴,， ∴， 分别以和所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，此时,，，，， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上， 又的中点坐标为，即， ∴N是的中点； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键． （1）①由正方形的性质可得，由旋转得，从而得，进而可得； ②设正方形的边长为，得，；过点作交的延长线于点，证明，可得,，，分别以和所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，此时,，，，，求出直线的解析式，可得结论； （2）方法同②可得直线的解析式为，求出，，延长交于点，证明，根据相似三角形的性质可求出，代入计算即可得的长． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：∵正方形的边长为5， ∴， 分别以和所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，此时,，， 设，过点作交的延长线于点，如图， 同（1）②可证， ∴，，, ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即 ∴， 延长交于点，则, ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 25. 已知二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，．点E为二次函数在y轴左侧图象上的一点，过点E作直线交该抛物线于点F． （1）求二次函数的解析式； （2）若M为的中点，求的面积； （3）若直线相交于点P，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出点B的坐标，从而得到点C的坐标，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）点，求出直线的解析式为，再由，可设直线的解析式为， 把点代入，可求出直线的解析式为，然后联立，可求出点F的横坐标为，从而得到点M的横坐标为，即可求解； （3）连接，设点，由（2）得：点，求出直线的解析式为，同理直线的解析式为，可求出点P的坐标为，再根据，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴点，即， ∵， ∴，即点， 把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 解得：， ∴点F的横坐标为， ∵M为的中点， ∴点M的横坐标为， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：如图，连接， 设点， 由（2）得：点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $