精品解析：贵州省遵义市县中联盟2025-2026学年高二上学期12月自主命题考试数学试卷

高二年级十二月县中联盟自主命题考试卷 数学 命题学校：遵义十五中审题学校：道真中学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至选择性必修第一册第二章2.3. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合,再根据交集的定义求解即可. 【详解】因，， 故. 故选：D. 2. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义及二倍角的正切公式计算得解. 【详解】由角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，得， 所以. 故选：D 3. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个圆的圆心和半径，再判断两个圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为半径为 ，圆的圆心为半径为 ， 则 ，， 因为 ，所以圆与圆相交. 故选：B. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得或与相交，所以A不正确； 对于B，由，可得或，所以B不正确； 对于C，由，可得，因为，所以，所以C正确； 对于D，在如图所示的正方体中，设平面为平面，平面为平面， 则，再设为直线，为直线，则平面，此时，所以D不正确. 故选：C 5. 将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得． 故选：B 6. 已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的方程，并将圆化为标准方程，求出点关于直线对称的点，即可根据圆心和半径写出方程. 【详解】由题意知，直线的方程为，即， 圆可化为， 故圆心，半径为， 设点关于直线对称的点为， 则，，解得， 因为圆与圆关于直线对称，所以， 又圆的半径为，故圆的标准方程为. 故选：C 7. 近年来，虽然电动汽车已经进入了千家万户，但是燃油车还是牢牢占有一席之地.燃油车的启动主要靠本身的蓄电池供电.已知某品牌汽车蓄电池的与电池相关的常数与放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件表示出，代入公式，结合指数和对数运算公式可求答案. 【详解】由题意可得，因为当放电电流时，放电时间， 所以; 当放电电流时，放电时间为 . 故选：A 8. 已知函数的定义域为为奇函数，且函数的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先根据为奇函数得出的对称中心，再根据的图象关于直线对称得出的对称轴，进而推出的周期，最后根据函数性质求出、、、的值。 【详解】因为为奇函数，所以，令， 则，即.令,得，且关于点中心对称， 因为的图象关于直线对称， 令，所以， 又，即, 令，则，说明关于直线轴对称， 由轴对称，中心对称， 得，令，则， 进而，即，即的周期为12， 由和周期，得， 所以，, ， ， 所以、、的值不一定为0， ，故. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由复数除法求得，根据共轭复数的概念判断；对B，根据复数的虚部的概念判断；对C，计算，根据复数的几何意义判断；对D，根据计算判断. 【详解】对于A：由得，所以，A正确； 对于B：复数的虚部是，B错误； 对于C：，对应的点为，在第四象限，C错误； 对于D：，D正确； 故选：AD. 10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ） A. 过点且垂直于直线的直线方程为 B. 直线过定点 C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设所求直线方程为，将点代入，求得，可判定A正确；化简直线为，求得直线过定点，可判定B正确；结合两直线垂直的判定方法，可判定C不正确；由求得，得出的方程，结合两平行线间的距离公式，可判定D正确. 【详解】对于A，设过点且垂直于直线的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 所以所求直线为，所以A正确； 对于B，直线， 可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点，所以B正确； 对于C，当时，可得直线， 此时， 所以与不垂直，所以C不正确； 对于D，当时，则满足，解得， 此时， 则两平行线间的距离为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，且，为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当时，点到平面的距离为 C. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 D. 若过点的平面截正方体所得的截面为平行四边形，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明平面，结合三棱锥的体积求法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断BD；利用球面的性质求出交线长度判断C. 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面， 则平面，点到平面的距离为定值，而的面积是定值， 因此三棱锥的体积为定值，A正确； 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 对于B，， ，有，则是平面的法向量，而， ，因此点到平面的距离，B错误； 对于C，令为球面与侧面交线上的点，由侧面，得， 而，，则，球面与侧面的交线是以点为圆心， 2为半径的圆的，长度为，C正确； 对于D，，当过点的平面截正方体所得的 截面为平行四边形时，平面与棱必相交，设交点， ，而，即，解得， 又，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知直线经过点，则直线的一般式方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线方程的两点式，写出方程，化简可得答案. 【详解】由题意可得直线，化简可得. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由投影向量的概念求出的坐标，再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】向量在平面上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 则，因，则. 故答案为：. 14. 已知函数，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定函数的定义域，然后通过换元法将函数转化为含根式的函数，再利用三角换元进一步转化为三角函数，最后结合三角函数的性质求出函数的最大值. 【详解】由已知条件得：，所以， 即，解得定义域为：， 令，则，，代入得： ， 即求在上的最大值， 令，其中，则代入得： ， 利用三角恒等变换：， 因此：， 因为：的最大值为1， 当，即（此时）时取得， 因此， 综上，的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 甲､乙两位同学参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，茎叶图记录如下： 已知这两组数据的中位数相等，且平均值也相等. （1）求茎叶图中的和的值； （2）分别计算甲､乙两位同学成绩的平均数和方差，并根据计算结果判断选派谁参加数学竞赛更合适，请说明理由. 【答案】（1） （2）；选派甲参加数学竞赛更合适，理由如下： 由（1）得， 则甲组数据的方差为： ； 而乙组数据的方差为： ， 因，两同学成绩平均水平相当，但甲同学的成绩更稳定， 故根据计算结果判断选派甲参加数学竞赛更合适. 【解析】 【分析】（1）利用一组数据得中位数和平均数的计算方法列方程求解即得； （2）利用平均数和方差的计算公式列式计算，在均值相等时，根据方差较小的一组作为选派对象即可. 【小问1详解】 由茎叶图可知，甲组数据从小到大排列为：， 则中位数为，平均值为：； 而乙组数据从小到大排列为：， 则中位数为，平均值为：， 依题意，有，解得； 【小问2详解】 ；选派甲参加数学竞赛更合适，理由略. 16. 在中，内角的对边分别为，已知为锐角，为边的中点，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据、诱导公式以及倍角公式化简即可求出，再结合角的范围即可求出； （2）将平方即可求出，再利用三角形的面积公式即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 则，即，得或， 因为为锐角，所以，则； 【小问2详解】 因为为边的中点，所以，则， 因为，所以，即， 得（负值舍去）， 则的面积为. 17. 已知直线过点，圆. （1）若直线与圆相切，求的方程； （2）若直线的斜率为3，设与圆的交点为，，求以线段为直径的圆的标准方程. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）分斜率存在与不存在讨论求解； （2）分别求得线段的长度和中点坐标，得到圆的标准方程. 【小问1详解】 圆，圆心，半径， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离， 所以，即此时直线与圆相切； 若直线的斜率存在，设，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得，所以，即， 综上，直线的方程为或； 【小问2详解】 若直线的斜率为，则，即， 圆心到直线的距离， 所以， 所以以为直径的圆的半径为. 因为直线的斜率为，所以圆心与线段中点连线的斜率为， 其方程为，即， 由得，即AB中点的坐标为， 所以以为直径的圆的标准方程为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面底面，且为等边三角形. （1）证明：. （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明: 过作于， 因为为等边三角形，故为的中点， ∵侧面底面，且侧面底面，平面内， ∴平面，连接， ∵底面是菱形，且，∴， 又，平面， 所以平面， 因为平面内，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，连接，通过求证平面，进而即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，由面面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设， 则， 则 设平面的法向量为， 则，令，得， 即， 设平面的法向量为， 则，令，得， 即， 设平面与平面所成角为， 则， 即平面与平面所成角余弦值为. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点. （1）求的解析式； （2）若函数在内有2个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据指数函数代点求，再根据奇函数的性质求，即可求函数的解析式； （2）首先判断函数的单调性，再根据函数奇偶性和单调性，将方程的实数根个数转化为与，在有2个不同的交点，利用数形结合，即可求解； （3）根据函数的性质，将不等式转化为，，再换元，利用参变分离，转化为求函数最值问题，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，，得， 所以，， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，得， 所以； 【小问2详解】 ， 函数的值域为，且为增函数，所以函数是减函数， ，即， 且函数为奇函数，所以， 所以在内有2个不同的实数根， 即，转化为与，在有2个不同的交点， ， 如图，画出函数,可知 所以的取值范围是； 【小问3详解】 不等式， 等价于， 因为函数是减函数，所以，， 即， 设，即， 则，在上恒成立， 函数在区间单调递增，所以的最小值为， 所以，即，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级十二月县中联盟自主命题考试卷 数学 命题学校：遵义十五中审题学校：道真中学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至选择性必修第一册第二章2.3. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，虽然电动汽车已经进入了千家万户，但是燃油车还是牢牢占有一席之地.燃油车的启动主要靠本身的蓄电池供电.已知某品牌汽车蓄电池的与电池相关的常数与放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为奇函数，且函数的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ） A. 过点且垂直于直线的直线方程为 B. 直线过定点 C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为 11. 如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，且，为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当时，点到平面的距离为 C. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 D. 若过点的平面截正方体所得的截面为平行四边形，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知直线经过点，则直线的一般式方程为__________. 13. 在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________. 14. 已知函数，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 甲､乙两位同学参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，茎叶图记录如下： 已知这两组数据的中位数相等，且平均值也相等. （1）求茎叶图中的和的值； （2）分别计算甲､乙两位同学成绩的平均数和方差，并根据计算结果判断选派谁参加数学竞赛更合适，请说明理由. 16. 在中，内角的对边分别为，已知为锐角，为边的中点，且. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 已知直线过点，圆. （1）若直线与圆相切，求的方程； （2）若直线的斜率为3，设与圆的交点为，，求以线段为直径的圆的标准方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面底面，且为等边三角形. （1）证明：. （2）求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点. （1）求的解析式； （2）若函数在内有2个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $