精品解析：江苏省淮安市涟水县第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025～2026学年度第一学期高三年级12月月考 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知平面向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则在上的极值为（ ） A. B. C. D. 5. 在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（ ） A. B. 11 C. D. 13 8. 已知是上的偶函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的图象与直线相切的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于轴对称 B. 曲线的对称轴为， C. 在区间单调递增 D. 曲线在点处的切线方程为 11. 已知二面角的大小为，，，且，，则（ ） A. 是锐角三角形 B. 异面直线与不可能垂直 C. 线段长度的取值范围是 D. 四面体体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 13. 若函数为奇函数，则a等于________． 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及的值． 16. 已知数列是等差数列，公差，，数列的前n项和为． （1）求及； （2）求数列的前项和． 17. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且． （1）求的值； （2）若，的面积是，的角平分线交于点． ①求； ②求的值． 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性 （2）若函数的极大值为． ①求实数a的值； ②令，实数.求证：有两个极小值点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期高三年级12月月考 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性得到答案. 【详解】在R上单调递增，故，， “”是“”的充要条件. 故选：C. 2. 已知平面向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积为零，利用模长公式，可得答案. 【详解】由，则，解得，即，可得. 故选：A. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】，解得，所以， 所以. 故选：B 4. 已知函数，则在上的极值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究单调性进而求极值即可求解. 【详解】由题意得：， 令，得或， 因为，所以， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为， 在上无极大值. 故选：C. 5. 在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用几何法作出线面角，再在直角三角形中根据直角边与斜边的长度关系求解即可. 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即直线C1D与平面所成角. 在正三棱柱中，有平面，即平面， 故即直线C1D与平面所成角. 平面，平面， . 又因为由题可知， 故，则. 故选：D. 6. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合角的范围，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系与二倍角公式，即可得解. 【详解】， 又因为，得， 又，，故，因此. 故选：B. 7. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（ ） A. B. 11 C. D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列通项与前n项和的基本量运算求得，再解不等式即得. 【详解】由可得， 解得，则， 由可得，解得. 故选：B. 8. 已知是上的偶函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件推得函数的对称轴为直线，判断2为函数的一个周期，结合上的函数的单调性作出两个函数的简图，即可求得交点个数. 【详解】由可得，即函数的图象关于直线对称，且， 又是上的偶函数，则，故得，即函数的一个周期为2. 因在上单调递增，且，，故可以作出函数与的示意图如下： 由图可知，与函数交点个数为10. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的图象与直线相切的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论. 【详解】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于轴对称 B. 曲线的对称轴为， C. 在区间单调递增 D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先利用和角公式化简函数得，利用函数奇偶性定义即可判断；对于B，C，利用正弦函数的图象性质即可计算判断；对于D，利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程求得切线方程判断. 【详解】对于A，依题意，则， 设，则，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 对于B，由，可得，即曲线的对称轴为，，故B正确； 对于C，由，可得，而函数在上单调递减，故函数在区间单调递减，即C错误； 对于D，由求导得，则， 故曲线在点处的切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知二面角的大小为，，，且，，则（ ） A. 是锐角三角形 B. 异面直线与不可能垂直 C. 线段长度的取值范围是 D. 四面体体积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，设，则.根据向量的数量积小于零，判断A；根据的取值情况判断B；用表示线段长度，可求得其取值范围，判断C；利用向量方法求得点到平面的距离，进而表示出四面体体积，并求得其最大值，判断D.特别注意，根据二次函数在给定区间上的值域进行求解判断. 【详解】过点作的平行线，且令，则. 因为，所以为二面角的平面角，所以. 因为平面，所以平面. 在平面中过点作，则两两垂直. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则. 则. 对于A，中，因为，且， 所以，所以是钝角，所以A错误； 对于B，，所以. 因为，所以，所以，所以，即，所以异面直线与不可能垂直，所以B正确； 对于C，. 因为，所以，所以，所以，所以线段长度的取值范围是. 所以C正确； 对于D，平面的一个法向量为，. 所以点到平面的距离. 所以四面体体积为. 所以当时，取得最大值，最大值为.所以D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一． 13. 若函数为奇函数，则a等于________． 【答案】 【解析】 【分析】由题得且，根据函数是奇函数即得解. 【详解】由题得， 所以且， 又为奇函数，定义域应关于原点对称， ∴a＝，此时， 为奇函数． 故答案为： 【点睛】本题主要考查奇函数的概念，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形面积相等，推得，再利用“乘1”法和基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，因，则可得， 即，化简得， 因，则， 当且仅当时，即时，取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系求出的值，再由三角形面积公式即可求得； （2）由余弦定理求出边的值，再由正弦定理即可求得的值. 【小问1详解】 由，且，则， 所以． 【小问2详解】 由余弦定理，，则， 又由正弦定理，则．. 16. 已知数列是等差数列，公差，，数列的前n项和为． （1）求及； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量运算求出首项，即可写出其通项公式；根据与的数量关系即可求得； （2）利用错位相减法即可求得. 【小问1详解】 由，解得， 故； 当时，， 当时， ， 验证当时，满足上式， 故； 【小问2详解】 由（1）知． ， 则， 两式相减得， 所以. 17. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则， 则． 证明：， 由，得， 由，得， 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量， 则,故， 令，得面的一个法向量为， 设二面角的值为， 则，所以，二面角的正弦值为． 18. 在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且． （1）求的值； （2）若，的面积是，的角平分线交于点． ①求； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算结合正弦定理得到，再结合两角和的正弦公式即可求解； （2）①由三角形面积公式得到，再结合余弦定理即可求解；②由即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ，则， 因为，所以，又，所以 【小问2详解】 ①由得， 由余弦定理得， 所以． ②由得 ， 所以 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性 （2）若函数的极大值为． ①求实数a的值； ②令，实数.求证：有两个极小值点，且. 【答案】（1）当时，在递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）①； ②， 则， 可知的定义域为， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当趋近于0或时，趋近于， 可知在内值域为， 令，可得，则， 且，令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 由的单调性和值域可知关于x的方程有2个不同的实数根，不妨设， 因为，则有： 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 所以有两个极小值点， 又因为， 则，， 所以. 【解析】 【分析】（1）先求的定义域，再求导，根据的范围分类讨论即可求解； （2）①根据的极大值即可求； ②由，构造，利用导数研究单调性求在的值域，令，可得，利用导数研究单调性进而得的极小值点，进而得证. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，在递增， 当时，令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减； 【小问2详解】 ①因为函数的极大值为，由（1）知， 此时函数的极大值为， 所以，解得； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $