精品解析：江苏省如皋高级中学、徐州一中、徐州三中、新海中学、宿迁中学五校联考2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

数学试卷 试卷满分150分考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知一组数据为，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 5. 已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，下列关于函数图象和单调性的说法正确的是（ ） A. 关于原点对称，在上先减后增 B. 关于轴对称，在上先增后减 C. 关于原点对称，在上先增后减 D. 关于轴对称，在上先减后增 7. 已知函数，若函数的图象与直线恰有三个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线交双曲线左右两支于两点，的内切圆的圆心为，若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则最小值为 10. 在锐角中，内角的对边分别为且满足．则下列选项中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 若，则 D. 的最大值为． 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点在线段上，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 当为线段上的中点时，平面 B. 点的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中常数项为___________（用数字作答）． 13. 已知函数，且，则实数的取值范围为___________． 14. 在“苏超”足球训练的点球挑战赛中，甲、乙两队轮流进行点球对决．每轮对决中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各轮结果相互独立．挑战赛规则为：当一队比另一队多赢得2轮对决时该队获胜，比赛结束．设比赛从0：0开始，则比赛4轮甲获胜的概率为：___________；则比赛结束所需的总对决轮数为的概率___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面四边形为正方形，是边长为2的等边三角形，且平面平面分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 16. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，___________，___________，设等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为． 17. 《周易》又称《易经》，是中国文化中一部最古老、最深邃的哲学与占卜经典，被誉为“群经之首，大道之源”．《周易》主要包括两部分《易经》（最古老的卦爻系统）和《易传》（“十翼”）．爻是卦的基本单位，卦象由阳爻（用一条长线段“一”表示，象征阳、刚、动等）和阴爻（用两条短线段“--”表示，象征阴、柔、静等）组成，共有64卦，每卦6爻，合计384爻，通过爻的组合与变化推测自然、人事的规律．莱布尼茨曾受阴阳爻启发，认为其与二进制（0/1）相通．我们用近代语解释为：把阳爻“一””当做数字“1”，把阴爻“--”当做数字“0”，则六十四卦代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000000 剥 000001 比 000010 观 000011 ．．． ．．． ．．． ．．． （1）成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，试分别写出这两个卦所表示的十进制数； （2）若某卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和； （3）在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记5分；若只有两个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻均不相邻，则记1分．设任取一卦后的得分为随机变量，求的概率分布和数学期望． 18. 已知椭圆的右顶点为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知为的右焦点，，为轴上两动点，且． （i）若的外接圆与在第二象限的交点为，直线交轴于点，记的面积为的面积为，求； （ii）若直线分别与交于点，求证：直线恒过定点． 19. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数）． （1）证明：①；②； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）判断函数的零点个数，并写出零点表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 试卷满分150分考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解不等式确定集合范围，再用数轴表示集合，取公共部分得交集即可. 【详解】因为，所以， 解得，所以， 因为，即， 又因为对数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 所以. 故选： C. 2. 若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，结合实部与虚部相等，可得，再解方程即可． 【详解】， 因为实部与虚部相等， 所以，解得． 故选：D． 3. 已知一组数据为，则“”是“这组数据的中位数为4”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解． 【详解】“”，则题中数据从小到大排列为或， 中位数均为4，充分性成立， “这组数据的中位数为4”，若，仍满足这组数据的中位数为4，必要性不成立， 所以“”是“这组数据的中位数为4”的充分不必要条件． 故选：B． 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及求和公式，即可求解判断. 【详解】设等比数列的公比为， 则根据等比数列的性质可得：， 即得， 根据公比不为1的等比数列的求和公式得： . 故选：B. 5. 已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最大距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 6. 已知函数，下列关于函数图象和单调性的说法正确的是（ ） A. 关于原点对称，在上先减后增 B. 关于轴对称，在上先增后减 C. 关于原点对称，在上先增后减 D. 关于轴对称，在上先减后增 【答案】C 【解析】 【分析】通过导函数的正负来判断函数的单调性. 【详解】因为函数是奇函数，所以关于原点对称， 又，令， 则， 当时，则在上单调递减， 由， 则由零点存在性定理可知，存在，使得， 则当时，当时， 所以函数在上先增后减. 故选：C． 7. 已知函数，若函数的图象与直线恰有三个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数恒等变换、正弦函数解的分布规律等求解即可. 【详解】 令，则，即． 因为两个函数图象有三个交点，结合正弦函数的图象，所以 解得， 故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，经过的直线交双曲线左右两支于两点，的内切圆的圆心为，若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据内切圆的性质，可由面积比得到边长比，设出边长，利用双曲线的概念，结合余弦定理，可得答案. 【详解】 因为，所以， 设，则， 由定义可知：， ， 即，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，， 解得：， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，B选项通过作差法求解即可；对于C选项，通过幂函数的单调性判断即可；对于D选项，通过基本不等式求解即可. 【详解】对于A选项，因为，所以，，所以A正确； 对于B选项，因为，作差，所以B正确； 对于C选项，因为，幂函数递增，则，所以C错误； 对于D选项，因为，，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 10. 在锐角中，内角的对边分别为且满足．则下列选项中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 若，则 D. 的最大值为． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正余弦定理、辅助角公式等逐项分析判断即可. 【详解】选项A：由正弦定理得 所以，成立，A正确； 选项B：，B错误； 选项C：由余弦定理得， 所以，整理得， 因为锐角，解得，C正确； 选项D： ，D错误． 故选：AC. 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点在线段上，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 当为线段上的中点时，平面 B. 点的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A:延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，当为线段上的中点时，为的中心，即可得判断； 选项B,C:结合图形，得出点在平面的轨迹为，当点运动到与的交点时有最小值，从而得出答案； 选项D: 根据三棱锥为正四面体，即可判断. 【详解】将三条侧棱延长相交于点，可得三棱锥为正三棱锥． 选项A:, 故三棱锥为正四面体． 当为线段上的中点时，为的中心， 故平面，故A正确; 选项B，C: 依题意，取中点，中点，连接，则有，所以的延长线必过点且， 过点作，则四边形是边长为1的菱形. 如图所示： 在中，，即， 解得，所以， 所以为边长为3等边三角形， 所以， 所以， 因为是边长为3的等边三角形且为中点， 所以，， 在中，由余弦定理变形得，， 在中，由余弦定理变形得， ， 解得，所以，所以； 由，可得平面， 又平面，所以， 由，，，可得平面， 因为与平面所成角的正切值为， 所以，解得，， 所以点在平面的轨迹为， 当点运动到与的交点时有最小值， 因为四边形是边长为1且的菱形， 所以，所以， 所以点的轨迹长度为,所以的最小值为， 故B正确，C错误； 选项D:当为中点，为中点时，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中常数项为___________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的展开式求解. 【详解】设通项为， 令，得，则． 故答案为： 13. 已知函数，且，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，判断出单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】， 令，则，， 所以， 所以为偶函数， 故的图象关于直线对称，所以， 又， 当时，，即，所以，即， 所以在上单调递增，由对称性可知，在上单调递减. 所以等价于或， 解得，或，又，所以或. 故实数的取值范围为. 故答案为：． 14. 在“苏超”足球训练的点球挑战赛中，甲、乙两队轮流进行点球对决．每轮对决中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各轮结果相互独立．挑战赛规则为：当一队比另一队多赢得2轮对决时该队获胜，比赛结束．设比赛从0：0开始，则比赛4轮甲获胜的概率为：___________；则比赛结束所需的总对决轮数为的概率___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析比赛4轮甲获胜的情况计算即可；比赛结束所需的总对决轮数为时前局每两局每人获胜1局，最后两局是同一个人获胜即可. 【详解】比赛4轮甲获胜时，1、2两局各胜1局，3、4两局甲获胜， 所以 比赛结束所需的总对决轮数为时，分为甲或乙胜， 不管最终哪个人获胜，前局，每两局每人获胜1局，最后两局是同一个人获胜， 所以 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面四边形为正方形，是边长为2的等边三角形，且平面平面分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，则，且， 因为四边形是正方形，所以， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为面面， 所以平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，要证明线面平行，则需要通过证明线线平行来判定线面平行，即证明. （2）方法一：先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，利用坐标法求出平面和的法向量，然后根据向量夹角的余弦公式求出结果即可.方法二：先根据垂直关系确定是二面角的平面角，然后根据线段长度和几何关系求出正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：分别取中点，连接， 则面面， 则两两垂直， 所以为正交基底建立空间直角坐标系， 正方形和是边长都为2，所以， 则， 则 设面的法向量 则，取， 因为面，所以面的一个法向量可取， ， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为． （2）解法二（综合法）：在中，作，垂足为， 因为面面，所以面面， 则面，则， 又因为分别为中点， 可得，则， 因为，所以， 所以， 因为与是面内相交直线， 所以面，则， 所以是二面角的平面角， 又因为， 在中，， 所以， 所以二面角的正弦值为． 16. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，___________，___________，设等比数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为． 【答案】（1）选①②，选①③，选②③：， （2） 【解析】 【分析】（1）选①②：由②解得，利用化简条件，最终求得的通项公式； 选①③：由③解得，利用化简条件，最终求得的通项公式； 选②③：由②得：，由③得：，联立方程组解得：，利用化简条件，最终求得的通项公式； （2）由(1)得，利用错位相减法即可求. 【小问1详解】 选①②： 当时，由②得： ，解得： 因为， 当时，，两式相减得： ，解得：， 方法一：，所以均成立，所以 方法二：，累积法得均成立，所以 选①③： 当时，由③得：，解得： 因为， 当时， 两式相减得：，化简得： 对也成立 当时， 两式相减得 化简得，所以数列为，公差的等差数列， 所以； 选②③： 当时，由②得：，即（i）， 当时，由③得：（ii），联立（i）（ii）解得： 接下来的过程与选①②，或与选①③的过程完全相同，都得到； 设等比数列公比为，则 所以，公比，所以 【小问2详解】 由（1）得，利用错位相减法， 两式相减得： 所以 17. 《周易》又称《易经》，是中国文化中一部最古老、最深邃的哲学与占卜经典，被誉为“群经之首，大道之源”．《周易》主要包括两部分《易经》（最古老的卦爻系统）和《易传》（“十翼”）．爻是卦的基本单位，卦象由阳爻（用一条长线段“一”表示，象征阳、刚、动等）和阴爻（用两条短线段“--”表示，象征阴、柔、静等）组成，共有64卦，每卦6爻，合计384爻，通过爻的组合与变化推测自然、人事的规律．莱布尼茨曾受阴阳爻启发，认为其与二进制（0/1）相通．我们用近代语解释为：把阳爻“一””当做数字“1”，把阴爻“--”当做数字“0”，则六十四卦代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000000 剥 000001 比 000010 观 000011 ．．． ．．． ．．． ．．． （1）成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，试分别写出这两个卦所表示的十进制数； （2）若某卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和； （3）在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记5分；若只有两个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻均不相邻，则记1分．设任取一卦后的得分为随机变量，求的概率分布和数学期望． 【答案】（1）7；56； （2）630 （3）的概率分布列如下： 1 2 5 【解析】 【分析】（1）利用二进制转换成十进制的方法即可求解； （2）利用列举15种情形，再转换成十进制计算即可； （3）利用排列组合计算古典概型概率，即可得分布列求出期望. 【小问1详解】 “否”卦所表示的二进制数为000111，转化为十进制数是， “泰”卦所表示的二进制数为111000，转化为十进制数是 【小问2详解】 因为该卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成， 所以该卦所表示的二进制数共有个，分别为： 001111，010111，011011，011101，011110，100111，101011，101101，101110，110011，110101， 110110，111001，111010，111100， 因为这15个数中，每个位置都是5次0，10次1， 所以所有这些卦表示的十进制数的和为． 【小问3详解】 依题意可得， 则， 所以的概率分布列如下： 1 2 5 所以，即数学期望为． 18. 已知椭圆的右顶点为，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知为的右焦点，，为轴上两动点，且． （i）若的外接圆与在第二象限的交点为，直线交轴于点，记的面积为的面积为，求； （ii）若直线分别与交于点，求证：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明:设直线的方程为， 联立，消去，整理得， 因为直线与交于， 所以，即． 因为， 所以， 所以， 即，即， 化简得， 因为，所以， 所以直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆右顶点、离心率求出、值，代入椭圆标准方程即可. （2）（i）利用垂直关系得到，求出直角三角形外接圆方程，与椭圆联立得到点纵坐标，结合三角形面积公式求解即可. （ii）设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理及的值，化简后可发现轴上截距为定值，即可得证. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 因为椭圆的右顶点为，所以． 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i）由，，得． 中，外接圆圆心为中点，半径为. 所以外接圆方程为， 整理得， 设， 则， 消去，得， 即 化简得， 又，所以． 过点作轴，则，所以. 所以． （ii）略. 19. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数）． （1）证明：①；②； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）判断函数的零点个数，并写出零点表达式． 【答案】（1） ①因为，， 所以 ②因为，， 所以 ， 即； （2） （3） 当时只有一个零点，且零点为； 当时有三个零点，分别为，，． 【解析】 【分析】（1）根据所给解析式，结合幂的运算性质计算可得； （2）设，即可判断的奇偶性，依题意只需时即可，求出函数的导函数，令，求出导函数，再分、、三种情况说明的单调性，即可得解； （3）首先说明，从而得到，令，即可得到或，再对分类讨论，分别求出函数的零点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则为定义域，又， 为定义域上的偶函数，只需时即可； ，，， 令， 则． ①当时，，对任意单调递减，单调递减； 对任意恒成立； ②当时，，任意，单调递增，，单调递增； 对任意恒成立，不满足题意； ③当时，，又为连续函数， 所以存在，使得在内， 则在上单调递增， ， 单调递增，，不满足题意； 综上知，实数的取值范围是． 【小问3详解】 因为，， 所以， 又，当且仅当时取到等号， 又 ， 令，则， 即或， 即或， 对于，解得； 对于， 令，则，所以为偶函数， 又， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增，又， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，又， 当，即时与无交点，即无解； 当，即时与有且仅有一个交点，即有一个实数根，即为； 当，即时与有两个交点， 由，解得或； 综上可得，当时只有一个零点，且零点为； 当时有三个零点，分别为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $