精品解析：甘肃省环县第一中学2027届高三第一次模拟考试数学试卷

环县一中2027届高三第一次模拟考试 数学试卷 一、单项选择题（每小题5分，共计40分） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（ ） A. 真，：， B. 假，：， C. 真，：， D. 假，：， 3. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 6. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. ，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共计18分） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 下列四个结论中，正确的结论是（   ） A. 与表示同一个函数． B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 函数的值域为 D. 已知，，则的取值范围的取值范围是． 11. 已知函数,，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有3个零点 B. 当时，若函数有三个零点，则 C. 若函数恰有2个零点，则 D. 若存在实数m使得函数有3个零点，则 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____. 13. 函数的单调递减区间为______. 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 四、解答题（共5道题：其中15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分；请写出必要的文字说明及解答过程．） 15. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2027届高三第一次模拟考试 数学试卷 一、单项选择题（每小题5分，共计40分） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 得． 2. 已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（ ） A. 真，：， B. 假，：， C. 真，：， D. 假，：， 【答案】C 【解析】 【分析】先通过特殊整数验证命题的真假，再依据特称命题的否定规则得出的形式. 【详解】取，此时，，满足，因此命题p为真命题， 根据特称命题的否定规则，特称命题的否定为全称命题， 因此命题的否定为. 3. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定即可. 【详解】由于，则，而，故． 即，故A成立； 因为，故，故B成立； ，故C成立； 取，检验可知D不一定成立。 故选：D 4. 设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 5. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数，所以， .因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确. 故选：C. 6. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解. 【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，； 令，则，则在上单增，，则. 故选：C. 7. ，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 当且仅当：，即时，等号成立， 此时函数的最小值为， 若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即 解得， ， ， 故选：D． 8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 二、多项选择题（每小题6分，共计18分） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误,根据对数函数恒过,即可得选项C正误,根据“1”的代换,即可得选项D的正误. 【详解】对于A：由题知,“”的否定是“”，故A正确； 对于B：若不等式的解集为, 则的两根为，且, 根据韦达定理有: ，解得，所以,故B错误； 对于C：对数函数恒过, 所以恒过，故C错误； 对于D：因为, 所以, 当且仅当,即时等式成立， 故的最小值为9，故D正确. 故选：AD. 10. 下列四个结论中，正确的结论是（   ） A. 与表示同一个函数． B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C. 函数的值域为 D. 已知，，则的取值范围的取值范围是． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据函数的定义域以及解析式判断是否为同一函数即可；对于选项B，根据韦达定理判断一元二次方程的根是否为一正一负；对于选项C，通过换元法可求得函数的值域；对于选项D，根据不等式的性质求解即可. 【详解】对于选项A，的定义域为，解得， 的定义域为，解得， 对于同一函数要求定义域相同且解析式相同且值域相同，故A正确； 对于选项B，一元二次方程有一正一负根的条件为， 若，则，且，则方程必有一正一负根， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故B正确； 对于C选项，令，所以，所以， 当时，可以取得最小值为，所以函数的值域为，故C错误； 对于选项D，，所以，则， 因为，所以，所以故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数,，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数有3个零点 B. 当时，若函数有三个零点，则 C. 若函数恰有2个零点，则 D. 若存在实数m使得函数有3个零点，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，令与，解出方程的根，得到零点个数；B选项，画出画出与的图象，得到要想有三个零点，则，不妨设，则，，求出，；C选项，求出当时，不存在零点，而有两个零点，函数恰有2个零点，C错误；D选项，要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，求出. 【详解】当时，， 当时，令，解得：， 当时，令，解得：， 故函数有3个零点，A正确； 当时，， 令，则， 要想有三个零点，则， 画出与的图象如下： 不妨设，则，， 故，解得：， 则，B正确； 因为时，，或4时，， 当时，不存在零点，而有两个零点，此时函数恰有2个零点，故C错误； 画出与的图象如下： 要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，D错误. 故选：AB 【点睛】方法点睛：函数零点或方程的解问题，常常转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的对称轴，分析可知，然后根据x≥1时，函数为增函数 且，分析即得解 【详解】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]， 当x≥1时，函数为增函数，且 ∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]． 故答案为：[1，3] 13. 函数的单调递减区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，可得：， 因在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递减区间为. 故答案为： 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 【答案】2025 【解析】 【分析】由新定义确定的对称中心，即可求解. 【详解】解：因为，所以，， 令，得，又， 所以的对称中心是，所以， 所以． 四、解答题（共5道题：其中15题13分，16，17题各15分，18，19题各17分；请写出必要的文字说明及解答过程．） 15. 设，已知集合，. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得； （2）根据集合包含关系，对m分类讨论即可. 【小问1详解】 ，解得， 当时，得， 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，所以AB， 解方程得或， 当时，，不满足题意； 当，即时，， 因为AB，所以，解得； 当，即时，，显然不满足题意. 综上，的取值范围为. 16. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）线性回归方程为，预测性能得分约为分 （2）依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关 【解析】 【分析】（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测. （2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设. 【小问1详解】 由题意可得，n=6，，， 又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：  ， ， 所以，关于的线性回归方程为： ， 当参数量亿时，代入可得： ， 即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或​分）. 【小问2详解】 零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得： ，，，，， 所以卡方统计量为， 因为对应的临界值为，，所以拒绝， 依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关. 17. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，平面， 可得平面，由平面，所以， 且，所以， 又因为，为的中点，则， 且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知平面，进而可得，，结合分析证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 可得. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． （1）求的值，并证明：当时，； （2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集． 【答案】（1），令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）； （3）证明：由（2）得，当且时，，即， 要证不等式，只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又．恒成立，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间； （2）求出导函数，由导函数正负确定函数的单调性与最值，由最小值不小于0得参数范围，在确定导函数零点时，需要对导函数进一步求导得出结论； （3）由（2）得，且时，，即，要证不等式可变形为只需证，设，由导数得函数的最小值可得结论． 【详解】（1）由题意可知，当时，，， 则，令，则，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由条件得， 令，则， ①当，即时，在上，，即单调递增， 所以，即， 在上为增函数，， 时满足条件． ②当时，令， 解得，在上，，单调递减， 当时，有，即，则在上为减函数，，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）略. 【点睛】本题考查用导数确定函数的单调性，研究不等式恒成立问题，证明不等式．解题关键是问题的转化，不等式恒成立问题转化为求出函数的最值，由最值满足的关系得出参数范围．不等式证明问题的关系是利用上一小题的结论把不等式进行放缩化简，再引入新函数转化为求函数的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $