精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一年级12月考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得到，进而求出交集. 【详解】， 又代表所有奇数的集合，故. 故选：D 2. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】把变成0到360度内的角即可判断. 【详解】因为，所以角的终边在第三象限. 故选：C. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间. 【详解】解:由题知, 由于均为单调递增, 所以随着的增大也增大,故在单调递增, , 根据零点存在定理, 零点在区间内. 故选:C 4. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解. 【详解】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD； 当时，，排除选项C，选项B符合要求. 故选：B 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以的大小关系为. 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，将切化弦，再利用齐次式法计算即可. 【详解】因为， 则，所以， 则， 所以． 故选：D. 8. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值域，再根据题意可得的值域是的值域的子集，对的符号分类讨论，根据集合间的包含关系可解得答案. 【详解】因为， 所以，可得的值域为； 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集； 显然，当时，，不合题意； 当时，在上为增函数，所以，即； 因此，解得； 当时，在上为减函数，所以，即； 因此，解得； 综上可得，实数的取值范围是 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意得出两函数值域的包含关系，再对的符号分类讨论，利用集合间的包含关系可得结论. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据指数函数的性质求定点，即得函数的解析式，再判断函数的图象经过的象限. 【详解】由指数函数的性质可知，当时，， 所以恒过定点， ， 则函数恒过定点，且是单调递增函数，其图象不经过第二象限. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角 B. 终边在轴正半轴上的角的集合为 C. 函数的单调递减区间为 D. “且”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义、任意角的定义、对数函数的单调性、充分必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为是第三象限角，所以，所以. 当时，，此时位于第二象限； 当时，，此时位于第四象限； 所以位于第二或第四象限，A正确； 对于B： 根据终边角的定义，终边在轴正半轴上的角的集合为，B正确； 对于C： 令，由于函数是单调递减的，所以原函数的单调递减区间则是的单调递增区间， ，解得. ，根据二次函数的性质，的单调递增区间为. 又，所以原函数的单调递减区间则是，C错误； 对于D： 因为，所以，所以“且”是“”的充分条件； 因为，比如，此时，所以不一定能推出. 所以“且”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 函数有两个零点 C. 若方程有3个实根，则 D. 方程的所有实根之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数解析式将函数图象画出，通过图象观察出函数的单调递增区间，再将转化为有两个交点问题.再通过图象观察函数与有三个交点即可求出k的取值范围，再求出函数的所有实根，求出根的和即可. 【详解】作出分段函数的图象，如图所示， 选项A：由图象可知，函数的单调递增区间为，，A错； 选项B：，， 如图可知，函数的图象与的图象有两个交点，所以函数有两个零点，B正确； 选项C：由图象可知，当时，函数的图象与的图象有3个不同的交点，C正确； 选项D：当时，由，可得：， 由，可得， 所以方程的所有实根之和为，D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是“”. 故答案为： 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为， 在中， 则的面积为， 由题意得 所以，所以. 故答案为： 14. 已知正实数，且，则的最小值为________. 【答案】13 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由可得，由于，所以， 故， 由于，所以，当且仅当时等号成立， 故， 故的最小值为13， 故答案为：13 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R. （1）求A∪B，； （2）若A∩C≠∅，求a的取值范围. 【答案】（1）A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2} （2）{a|a<8} 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补的定义，即可求解； （2）利用运算结果，结合数轴，即可求解. 【小问1详解】 A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}. ∵＝{x|x<2或x>8}， ∴∩B＝{x|1<x<2}. 【小问2详解】 ∵A∩C，作图易知，只要a在8的左边即可， ∴a<8. ∴a的取值范围为{a|a<8}. 16. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中）. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，令，解出，又由的单调性即可求解； （2）不等式转化为，则，比较与大小，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意：令，或， 又因为在单调递增， ，. ； 【小问2详解】 不等式转化为，则. 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数，且． （1）证明：在区间上单调递减； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)由条件列方程求，再根据减函数的定义证明在区间上单调递减； (2)由条件可得，解不等式求的取值范围． 【小问1详解】 因为，，所以，解得，所以， 任取实数，且，则， 又，所以，， 所以，即，所以在区间上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，所以， 因为对恒成立，所以， 即，化简得，解得， 即实数t的取值范围是． 18. 设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设. （1）设，将表示成关于的函数，并写出定义域； （2）设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 【答案】（1） （2）（i）（ii）当时，有最大值 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等定理，结合勾股定理进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合（1）的结论进行求解即可； （ii）运用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，，， 所以，所以， 因为矩形的周长为12，， 所以， 因为，所以，所以， 在中，可得，所以， 整理得. 【小问2详解】 （i）； （ii）因为， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 于是有， 所以当时，有最大值. 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义，化简得对恒成立可求得的值； （2）由（1）得到，从而推得，通过换元法将其转化成在上有无最小值为0的情况，考虑其对称轴与区间的位置关系分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立，得. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 令，则，其对称轴为， 当时，在区间上单调递减， 则解得，不符题意，舍去； 当时，在区间上先减后增， 故解得故； 当时，在区间上单调递增， 则解得不符题意，舍去. 故存在，使得的最小值为0. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了运用偶函数定义求解参数值和由指数式组成的函数式在给定区间上的最值问题.解题关键在于对数的运算性质的运用，以及对同底的指数函数的换元法处理思想，将其转化为二次函数在给定区间上的最值问题，需要数学化归意识和分类讨论思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级12月考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知函数且恒过定点，则函数的图象经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角 B. 终边在轴正半轴上的角的集合为 C. 函数的单调递减区间为 D. “且”是“”的充分不必要条件 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 函数有两个零点 C. 若方程有3个实根，则 D. 方程的所有实根之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“”的否定是___________． 13. 如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则____. 14. 已知正实数，且，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R. （1）求A∪B，； （2）若A∩C≠∅，求a的取值范围. 16. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）求关于的不等式解集.（其中）. 17. 已知函数，且． （1）证明：在区间上单调递减； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 18. 设矩形的周长为12，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设. （1）设，将表示成关于的函数，并写出定义域； （2）设的面积为， （i）将表示成关于的函数； （ii）求的最大值及相应的值. 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $