精品解析：江西省龙南中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

龙南中学2025－2026学年度高一12月份数学阶段性作业 （作业时间：120分钟 作业总分：150分） 命题人：廖楠 审题人：宋小欣 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 3. 某校有男生800人，女生400人，为了了解该校学生的运动情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为120的样本．如果样本按比例分配，则女生应抽出的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 4. 设函数则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数（且）的图像可能是（　　） A. B. C. D. 7. 若是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（ ）倍 A. 10 B. 100 C. 1.2 D. 12 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“”的“否定为” B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 函数在区间单调递减，则的取值范围是 D. ，使得时，恒成立 11. 已知函数，方程有四个实根，，，，且数值依次递增，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的单调递增区间是________. 13. 已知，，则用，表示________. 14. 已知表示不超过的最大整数，则方程的解集为________． 四、解答题（共77分） 15. 求值： （1）若，求； （2） 16. 已知函数． （1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明. （3）若求实数的取值范围. 18. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 19. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若，证明：； （3）若，求在区间上的最小值，附：函数在区间上单调递增． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙南中学2025－2026学年度高一12月份数学阶段性作业 （作业时间：120分钟 作业总分：150分） 命题人：廖楠 审题人：宋小欣 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在数轴上表示出集合和集合，再运用集合并集的运算性质求解即可. 【详解】把集合和集合中的解集表示在数轴上： 则：. 故选A. 2. 函数的零点所在区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理和函数单调性即可判断. 【详解】由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为， 所以函数的零点所在区间为， 故选：A． 3. 某校有男生800人，女生400人，为了了解该校学生的运动情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为120的样本．如果样本按比例分配，则女生应抽出的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样公式，按比例抽取，即可求解. 【详解】女生应抽出的人数为. 故选：C 4. 设函数则的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数先求，再求即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故选：D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得出的大小关系. 【详解】由在上递增，则， 由在上递增，则．所以． 故选：C 6. 函数（且）的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【详解】当时，在定义域上单调递减，， ，所以，则A、B均不符合题意； 当时，在定义域上单调递增，， ，所以，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C 7. 若是上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论及的的单调性，再注意分段函数的内部衔接点的大小关系，即可得到的取值范围． 【详解】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 8. 在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（ ）倍 A. 10 B. 100 C. 1.2 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据声强级的定义分别求出声强级为和声强级为的声强度，然后计算它们的比值即可. 【详解】由题意得，， 当声强级为时，，； 当声强级为时，，， . 故选：. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得到的值，从而得到函数，由函数的奇偶性和单调性比较的大小关系即可判断A、B、C选项；同样，借助函数的单调性得到的大小关系，借助函数的奇偶性即可得到的大小关系，判断D选项. 【详解】幂函数，的图象关于y轴对称， 则，则，， 在上单调递减，于是有， 则A错误，B正确，C错误； 若，则，∵，，即成立．故D正确． 故选：BD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“”的“否定为” B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 函数在区间单调递减，则的取值范围是 D. ，使得时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据命题的否定判断即可；对于B，由抽象函数值域的求解方式求解即可；对于C，根据复合函数单调性知在单调递减，则即可判断；对于D，根据指数函数､幂函数､对数函数增长速度的差异即可判断． 【详解】命题“”的否定为“”，故A正确； 若函数的定义域为，则，故， 所以的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，B错误； 因为在区间单调递减，又是增函数， 所以在单调递减， 所以，所以的取值范围是，故C正确； 当，取，此时， 因为函数增长由快到慢依次为指数函数､幂函数､对数函数， 所以时，恒成，故D正确； 故选：ACD． 11. 已知函数，方程有四个实根，，，，且数值依次递增，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图象，由图像可知，当时，方程有四个实根，且，，，，根据不等式的性质可判断B项；根据是方程的两根，可判断A项；根据是方程的两个解，可得，结合，，可判断C项；由，可得，则，根据对勾函数的单调性，即可求得，可判断D项. 【详解】 如图，作出函数的图象，可知当时，函数的图象与直线有四个交点，即方程有四个实根，且，，，. 对于A项，因为是方程的两根，即是方程的两根，所以，故A项正确； 对于B项，由A知，，，所以，所以，故B项错误； 对于C项，因为，，所以，.又是方程的两个解，所以，即，所以 ，所以，故C项正确； 对于D项，由可得，，即，所以，则.令，，因为在上单调递减，所以有.所以，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的单调递增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】由是减函数，根据复合函数的单调性可得，要求函数的单调递增区间只需求二次函数的单调递减区间即可． 【详解】二次函数开口向下，且对称轴为直线， 所以二次函数的单调递减区间是， 又是减函数，所以二次函数的单调递减区间即为函数的单调递增区间， ∴函数的单调递增区间为. 故答案为： 13. 已知，，则用，表示________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 14. 已知表示不超过的最大整数，则方程的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解与函数图像交点的关系，画出函数图像，求出方程的解, 【详解】由题意可知，则， 则函数和函数的图像如下图所示， 由函数图像可知有3个交点， 分别为，解得或（舍）； ，解得或（舍）； ，解得或（舍）； 所以方程的解集为 四、解答题（共77分） 15. 求值： （1）若，求； （2） 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）结合指数的运算性质求解即可. （2）结合对数的运算性质求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以；，即，所以； 故. 【小问2详解】 =11. 16. 已知函数． （1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数单调性的特征，列不等式求解； （2）二次不等式恒成立问题，利用判别式求解. 【小问1详解】 因为函数在区间上是单调递增函数， 且的函数图象抛物线开口向上，对称轴为，则有． 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若对一切实数都成立， 则，解得． 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足. （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明. （3）若求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，则解得， 所以t的取值范围是． 18. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】（1）选择模型③，理由如下： 对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选择模型③， （2）72万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，选择模型③，所求函数过点，， 则，解得，， 故所求函数为， ，即， ， ， 至少应完成销售利润72万元． 19. 已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若，证明：； （3）若，求在区间上的最小值，附：函数在区间上单调递增． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， ， 因为函数在上单调递增，且在定义域内单调递增， 所以函数在上单调递增， 又为偶函数，所以， 要证明，即证， 即证，即证. 因为，所以， 则， 所以，则. （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）由（1）可得，结合题意及复合函数的单调性可知函数在上单调递增，进而结合函数是偶函数分析可得，要证，即证，进而利用作差法求证即可； （3）先求得，设，可得，，进而分、、三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为函数是偶函数，所以， 则 ， 所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 则， 设，由题可知函数在上单调递增， 且时，，时，，所以， 则， 当时，在上单调递减，则； 当时，函数开口向下，对称轴为， 则在上单调递减，所以； 当时，函数开口向上，对称轴为， 当时，对称轴，则在上单调递减， 所以； 当时，对称轴， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $