第3章一次方程（组） 期末综合复习训练题 2025-2026学年湘教版七年级数学上册

2025-2026学年湘教版七年级数学上册《第3章一次方程（组）》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列利用等式的性质进行的变形中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．小娜同学在解方程时，将常数项移项时忘记改变符号，得出，则原方程正确的解是（    ） A． B． C． D． 3．在一张月历上，任意圈出竖列上的三个数的和不可能是（   ） A．17 B．24 C．42 D．66 4．已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 5．一群人去公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，设租用6座的x条船，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 6．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 7．某校去年有学生1000名，今年比去年增加，其中住宿学生增加，走读生减少．若设该校去年住宿学生有x名，走读学生有y名，则根据题意可得方程组（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 9．若关于的方程的解为，则代数式的值为 ． 10．若与互为相反数，则 ． 11．在有理数范围内定义运算 “※”： ，例如：．若，则 ． 12．船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了7小时（中途不停)，则甲、乙两码头的距离为 ． 13．某车间有名工人，每人每天可生产个甲种零件或者个乙种零件，1个甲种零件需配套2个乙种零件，为使每天生产的两种零件刚好配套，应安排 人生产甲种零件． 14．如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为 ． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)； (3)． 16．解下列方程组： (1)； (2)． 17．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．如方程和互为“唯美方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“唯美方程”，求m的值； (2)若两个方程互为“唯美方程”，它们的解的差为7，其中一个方程的解为n，求n的值； (3)若关于x的一元二次方程和互为“唯美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 18．已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 19．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 (1)请用上述方法解方程组： (2)直接写出关于的二元一次方程组的解． 20．某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了等式的性质，选项A和选项B利用等式的性质“若，则（为任意数）”来判断，选项C和选项D利用等式的性质“若，；若且，则”来判断． 【详解】A、若，则，该选项正确，不符合题意； B、若，则，该选项正确，不符合题意； C、若，等式两边都除以，得，该选项正确，不符合题意； D、若，当时，等式恒成立，但x不一定等于y，该选项错误，符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．把代入方程求出的值，确定出正确的方程，求出解即可 【详解】解：∵小娜移项时忘记改变符号，得出错误方程：，并解得， ∴代入错误方程：，即，解得， 将代入原方程：， 移项得：，即， ∴ 故原方程正确的解为 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了方程与日历问题． 设中间数为x，则三个数分别为、x、，和为，故和必为3的倍数，且日期范围在1至31之间． 【详解】解：设中间数为x，则三个数分别为、x、，和为， ∵和必须为3的倍数，且x为整数，． 选项A：17不是3的倍数， ∴不可能； 选项B：24是3的倍数，解得：，可能； 选项C：42是3的倍数，解得：，可能； 选项D：66是3的倍数，解得：，可能； 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据总人数不变这一相等关系列方程． 分别表示出两种租船方式下的总人数，根据总人数相等列方程． 【详解】解：若租用6座的小船条，总人数为； 租4座小船时，船数为，总人数为， 因总人数不变，故方程为， 故选：A． 6．B 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可． 【详解】解：每3人乘一车，剩余2辆车， ∴总人数为 ； 每2人共乘一车，剩余9人无车， ∴人数为 ； ∴， 故选B． 7．A 【分析】根据去年学生总数可得；今年总增加人数为，其中住宿生增加，走读生减少，故增加量方程为解答即可． 【详解】解：设去年住宿生x名，走读生y名， ∵ 去年总学生数为1000， ∴； ∵今年总增加人数为，其中住宿生增加，走读生减少，故增加量方程为 故方程组为， 故选：A． 8．1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念的应用，根据一元一次方程的定义，未知数x的指数为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，解得；当时，解得， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， ∴m的值为1． 故答案为：1． 9． 【分析】本题考查了一元一次方程的解和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解决问题的关键． 根据一元一次方程解的定义，将代入方程得到的值，然后利用整体代入法计算代数式的值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值非负性，解二元一次方程组，根据题意得，所以，然后求出，再代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 11． 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的解法． 根据运算“※”的定义，将方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】∵， ∴，． ∵， ∴， 移项得， 即． 故答案为：． 12．120 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程求解． 设甲、乙两码头的距离为千米，根据顺流速度（静水速度加水流速度）和逆流速度（静水速度减水流速度）表示往返时间，利用总时间列出方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两码头的距离为千米； 则， 解得：， 故答案为：120. 13． 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设安排人生产甲种零件，则生产乙种零件的人数为人，根据配套比例列出方程求解即可． 【详解】解：设应安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， ∴每天生产甲种零件个，乙种零件个， ∵配套要求，乙种零件数量是甲种零件数量的倍， ∴得方程：， 化简得， 移项得， 解得：． 故答案为：． 14．40 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定出与的值，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形得：， ②①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则图中阴影部分面积为． 故答案为：． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“一元一次方程的解法步骤”是解本题的关键． （1）先移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可； （2）先去括号，移项合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可． （3）先去分母，再去括号，移项合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可． 【详解】（1）解：移项，得 合并，得 系数化为1，得 ． （2） 去括号，得 移项，得 合并，得 系数化为1，得 ． （3） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并，得 系数化为1，得 ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据加减消元法求解即可； （2）整理后根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组为， 化简得， 即， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为． 17．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求出的值． 【详解】（1）解：解得：， 解得：， 方程与方程互为“唯美方程”， 解得：； （2）解：由题意得，当，即时， ，解得， 当，即时， ，解得， 综上所述：或； （3）解：由得 ， 所以的解是， 将整理得 ， 所以， ． 18．(1)；2 (2)A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是 (3)4或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据运动方向和数轴的方向，路程等于速度乘以时间，即可求得t秒后A，B点表示的数； （2）先求出A，B之间的距离，再根据相遇时两点表示的数相等，据此列出一元一次方程解方程求解即可，进而求得相遇点所表示的数； （3）分两种情况，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵A点表示的数是，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点A运动后所在位置表示的数为； ∵B点表示的数是8，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动， ∴点B运动后所在位置表示的数为； 故答案为：；2 （2）解：∵A，B两点分别表示的数是，8， ∴A，B之间的距离为， 根据题意得：， 解得：， 此时相遇点所表示的数是； 即A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：当两点相遇前相距2个单位长度时， ， 解得：； 当两点相遇后相距2个单位长度时，， 解得：； 综上所述，A，B两点经过4或秒后相距2个单位长度． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 【详解】（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 【点睛】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．(1) (2)大、小本子每本的售价分别为元、元． (3)小文实际购买文具的成本为元． 【分析】（1），根据方案一和方案二的笔的购买数量与剩余钱数的关系求出笔的单价，进而求班费； （2）设大、小本子单价，根据方案三、四列方程组求解； （3）设大、小本子成本，结合利润关系列方程求解． 【详解】（1）解：设每支笔的售价为元 根据方案一：为班费； 方案二：为班费 所以 移项可得： 即： 解得： 则班费为（元） （2）解：设大、小本子每本的售价分别为元、元． 根据方案三： 根据方案四： 列方程组 解得 答：大、小本子每本的售价分别为元、元 （3）解：设大、小本子每本的成本分别为元、元 由（1），得1支笔的售价为（元） 由题意，得 整理，得， ∵小文实际购买文具的成本为：，， ∴实际成本为（元）， 答：小文实际购买文具的成本为元． 学科网（北京）股份有限公司 $