第三章 一次方程（组）（单元重点综合测试，2024湘教版）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第三章 一次方程（组）（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列方程变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（本题3分）下列变形中正确的是（    ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化为 4．（本题3分）解方程组 下列解法步骤中不正确的是 （     ） A．用加减法消去，①② 得 B．用代入法消去，由①得 C．用代入法消去，由②得 D．用加减法消去，①②得 5．（本题3分）如果与是同类项，那么（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（    ） A．6和4 B．10和0 C．2和 D．4和2 9．（本题3分）对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 10．（本题3分）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）已知方程，当 时该方程是一元一次方程；当 时该方程是二元一次方程． 12．（本题3分）当x= 时，多项式2（x-3）的值比多项式3-2x的值小1. 13．（本题3分）已知是方程组的解，则的值为 ． 14．（本题3分）若与互为相反数，则 ． 15．（本题3分）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”通过计算可知，共有 人合伙购物． 16．（本题3分）下面的框图表示解方程3x-7（x-1）=3-2（x+3）的流程，其中A代表的步骤是 ，步骤A对方程进行变形的依据是 ． 17．（本题3分）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 18．（本题3分）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程（组） (1)； (2)； (3)． 20．（本题6分）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________，其中第一步的依据是________； (2)第________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 21．（本题8分）如果关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的一个解，求m的值． 22．（本题8分）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果： (1)求m，n的值； (2)求出原方程组的正确解． 23．（本题9分）元旦节期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是百盛和武商各自推出的优惠办法： 百盛：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享受6折； 武商：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问 （1）王老师想到百盛买件标价为1800元的衣服，她应该付多少钱？ （2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？ （3）王老师元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，她有三个种打算：①到百盛武商各消费1500元；②全到百盛去消费；③全到武商去消费．假设王老师需要的商品百盛和武商都有，如果你是王老师，你会如何选择？请说明理由． 24．（本题9分）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=ab2+2ab+a．如：1*3=1×32+2×1×3+1=16． （1）求（-4）*2的值； （2）若（）*（-3）=a-1，求a的值． 25．（本题10分）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入得①，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为 （2）已知求的值． 解：，得， ，得． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）已知 ，求的值． 26．（本题10分）已知数轴上三点对应的数分别为，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为 ． (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是 ． (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是?若存在，求出的值.若不存在，请说明理由． (4)如果点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟个单位长度和每分钟个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组）（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义回答即可． 【详解】 解：A、等号的左边不是整式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、是一元一次方程，故本选项符合题意； C、未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：B． 2．（本题3分）下列方程变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原方程变形正确，不符合题意； B、若，则，原方程变形正确，不符合题意； C、若，则，原方程变形错误，符合题意； D、若，则，原方程变形正确，不符合题意； 故选：C． 3．（本题3分）下列变形中正确的是（    ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化为 【答案】D 【分析】根据解方程的步骤逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：方程，移项，得，故选项A变形错误； 方程，去括号，得，故选项B变形错误； 方程，未知数系数化为1，得，故选项C变形错误； 方程化为，利用了分数的基本性质，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 4．（本题3分）解方程组 下列解法步骤中不正确的是 （     ） A．用加减法消去，①② 得 B．用代入法消去，由①得 C．用代入法消去，由②得 D．用加减法消去，①②得 【答案】A 【分析】本题考查了加减消元法和代入消元法； 根据加减消元法和代入消元法，结合等式的性质判断即可． 【详解】解：A.用加减法消去，①－②得，原计算错误； B.用代入法消去，由①得，计算正确； C.用代入法消去，由②得，计算正确； D.用加减法消去，①②得，计算正确； 故选：A． 5．（本题3分）如果与是同类项，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，利用同类项的定义得出a、b的值是解题关键．根据同类项的定义，列方程组可得a，b的值． 【详解】 解：∵与是同类项， ∴， 解得：． 故选：B． 6．（本题3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握每只鸡脚数与每只兔脚数列出方程，是解题的关键． 本题可设鸡有x只，则兔有只，根据“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．”即可得出等量关系，根据等量关系列出方程即可， 【详解】设有x只鸡，则有只兔子， 可列方程为：． 故选：A． 7．（本题3分）已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ， ∴； 故选A． 8．（本题3分）若方程组的解为，小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了和两数，则这两数分别为（    ） A．6和4 B．10和0 C．2和 D．4和2 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，把＝代入方程组第二个方程求出的值，确定出＋的值即可． 【详解】解：把代入中得：， ， 则这两个数分别为和， 故选：C． 9．（本题3分）对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当，时，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．由，可得，解得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 10．（本题3分）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键． 由题意得，关于，的方程组的解是，进而可得关于，的方程组的解． 【详解】解：∵关于，的方程组的解是， ∴关于，的方程组的解是，即， ∴关于，的方程组的解是， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）已知方程，当 时该方程是一元一次方程；当 时该方程是二元一次方程． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了一元一次方程，二元一次方程．根据一元一次方程，二元一次方程的定义，即可求解． 【详解】解：当，即或时， 当时，原方程为，该方程是一元一次方程； 当时，方程为，该方程为二元一次方程， 故答案为：；1 12．（本题3分）当x= 时，多项式2（x-3）的值比多项式3-2x的值小1. 【答案】2 【详解】试题解析：根据题意得：2（x-3）=3-2x-1， 移项合并得：4x=8， 解得：x=2． 13．（本题3分）已知是方程组的解，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，将代入，将两个方程相加可得答案． 【详解】解：将代入，得：， 得：， 解得， 故答案为：2． 14．（本题3分）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 15．（本题3分）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”通过计算可知，共有 人合伙购物． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设x人合伙购物，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设x人合伙购物，物价为y钱， 依题意，得：， 解得：， 答：共有7人合伙购物． 故答案为：7． 16．（本题3分）下面的框图表示解方程3x-7（x-1）=3-2（x+3）的流程，其中A代表的步骤是 ，步骤A对方程进行变形的依据是 ． 【答案】 移项 等式的性质1 【分析】观察框图中解方程步骤，找出A代表的步骤，进而确定出依据即可． 【详解】方程3x-7（x-1）=3-2（x+3）的流程，其中A代表的步骤是移项，步骤A对方程进行变形的依据是等式的基本性质1， 故答案为移项，等式的基本性质1 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤及依据是解本题的关键． 17．（本题3分）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】，0和1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 18．（本题3分）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解方程（组） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程、解二元一次方程组： （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）利用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解： 得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 该方程组的解为． 20．（本题6分）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为………第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________，其中第一步的依据是________； (2)第________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质 (2)二 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可． （2）根据②③得，判断即可． （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：加减消元法，等式的基本性质； （2）第二步开始出现错误， 故答案为：二； （3）解方程组： 解：①得③ ②③得， 将代入①得 所以，原方程组的解为． 21．（本题8分）如果关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的一个解，求m的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，先解方程组得出的结果代入进行求解即可． 【详解】解：对于方程组， 得：， 将代入①得： ， 方程组的解为， 又关于x、y的方程组的解也是二元一次方程的一个解， ， 解得：． 22．（本题8分）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果： (1)求m，n的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组． （1）把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值； （2）把与n的值代入方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， 把代入得，解得， ∴，； （2） 解：①②得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 23．（本题9分）元旦节期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是百盛和武商各自推出的优惠办法： 百盛：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享受6折； 武商：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问 （1）王老师想到百盛买件标价为1800元的衣服，她应该付多少钱？ （2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？ （3）王老师元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，她有三个种打算：①到百盛武商各消费1500元；②全到百盛去消费；③全到武商去消费．假设王老师需要的商品百盛和武商都有，如果你是王老师，你会如何选择？请说明理由． 【答案】（1）1380元钱；（2）不超过500元或1500元；（3）见解析． 【分析】（1）根据百盛的优惠办法即可求解； （2）分两种情况：一次购物不超过500元；一次购物超过1000元；进行讨论即可求解； （3）分别求出三种打算的原价，进行比较即可求解． 【详解】解：（1）1000×0.9+（1800﹣1000）×0.6＝1380（元）． 答：她应该付1380元钱； （2）一次购物不超过500元，在两个商场可以享受相同的优惠； 一次购物超过1000元，设当我们购买x元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠，依题意有 1000×0.9+0.6（x﹣1000）＝0.8x， 解得x＝1500． 综上所述，当我们购买不超过500元或1500元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠； （3）①1000+（1500﹣1000×0.9）÷0.6＝2000（元）， 1500÷0.8＝1875（元）， 2000+1875＝3875（元）； ②1000+（3000﹣1000×0.9）÷0.6＝4500（元）； ③3000÷0.8＝3750（元）； ∵4500＞3875＞3750， ∴选择第②种打算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 24．（本题9分）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b=ab2+2ab+a．如：1*3=1×32+2×1×3+1=16． （1）求（-4）*2的值； （2）若（）*（-3）=a-1，求a的值． 【答案】（1）-36；（2）-3 【分析】根据新定义运算的公式计算即可； 【详解】（1）（-4）*2； （2）（）*（-3）， =, ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，准确计算是解题的关键． 25．（本题10分）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入得①，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为 （2）已知求的值． 解：，得， ，得． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）已知 ，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． （1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1） 把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， 得，． 26．（本题10分）已知数轴上三点对应的数分别为，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为 ． (2)如果点到点、点的距离相等，那么的值是 ． (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是?若存在，求出的值.若不存在，请说明理由． (4)如果点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟个单位长度和每分钟个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)或． 【分析】（）根据两点间距离公式即可解答； （）根据两点间距离公式列出关于的方程，解方程即可求解； （）可分为点在点的左侧和点在点的右侧，点在点和点之间三种情况解答即可求解； （）分点和点在点同侧和点和点在点异侧两种情况解答即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得， 故答案为：； （3）解：存在． ①当点在点的左侧时， 由题意得，， 解得； ②当点在点和点之间时， 由题意得，， 此时方程无解，即点不可能在点和点之间； ③点在点的右侧时， 由题意得，， 解得 ； 综上，的值是或； （4）解：设运动秒时，点到点，点的距离相等，即， 此时，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是， 当点和点在点同侧时，点和点重合， ∴， 解得； 当点和点在点异侧时， ， 解得； 综上，的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$